نمونه سوالات فصل 9 ریاضی هفتم همراه با جواب تشریحی

اینکه قطعا 10 بار رو بیاید فرضیه درستی نیست چرا که ممکن است بیشتر یا کمتر از 10 بار نیز رو بیاید.

احتمال تولد نوزاد در روز جمعه برابر است یک ÷ تعداد روزهای هفته یعنی \(\frac{1}{7}\)

سازماندهی - بررسی

داده

ممکن

(پ، 1)، (پ، 2)، (پ، 3)، (پ، 4)، (پ، 5)، (پ، 6)،

(ر، 1)، (ر، 2)، (ر، 3)، (ر، 4)، (ر، 5)، (ر، 6)

الف) (پ، پ)، (پ، ر)، (ر، پ)، (ر، ر)

ب) \(\frac{1}{4}\)

مساحت مربع = 5 × 5 = 25

مساحت دایره = πR² = 3 × 2 × 2 = 12

احتمال اینکه نقطه روی دایره باشد = \(\frac{{12}}{{25}}\)

مجموع نمرات 25 نفر:

25 × 16 = 400

مجموع نمرات 3 نفر:

4 + 6 + 5 = 15

اگر بخواهیم نمرات 3 دانش آموز را کنار بگذاریم باید مجموع نمرات 3 نفر را از مجموع نمرات 25 نفر کم کنیم

400 – 15 = 385

همچنین باید 3 نفر را از 25 نفر کم کنیم و سپس میانگین را حساب کنیم:

25 – 3 = 22

بنابراین میانگین برابر است با:

\(\frac{{385}}{{22}} = 17/5\)

الف) شمارنده های 12: 1 ، 2 ، 3 ، 6

تعداد شمارنده های 12 = 4

تعداد کل اعداد روی تاس = 6

بنابراین این احتمال برابر است با:

\(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)

ب) عدد اول یا مضرب 3 : 2 ، 3 ، 5 ، 6 (2 و 3 و 5 اعداد اول) – (3 و 6 مضرب های 3)

تعداد عدد اول یا مضرب 3 = 4

تعداد کل اعداد روی تاس = 6

\(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)

الف) تعداد کیسه های بادام: 10

تعداد کل کیسه ها: 40 = 10 + 10 + 20

\(\frac{{10}}{{40}} = \frac{1}{4}\)

ب) چون در صورت مسئله گفته شده است که پسته یا بادام باشد باید تعداد کیسه های بادام و پسته را با هم جمع کنیم.

 مجموع تعداد کیسه های بادام و پسته: 20 = 10 + 10

\(\frac{{20}}{{40}} = \frac{1}{2}\)

الف) برای این تیپ مسائل ابتدا به اندازه تعداد ارقام داده شده جای خالی گذاشته و بین آن ها علامت ضرب می گذاریم.

…. × …. × …. =

حال با توجه به اینکه گفته شده است بدون تکرار ارقام، در جایگاه اول تعداد ارقام داده شده را می گذاریم (یعنی 3 تا) بعدش در جایگاه بعدی چون بدون تکرار گفته شده است یکی کم می کنیم (می شود 2) و در جایگاه بعدی یکی دیگه کم می کنیم (می شود 1) یعنی:

3 × 2 × 1 = 6

جواب مسئله 6 عدد خواهد بود.

ب) مشابه حالت الف حل می کنیم فقط از آنجایی که گفته شده است با تکرار ارقام در جایگاه اول تعداد ارقام داده شده را می گذاریم (یعنی 3 تا) بعدش در جایگاه بعدی چون تکرار مجاز است دیگر یکی کم نمی کنیم و اینجا نیز 3 را میگذاریم  و در جایگاه بعدی نیز به همین شکل عمل می کنیم یعنی داریم:

3 × 3 × 3 = 27

جواب مسئله 27 عدد خواهد بود.

ج) در این دو حالت فقط می شود عدد زوج ساخت: 358 و 538

بنابراین داریم:

\(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)

مهره ای به طور تصادفی از کیسه بیرون می آوریم؛ احتمال سبز بودن این مهره برابر \(\frac{2}{{11}}\) است. با توجه به این که در کیسه تنها مهره های سبز و آبی داریم، احتمال آبی بودن مهره برابر \(\frac{9}{{11}}\) است؛ بنابراین نسبت مهره های آبی به سبز برابر است با:

\(\frac{{\frac{9}{{11}}}}{{\frac{2}{{11}}}} = \frac{9}{2}\)

اگر سکه را دو بار پرتاب کنیم تمام حالات ممکن برابر است با:

(پشت، پشت) – (رو، پشت) – (پشت، رو) – (رو، رو)

پس کل حالات برابر 4 تاست.

احتمال این که هر دو بار پشت بیاید = \(\frac{1}{4}\)

وقتی می گوییم در آزمایش پرتاب سکه، احتمال رو آمدن \(\frac{1}{2}\) است یعنی انتظار داریم در مقدار زیاد آزمایش ها تقریبا در \(\frac{1}{2}\) موارد سکه رو بیاید.

زاویه مربوط به دسته c :

360° - 150° - 70° = 140°

زاویه مربوط به دسته c ÷ زاویه کل:

\( \frac{{140^\circ }}{{360^\circ }} = \frac{7}{{18}} = 39\%\)

برای نشان دادن نسبت تعداد داده ها به کل داده ها، از نمودار دایره ای استفاده می شود

از نمودار میله ای برای مقایسه تعداد و پیدا کردن بیش ترین و کم ترین و از نمودار خط شکسته برای نمایش تغییر ها نظیر کاهش و افزایش استفاده می شود.

کل حالات ممکن:

1, 2, 3, 4, 5, 6

عدد زوج غیر اول:

4, 6

احتمال مطلوب

\(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)

اگر تعداد لامپ های سالم را x بنامیم، داریم:

تعداد کل لامپ ها = x + 4

احتمال معیوب بودن = \(\frac{4}{{x + 4}}\)

احتمال سالم بودن = \(\frac{x}{{x + 4}}\)

\(\frac{{\frac{4}{{x + 4}}}}{{\frac{x}{{x + 4}}}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{4}{X} = \frac{2}{3} \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6\)

برای بررسی تغییرات، نمودار خط شکسته بهترین نمودار است.

زاویه مربوط به کتاب های غیر تاریخی در نمودار دایره ای برابر است با:

\( \frac{{30}}{{100}} \times 360^\circ  = 108^\circ \;\; \Rightarrow \;\;360^\circ  - 108^\circ  = 252^\circ\)

تعداد کل دانش آموزان =

70 + 34 + 32 + 44 + 20 = 200 نفر

درصد دانش آموزان علاقه مند به کتاب های تاریخی =

\(\frac{{32}}{{100}} \times 100 = 16\)  درصد

احتمال در هر مرحله، مستقل از مراحل قبلی است. بنابراین احتمال این که در پرتاب دوم رو بیاید، \(\frac{1}{2}\) است.

اعداد رو شده هر کدام از اعداد 1 تا 6 می توانند باشند که از این بین اعداد 3 و 5 اعدادی فرد و اول هستند. پس احتمال مطلوب برابر است با:

\(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)

اگر تعداد مهره های سبز را x در نظر بگیریم:

احتمال سبز آمدن =

\(\frac{x}{{50}} = \frac{3}{{10}} \Rightarrow x = 15\)

تعداد مجموع مهره های آبی و قرمز =

50 – 15 = 35

تعداد مهره های آبی = a

تعداد مهره های قرمز = b

بنابراین داریم:

\(\begin{array}{l}a = 4b \Rightarrow a + b = 35 \Rightarrow 4b + b = 35 \Rightarrow b = 7\\\\a = 4b = 28\end{array}\)

اعداد طبیعی کوچک تر از 13 عبارت اند از:

1, 2, 3, 4, …, 12

که از بین این اعداد، اعداد 3 و 6 و 9 و 12 مضرب سه هستند، ولی در پیشامد مطلوب عدد نباید مضرب 6 باشد که تنها اعداد 3 و 9 مطلوب هستند، پس احتمال خواسته شده صورت سوال برابر است با:

\(\frac{2}{{12}} = \frac{1}{6}\)

احتمال قرار گرفتن عقربه روی a =  \( \frac{2}{{10}} = \frac{1}{5}\)

احتمال قرار گرفتن عقربه روی d =   \(\frac{1}{{10}}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{5} - \frac{1}{{10}} = \frac{{2 - 1}}{{10}} = \frac{1}{{10}}\)

چون 90 = 35 + 55 ، پس 10 = 90 – 100 درصد دانش آموزان کلاس معدل زیر 12 دارند. چون \(10\%  = \frac{{10}}{{100}} = \frac{1}{{10}}\)، پس \(\frac{1}{{10}}\) دایره مربوط به دانش آموزان با معدل زیر 12 است.

مساحت دایره به شعاع یک = 3/14 × 1 × 1

مساحت دانش آموزان با معدل زیر 12 =

\(\frac{1}{{10}} \times 3/14 = 0/314\)

میانگین = \(\frac{{5 + 5 + 5 + 6 + 7 + 8}}{6} = \frac{{36}}{6} = 6\)

با توجه به نمودار خط شکسته میزان بارندگی به تفکیک فصل پاییز و زمستان به صورت زیر است:

میانگین میزان بارندگی پاییز =  \( \frac{{90 + 60 + 110}}{3} = \frac{{260}}{3}\)

میانگین میزان بارندگی زمستان =  \(\frac{{160 + 110 + 80}}{3} = \frac{{350}}{3}\)

میانگین بارندگی پاییز ÷ میانگین بارندگی زمستان = 

\(\frac{{\frac{{260}}{3}}}{{\frac{{350}}{3}}} = \frac{{260}}{{350}} = \frac{{26}}{{35}}\)

ایتدا یک گوی را برداشتیم که قرمز بود، پس در کیسه یک گوی قرمز و 3 گوی آبی باقی می ماند. پس احتمال این که گوی دوم قرمز باشد برابر است با:

احتمال =  \(\frac{1}{4}\)

احتمال برخورد به منطقه رنگی در گزینه های 1 تا 4 به ترتیب برابر: \(\frac{3}{8},\frac{4}{8},\frac{5}{8},\frac{4}{8}\) است. پس احتمال برخورد تیر به منطقه رنگی در گزینه 2 بیش تر است.

تعداد کل درختان پارک =

200 + 100 + 50 + 50 = 400 درخت

کاج ها =

\(\frac{{200}}{{40}} = \frac{1}{2}\)

صنوبرها =

\(\frac{{100}}{{40}} = \frac{1}{4}\)

چنارها = بلوط ها =

\(\frac{{50}}{{400}} = \frac{1}{8}\)

\(\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l} - 1\\\;2\end{array} \right] + (\underbrace {\left[ \begin{array}{l}\;2\\ - 3\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l}\;2\\ - 3\end{array} \right] + ... + \left[ \begin{array}{l}\;2\\ - 3\end{array} \right]}_n) = \left[ \begin{array}{l}\;\;x\\ - 25\end{array} \right] \to \left[ \begin{array}{l} - 1\\\;2\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l}\;2n\\ - 3n\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}\;\;x\\ - 25\end{array} \right]\\\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - 3n = - 25 \to 3n = 27 \to n = 9\\ - 1 + 2n = x \to x = - 1 + 2 \times 9 = 17\end{array} \right\} \to x + n = 26\end{array}\)

احتمال آن که مهره قرمز بیرون نیاید برابر با \(\frac{{10 + 30}}{{60}} = \frac{2}{3}\) و احتمال آن که مهره آبی بیرون بیاید \(\frac{{30}}{{60}} = \frac{1}{2}\) است. بنابراین:

\(\frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6}\)

وقتی می گوییم در آزمایش پرتاب سکه، احتمال رو آمدن \(\frac{1}{2}\) است یعنی اتظار داریم در مقدار زیاد آزمایش ها تقریبا در \(\frac{1}{2}\) موارد سکه رو بیاید.

تعداد مهره های آبی ÷ تعداد کل مهره ها =  \(\frac{5}{{13}}\)

تعداد مهره های سبز ÷ تعداد کل مهره ها =  \(\frac{2}{{13}}\)

تقسیم دو عبارت فوق:

تعداد مهره های آبی ÷ تعداد مهره های سبز =  \(\frac{{\frac{5}{{13}}}}{{\frac{2}{{13}}}} = \frac{5}{2}\)

مهره ای به طور تصادفی از کیسه بیرون می آوریم؛ احتمال سبز بودن این مهره برابر \(\frac{3}{{10}}\) است. با توجه به این که در کیسه تنها مهره های سبز و آبی داریم. احتمال آبی بودن مهره برابر \(\frac{7}{{10}}\) است؛ بنابراین نسبت مهره های آبی به سبز برابر است با:

\(\frac{{\frac{7}{{10}}}}{{\frac{3}{{10}}}} = \frac{7}{3}\)