نمونه سوالات فصل 2 ریاضی هشتم همراه با جواب تشریحی

الف) عدد \(17\) اول است؛ زیرا به اعداد اول کوچک‎تر از خودش تا \(\sqrt {17} \simeq 4\) یعنی بر \(2\) و \(3\) بخش پذیر نیست.

ب) عدد \(17 \times 2\) کاملاً مشخص است که بر 2 و 17 بخش پذیر است، پس غیر از یک و خودش بازهم عامل (شمارنده) دیگری دارد و در نتیجه عددی مرکب است.

پ) عدد \({17^{11}}\) مرکب است؛ زیرا بر 17، \({17^2}\) و ... بخش پذیر است. دقت کنید که \({17^{11}} = 17 \times 17 \times ... \times 17\) (دارای 11 تا 17 است)؛ پس به اعداد دیگری غیر از یک و خودش بخش پذیر است، در نتیجه مرکب است.

ت) عدد 51 مرکب است، زیرا \(51 = 3 \times 17\) بر دو عدد 3 و 17 غیر از یک و 51 بخش پذیر است.

ث) عدد \({23^{23}}\) مرکب است، زیرا بر 23، \({23^{2}}\) و ... بخش پذیر است. پس یک عدد مرکب است.

ج) عدد 41 اول است؛ زیرا بر اعداد اول کوچکتر از \(\sqrt {41} \simeq 6\) که 2 ، 3 و 5 می باشند، بخش پذیر نیست.

جمع دو عدد 153 شده است، پس قطعا یکی از آنها فرد و دیگری زوج بوده است:

فرد = فرد + زوج

و چون تنها عدد اول زوج 2 است، پس یکی از اعداد 2 و دیگری 151 می باشد.

تفاضل دو عدد 177 می باشد که پس قطعا یکی آنها فرد و دیگری زوج بوده است:

فرد = زوج - فرد

و چون تنها عدد اول زوج 2 است، پس عدد دیگر 179 بوده است:

\(179 - 2 = 177\)

عدد 20 را تجزیه می کنیم:

پس 20 دو مقسوم علیه اول 2 و 5 دارد.

عدد 2400 را تجزیه می کنیم:

با توجه به نمودار درختی تجزیه 2400، متوجه می شویم این عدد سه مقسوم علیه اول دارد و چون سؤال تعداد مقسوم علیه های غیر مرکب 2400 را خواسته است، پس یک هم جزو آنها می باشد، زیرا یک نه اول و نه مرکب، در نتیجه 1، 2، 3 و 5 مقسوم علیه های غیر مرکب 2400 می باشند.

برای بررسی اول با مرکب بودن عدد 171 آن را بر تمامی اعداد اول کوچک تر از \(\sqrt {171} \simeq 13/...\) تقسیم می کنیم تا بدانیم بر آنها بخش پذیر است یا نه. دقت کنید که:

\(169 < 171 < 196\xrightarrow{{\sqrt {} }}13 < \sqrt {171} < 14\)

اعداد اول کوچک تر \(\sqrt {171} \) از عبارتند از 2، 3، 5، 7، 11 و 13 که 171 با نگاهی ساده بر 2 و 5 بخش پذیر نیست، اما چون مچموع ارقام آن \(1 + 7 + 1 = 9\) بر سه بخش پذیر است، پس 171 بر 3 بخش پذیر است و مرکب می باشد.

برای بررسی اول یا مرکب بودن 151 بخش پذیری آن را بر تمام اعداد اول کوچک تر از \(\sqrt {151} \) بررسی می کنیم:

\(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbjjvqon % vyUnhwaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbjjvqonvy % UnNrH5uDTbqefm0B1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacH8vrps % 0lbbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr % 0RYxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaacaGacm % GadaWaaiqaeaqbaiaagaaakeaacaaIXaGaaGinaiaaisdacqGH8aap % caaIXaGaaGynaiaaigdacqGH8aapcaaIXaGaaGOnaiaaiMdadaGdKa % WcbaWaaOaaaeaaaWqabaaaleqakiaawkziaiaaigdacaaIYaGaeyip % aWZaaOaaaeaacaaIXaGaaGynaiaaigdaaSqabaGccqGH8aapcaaIXa % GaaG4maaaa!4FD0! 144 < 151 < 169\xrightarrow{{\sqrt {} }}12 < \sqrt {151} < 13\)

که اعداد کوچک تر از \(\sqrt {151} \) عبارتند از 2، 3، 5، 7 و 11 که با نگاهی ساده عدد 151 بر 2، 3 و 5 بخش پذیر نیست، زیرا یکان آن زوج یا 5 نیست و مجموع ارقام \(\left( {1 + 5 + 1 = 7} \right)\) بر 3 بخش پذیر نیست. اما بخش پذیری 151 بر 7 و 11 را جداگانه بررسی می کنیم:

پس 151 بر هیچ یک از این اعداد بخش پذیر نبود؛ یعنی عدد اول می باشد.

عدد 307 اول است، یعنی تنها دو مقسوم علیه دارد؛ 1 و 307 که تنها 307 اول است. پس 307 فقط یک مقسوم علیه اول دارد.

مضارب عدد 21 که خودش عدد مرکب است با ضرب 21 در عددی دیگر ساخته می شوند: \(21 \times 2\)، \(21 \times 3\) و ... که یعنی همگی آنها مرکب هستند و مضارب 21 هیچ کدام اول نیستند.

در بین مضارب 7 تنها \(7 \times 1\) عددی اول است و مابقی مضارب مانند \(7 \times 2\)، \(7 \times 3\) و ... از حاصل ضرب 7 در عددی دیگر ساخته شده اند و این یعنی همگی مرکب هستند جز 7. پس از بین مضارب 7 تنها یک مضرب، عددی اول است.

اعدادی نسبت به \(21 = 3 \times 7\) اول هستند که در تجزیه خود عوامل 3 و 7 را نداشته باشند:

پس بین اعداد کوچک تر از 21 آنهایی که بر 3 و 7 بخش پذیرند را حذف می کنیم که 12 عدد باقی می ماند که نسبت به 21 اول هستند.

به دنبال اعدادی هستیم که نسبت به 7 اول هستند، یعنی به 7 بخش پذیر نیستند، اعدادی مانند 1، 2، 3، 4، 5 و ... .

اگر دو عدد نسبت به هم اول باشند مانند \(1 = \left( {3\,,\,4} \right)\)، ک.م.م آنها حاصل ضرب آنها خواهد بود: \(\left[ {3\,,\,4} \right] = 12\). پس اگر \(\left( {a\,,\,b} \right) = 1\) آنگاه \(\left[ {a\,,\,b} \right] = ab\) که aبرابر b خواهد بود؛ یعنی:

\(\frac{{\left[ {a\,,\,b} \right]}}{a} = b\)

عددهای اول بین 20 و 30 عبارتند از 23 و 29.

از ترکیب 2، 3 و 5 اعداد زیر ساخته می شوند:

\(\begin{array}{l}2 \times 3 \times 5 = 30\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2 \times 2 \times 3 \times 5 = 60\\2 \times 3 \times 3 \times 5 = 90\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2 \times 3 \times 5 \times 5 = 150\\2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 120\end{array}\)

به طور کلی هر تعداد 2، 3 و 5 در ترکیب ضربی با یکدیگر می توان نوشت که همگی شمارنده ای جز 2، 3 و 5 ندارند.

عدد \(25 = 5 \times 5\) چون عامل دیگری جز 5 ندارد با مضارب 5 خط می خورد و عدد \(36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3\) چون کوچک ترین عاملش 2 می باشد، پس با مضارب 2 خط می خورد.

عدد \(25 = 5 \times 5\) با مضارب عدد 5 خط می خورد. بعد از 25 مضرب بعدی 5 عدد 30 می باشد که قبلاً با مضرب 2 خط خورده است. اما مضرب بعدی 5 عدد \(35 = 5 \times 7\) می باشد که چون قبلاً خط نخورده است بعد از 25 خط می خورد.

تنها در صورتی ب.م.م \(2a\) و \(3a\) برابر 5 می شود که \(a = 5\) باشد:

\(\frac{{\left[ {a\,,\,a + 1} \right]}}{{\left( {a\,,\,2a} \right)}} = \frac{{\left[ {5\,,\,6} \right]}}{{\left( {5\,,\,10} \right)}}\,\, \Rightarrow \,\frac{{\left[ {5\,,\,6} \right]}}{{\left( {5\,,\,10} \right)}} = \frac{{5 \times 6}}{5} = 6\)

اعدادی که نسبت به \(3 \times 5 = 15\) اول هستند بر 3 و 5 بخش پذیر نیستند. پس در بین اعداد کوچکتر از 15 آنهایی که بر 3 و 5 پذیر هستند را خط می زنیم:

و اعداد باقی مانده نسبت به 15 اول هستند که تعداد آنها 8 تا است.

عدد 350 مضرب 2 است، اگر 350 را خط بزند، باید دوباره به الگوریتم برگردد و بقیه اعداد مرکب را خط بزند، پس این عدد پاسخ سوال نیست. اگر تا عدد \(299 = 13 \times 23\) الگوریتم را ادامه دهد با مضرب 13 خط می خورد، در حالی که هنوز عدد  \(289 = 17 \times 17\) که مضرب 17 می باشد خط نخورده. پس 299 نمی تواند عدد آخر باشد.

همچنین عدد 345 اولین بار جزو مضارب عدد 3 خط می خورد، پس با خط خوردن آن، الگوریتم ادامه دارد. ولی عدد 323 اگر آخرین عدد در نظر گرفته شود، تمامی اعداد مرکب قبل آن خط خورده است، چون:

\(323 = 17 \times 19\)

تجزیه

مرکب

عدد مرکب

1 (یک)

اول

بزرگ‎ترین مقسوم علیه مشترک

ب.م.م دو عدد

کوچک تر

مساوی

اول

اول

نیست

یک

اول

5

مجموع ارقام

یکان

کوچک ترین مضرب مشترک

2، 71

2 ، 2 ، 3 و 5

مضارب طبیعی هر عدد مرکب، همگی مرکب هستند.

در بین مضارب طبیعی هر عدد اول فقط خود آن عدد، اول است و مابقی مرکب هستند.

اگر دو عدد بر هم بخش پذیر باشند، ک.م.م آنها عدد بزرگ تر است.

اعداد طبیعی به سه دسته اعداد اول و اعداد مرکب و عدد یک تقسیم بندی می شوند.

عدد 1، نه اول است نه مرکب.

عدد 2 هم اول و هم زوج است.

اگر \(m\) یک عدد دو رقمی مانند 13 باشد، پس \({13^2} = 169\)، که نسبت به اعداد 13، 26، 39 و ... اول نیست.

اگر \(\left( {a\,,\,b} \right) = 1\)،آنگاه: \(\left[ {a\,,\,b} \right] = a.b\)

به عنوان مثال \(n = 4\) و \(m = 9\) را در نظر می گیریم، واضح است که:       \(\left( {9\,,\,4} \right) = 1\)

\(m \times n = 9 \times 4 = 36\) و شمارنده های 36 عبارتند از:

\(\left\{ {1\,,\,2\,,\,3\,,\,4\,,\,6\,,\,9\,,\,12\,,\,18\,,\,36} \right\}\)

که تعداد آنها 9 تا است.

اگر عدد 91 را تجزیه کنیم، داریم:   \(91 = 13 \times 7\)

شمارنده های اول عدد 91، اعداد 13 و 7 هستند.

اولین مضرب طبیعی عدد 31 که خود عدد 31 است، اول است.

هر عدد طبیعی بزرگ تر از یک را که مرکب باشد، می توان به صورت حاصل ضرب چند عدد اول نوشت.

هر عدد طبیعی بزرگ تر از 1، حداقل یک شمارنده اول دارد.

عدد 6 را تجزیه می کنیم: \(6 = 2 \times 3\) ، پس 6 تنها دو مقسوم علیه اول دارد.

تنها عددی که مقسوم علیه اول ندارد عدد یک است.

در بین گزینه ها عدد 51 بر 3 بخش پذیر است؛ زیرا مجموع ارقام 51، \(1 + 5 = 6\) است، پس 51 مرکب است.

اعداد اول یک رقمی عبارت اند از:  2، 3، 5 و 7

هر عدد اول تنها یک مقسوم علیه اول (خودش) دارد.

چون ب.م.م دو عدد \({2^3}\) شده است، یعنی هر دو عدد بر \({2^3}\) بخش پذیر هستند که در بین گزینه ها فقط گزینه (2) بر 8 بخش پذیر است.

حاصل ضرب دو عدد اول فقط زمانی زوج می شود که حتماً یکی از آنها عدد 2 باشد. عدد اول بزرگ تر \(118 \div 2 = 59\) است؛ در نتیجه:  \(5 + 9 = 14\)

اندازه ضلع کاشی، باید طوری باشد که هر دو عدد 48 و 36 بر آن عدد بخش پذیر باشند. این اعداد عبارت اند از: 1،2،3،4،6،12

که بزرگ ترین آنها برابر می شود با:        \(\left( {48\,,\,36} \right) = 12\)

برای اینکه عددی نسبت به \(7 \times 5 \times 2 = 70\) اول باشد، باید دارای عوامل 2، 5 و 7 در تجزیه خود نباشد که در بین گزینه ها تنها عدد 3 دارای این ویژگی است.

همه اعداد نسبت به 1 اول هستند، زیرا ب.م.م همه آنها با یک، خود عدد یک می باشد.

همه اعداد کوچک تر از یک عدد اول، نسبت به آن عدد، اول هستند.

1,2,3,4,5,6 همگی نسبت به 7 اول هستند.

اولین عددی که با مضارب 3 خط می خورد \({3^2}\) می باشد.

در غربال اعداد 1 تا 40 بعد از 1، عدد 4، سپس 6 خط می خورد، پس 6 سومین عددی است که خط می خورد.

در بین اعداد گزینه ها، عدد 141 بر 3 بخش پذیر است (به مجموع ارقام آن توجه کنید)، پس اول نیست.

عدد 141 را تجزیه می کنیم:    \(141 = 3 \times 47\)

که یعنی 141 با مضارب 3 خط می خورد، زیرا کوچک ترین عامل اول آن، عدد 3 می باشد.

برای آن که عددی نسبت به \(20 = {2^2} \times 5\) اول باشد، باید بر 2 و 5 بخش پذیر نباشد که در بین گزینه ها، گزینه (4) بر 2 و 5 بخش پذیر نمی باشد.

در مورد اعداد اول می توان گفت که نسبت به تمام اعداد کوچک تر از خود اول هستند، پس A عددی اول است که در بین گزینه ها تنها 41 اول است.

دقت کنید که یک نه اول و نه مرکب و صفر نیز عدد طبیعی نیست (اول و مرکب بودن برای اعداد طبیعی می باشد)؛ اعداد 3 و 5 اول هستند و در میان گزینه ها، 3 کوچک ترین عدد اول موجود می باشد.

در غربال اعداد 1 تا 15، 9 عدد خط می خورند:

باید بزرگ ترین عدد اولی را بیابیم که مربع آن عدد از 803 کوچک تر باشد:

\({23^2} = 529 < 803\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{29^2} = 841 > 803\)