نمونه سوالات فصل 8 ریاضی هفتم همراه با جواب تشریحی

در بردارها حرف اول ابتدای بردار را نشان می دهد و حرف آخر انتهای بردار را.

برای مثال در بردار CD ، حرف C ابتدای بردار را نشان می دهد و حرف D انتهای آن را.

در دستگاه مختصات محور افقی محور طول ها و محور عمودی محور عرض ها می باشد.

بردارهای افقی چون در محور طول ها حرکت می کنند طول متغیری دارند و طول ثابت و یا صفر ندارند.

مثبت – منفی

بردار – انتهای

حرکت

سوم – چهارم

M - N

بردار

\(\left[ \begin{array}{l} - x\\y\end{array} \right]\)

عرض ها

7 – 3

243+  -  45-

\(\begin{array}{l}BC = C - B = \left[ \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right] - \left[ \begin{array}{l} - 1\\2\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}3\\ - 1\end{array} \right]\\\\A = \left[ \begin{array}{l}2/5\\3\end{array} \right] \to \left( { + \left[ \begin{array}{l}3\\ - 1\end{array} \right]} \right) \to A' = \left[ \begin{array}{l}5/5\\2\end{array} \right]\end{array}\)

اگر نقطه \(A = \left[ \begin{array}{l}X\\y\end{array} \right]\) روی محور طول ها باشد، y = 0 است.

\(\begin{array}{l}y = 0 \Rightarrow \frac{1}{2}b = 0 \Rightarrow b = 0\\\\M = \left[ \begin{array}{l}0 - 3\\0\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} - 3\\0\end{array} \right]\end{array}\)

\(A = \left[ \begin{array}{l}1\\3\end{array} \right]\left[ \begin{array}{l}6\\2\end{array} \right] \to \left[ \begin{array}{l}7\\5\end{array} \right] \to \left[ \begin{array}{l}\;2\\ - 5\end{array} \right]\left[ \begin{array}{l}9\\0\end{array} \right]\)

\(\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}6\\7\end{array} \right] - \left[ \begin{array}{l}X\\y\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}3\\2\end{array} \right] \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}X\\y\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}6 - 3\\7 - 2\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}3\\5\end{array} \right]\\\\\left[ \begin{array}{l}\;4\\ - 1\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l}m\\n\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}\;2\\ - 4\end{array} \right] \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m\\n\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}\;\;2 - 4\\ - 4 - (1)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} - 2\\ - 3\end{array} \right]\\\\\left[ \begin{array}{l}X\\y\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l}m\\n\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}3\\5\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l} - 2\\ - 3\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}1\\2\end{array} \right]\end{array}\)

مختصات F = مختصات E + EF :

\(F = \left[ \begin{array}{l} - 1\\ - 2\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l}4\\3\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right]\)

مختصات D = مختصات E + FD :

\(D = \left[ \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l}4\\3\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}7\\4\end{array} \right]\)

طول D + عرض D =

11 = 7 + 4

\(\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}X\\2\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l}3\\5\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} - 2X\\\;\;y\end{array} \right] \Rightarrow  + 3 =  - 2x \Rightarrow 3x =  - 3 \Rightarrow x =  - 1\\\\2 + 5 = y \Rightarrow y = 7 \Rightarrow x + y =  - 1 + 7 = 6\end{array}\)

\(\begin{array}{l}A = \left[ \begin{array}{l} + 5\\ - 3\end{array} \right]\;,\;AB = \left[ \begin{array}{l} - 3\\ + 5\end{array} \right]\;,\;BC = \left[ \begin{array}{l} - 4\\ + 3\end{array} \right]\\\\A + AB = B\;,\;BC = C\\\\B = \left[ \begin{array}{l} + 5\\ - 3\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l} - 3\\ + 5\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}2\\2\end{array} \right],\\\\C = \left[ \begin{array}{l}2\\2\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l} - 4\\3\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} - 2\\5\end{array} \right]\end{array}\)

\(\begin{array}{l}B - A = AB = \left[ \begin{array}{l}2\\3\end{array} \right] - \left[ \begin{array}{l}x\\y\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} - 1\\\;4\end{array} \right] \Rightarrow A = \left[ \begin{array}{l}\;3\\ - 1\end{array} \right]\\\\AC = C - A = \left[ \begin{array}{l}1\\1\end{array} \right] - \left[ \begin{array}{l}\;3\\ - 1\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} - 2\\\;2\end{array} \right]\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}X + 2\\\;\;\;3\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l}\;\;\; - 4\\ - (2y + 1)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}4\\ - 2\end{array} \right]\\\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2 - 4 = 4 \Rightarrow x = 6\\3 - (2y + 1) =  - 2 \Rightarrow y = 2\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow x + y = 6 + 2 = 8\end{array}\)

مختصات نقطه اولیه را \(\left[ \begin{array}{l}x\\y\end{array} \right]\) فرض می کنیم:

\( \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x\\y\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l} - 4\\ - 3\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}3\\6\end{array} \right]\\\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}X\\y\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}3\\6\end{array} \right] - \left[ \begin{array}{l} - 4\\ - 3\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}7\\9\end{array} \right]\end{array}\)

\(\begin{array}{l}2m - 4 = 2 \times (6 - m)\\\\ \Rightarrow 2m - 4 = 12 - 2m\\\\ \Rightarrow 2m + 2m = 12 + 4\\\\ \Rightarrow 4m = 16 \Rightarrow m = 4\\\\ \Rightarrow M = \left[ \begin{array}{l}2 \times 4 - 4\\6 - 4\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}4\\2\end{array} \right]\end{array}\)

قرینه M نسبت به مبدا مختصات برابر خواهد بود با: \(\left[ \begin{array}{l} - 4\\ - 2\end{array} \right]\)

نقطه \(\left[ \begin{array}{l}4\\3\end{array} \right]\) نقطه انتها و نقطه \(\left[ \begin{array}{l}3\\4\end{array} \right]\) نقطه ابتدا است:

مختصات بردار انتقال = مختصات نقطه انتها – مختصات نقطه ابتدا

\(\left[ \begin{array}{l}4\\3\end{array} \right] - \left[ \begin{array}{l}3\\4\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}\;1\\ - 1\end{array} \right] =\)

مختصات انتها = مختصات بردار + مختصات ابتدا

\(\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x\\y\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l}2\\3\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} - 5\\1\end{array} \right]\\\\ \Rightarrow \left. \begin{array}{l}x + 2 =  - 5\\y + 3 = 1\end{array} \right\} \Rightarrow x =  - 7\\\\y =  - 2 \Rightarrow x + y =  - 7 - 2 =  - 9\end{array}\)

ابتدا مقدار x و y را می یابیم:

\(\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\;3\\ - 3\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l}\;x\\ - x\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} - 6\\\;2\end{array} \right]\\\\ \Rightarrow 3 + y =  - 6 \Rightarrow y =  - 9\\\\ - 3 - x = 2 \Rightarrow  - x = 5 \Rightarrow x =  - 5\\\\a = \left[ \begin{array}{l}\;9\\ - 5\end{array} \right]\\\\A + \left[ \begin{array}{l} - y\\x\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}3\\ - 2\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l}9\\ - 5\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}12\\ - 7\end{array} \right] = A'\end{array}\)

\(\begin{array}{l}X + 1 - 2 = 5 \Rightarrow x - 1 = 5 \Rightarrow x = 6\\\\ - 2 - Y - 1 = 3 \Rightarrow  - 3 - y = 3 \Rightarrow  - y = 6 \Rightarrow y =  - 6\\\\z = 2x - y + 1 = 2 \times 6 - ( - 6) + 1 = 12 + 6 + 1 = 19\end{array}\)

\( \begin{array}{l}A + a = B\\\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}10 - X\\y - 1\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l}2x\\ - 6\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}5\\2y + 7\end{array} \right]\\\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}10 - x + 2x = 5 \Rightarrow x =  - 5\\y - 1 - 6 = 2y + 7 \Rightarrow y =  - 14\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow y - 2x =  - 14 + 10 =  - 4\end{array}\)

در مورد نقطه \(y < 0\;\;,\;\;x > 0\;\;,\;\;\left[ \begin{array}{l}2\\ - 4\end{array} \right]\) است. تنها در ربع چهارم مختصات نقاط به این صورت است. بنابراین پاسخ نقطه R خواهد بود.

بردارهای صورت سوال هم اندازه و داری جهت مخالف یک دیگر اند؛ پس قرینه یک دیگر اند. پس دو جفت بردار قرینه داریم.

چون جسم ساکن است پس برآیند بردار ها باید صفر باشد، یعنی سطح نیرویی برابر وزن ولی خلاف جهت آن به جسم وارد می کند.

بردار هایی که روبروی یک دیگر هستند یعنی اضلاع موازی متناظر، قرینه یک دیگر اند. چون هم اندازه و هم راستا هستند، ولی جهتشان عکس یک دیگر است.

چون نقطه در ربع اول مختصاتی قرار دارد و از محور های مختصات به یک فاصله است، عرض و طول برابر دارد.

\(\begin{array}{l}2x - 1 = 2 - x\\\\ \Rightarrow 2x + x = 2 + 1 \Rightarrow 3x = 3\\\\ \Rightarrow x = 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\;\;x\\1 - x\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}1\\1 - 1\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right]\end{array}\)

باید برآیند نیرو های وارد بر جسم را به دست آوریم. از آن جا که نیرو های در راستای عمود قرینه یک دیگر اند برآیند نیرو ها در جهت عمود صفر است؛ ولی نیروی به سمت چپ بیش تر از نیروی وارد به سمت راست است. لذا جسم به سمت چپ حرکت خواهد کرد.

مختصات بردار AB برابر مختصات نقطه B منهای مختصات نقطه A است.

\(AB = B - A = \left[ \begin{array}{l}3\\0\end{array} \right] - \left[ \begin{array}{l} - 1\\ - 1\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}3 - ( - 1)\\0 - ( - 1)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}4\\1\end{array} \right]\)

پس بردارAB برابر با \(\left[ \begin{array}{l}4\\1\end{array} \right]\) و قرینه آن برابر با \(\left[ \begin{array}{l} - 4\\ - 1\end{array} \right]\) خواهد بود.

چون جسم ساکن است پس برآیند نیرو های وارد بر جسم صفر است. پس نیرویی که سطح شیب دار به جسم وارد می کند هم اندازه وزن و در خلاف جهت آن است.

چون جسم در حال تعادل است، بریند نیرو ها برابر صفر است. اگر نیرویی حذف شود، جسم در خلاف جهت همان نیرو حرکت می کند.

با رسم بردار حرکت هر گزینه را رسم می کنیم

گزینه 1:

گزینه 2:

گزینه 3:

گزینه 4: