نمونه سوالات فصل 5 ریاضی نهم همراه با جواب تشریحی

\( - 5{x^3},\sqrt {13} ,6x{y^3}\)

لازم به ذکر است عبارت x+1، تک جمله ای نیست و چند جمله ای می باشد.

\(\begin{array}{l}1) - 4\sqrt 2 {a^3}{b^2} \Rightarrow a = \sqrt 2 ,b = \sqrt 3 \\\\ = - 4\sqrt 2 {(\sqrt 2 )^3}{(\sqrt 3 )^2} = - 48\\\\2)\frac{1}{{\sqrt 5 }}(a{b^6}) \Rightarrow a = \sqrt {50} ,b = - 1\\\\ = \frac{1}{{\sqrt 5 }}(\sqrt {50} \times 1) = \frac{{\sqrt {50} }}{{\sqrt 5 }} = \sqrt {10} \end{array}\)

\(\begin{array}{l}1)4{y^2} - 5{x^3} - 3{y^2} + 4{x^3} = \\\\ \Rightarrow (4{y^2} - 3{y^2}) + ( - 5{x^3} + 4{x^3}) = {y^2} - {x^3}\\\\2)3x{y^2} - x + 4\sqrt 2 x{y^2} + 5x - y = \\\\ \Rightarrow (3 + 4\sqrt 2 )x{y^2} + ( - x + 5x) - y = \\\\ \Rightarrow (3 + 4\sqrt 2 )x{y^2} + 4x - y\end{array}\)

\(\begin{array}{l}1)5{x^2}y - 10x + 4y - 10x{y^2} + 4{x^2}y - 3 \Rightarrow y\\\\ - 10x{y^2} + 9{x^2}y + 4y - 10x - 3\\\\2)({x^5} + 2)(1 - x) + 2({x^6} + 2)(x - 1) \Rightarrow x\\\\({x^5} + 2 - {x^6} - 2x) + 2({x^7} + 2x - {x^6} - 2) = \\\\2{x^7} - 3{x^6} + {x^5} + 2x - 2\end{array}\)

\(\begin{array}{l}(x + y)({x^2} + {y^2} - 2xy) - (x + y)(x - y) = \\\\ \Rightarrow {x^3} + x{y^2} - 2{x^2}y + {x^2}y + {y^3} - 2x{y^2} - ({x^2} - {y^2}) = \\\\ \Rightarrow {x^3} + {y^3} - {x^2}y - x{y^2} - {x^2} + {y^2}\end{array}\)

تعداد جملات: 6 جمله

درجه نسبت به x: 3

درجه نسبت به y: 3

درجه نسبت به همه متغیر ها: 3

الف)

\( = (x + y) \times (x - y) = {x^2} - {y^2}\) مساحت

ب)

\( = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{(a + \sqrt a )^2} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}({a^2} + 2a\sqrt a + a) = \) مساحت

\( \Rightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\sqrt a + \frac{{\sqrt 3 }}{4}a\)

\(\begin{array}{l}1)\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{{x^2} + 2xy + {y^2}}} = \\\\ \Rightarrow \frac{{(x + y)(x - y)}}{{{{(x + y)}^2}}} = \frac{{x - y}}{{x + y}}\\\\2)\frac{{{x^3} + {y^3}}}{{x + y}} = \\\\ \Rightarrow \frac{{(x + y)({x^2} - xy + {y^2})}}{{x + y}} = {x^2} - xy + {y^2}\\\\3)\frac{{{{(x + y)}^2} + (x + y)(x - y)}}{x} = \\\\ \Rightarrow \frac{{({x^2} + 2xy + {y^2}) + ({x^2} - {y^2})}}{x} = \\\\ \Rightarrow \frac{{2{x^2} + 2xy}}{x} = \frac{{x(2x + 2y)}}{x} = 2x + 2y\end{array}\)

\(\begin{array}{l}1){(2a + b - 2c)^2} = \\\\ \Rightarrow {(2a)^2} + {b^2} + {( - 2c)^2} + 2(2a)(b) + \\\\ \Rightarrow + 2(2a)( - 2c) + 2(b)( - 2c) = \\\\ \Rightarrow 4{a^2} + {b^2} + 4{c^2} + 4ab - 8ac - 4bc\\\\2){(a - b - c)^2} = \\\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2a( - b) + 2a( - 2) + 2( - b)( - 2) = \\\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2ab - 2ac + 2bc\end{array}\)

\(\begin{array}{l}1)(\sqrt 3 + \sqrt 5 )(\sqrt 3 - \sqrt 5 )(5 + 3) = \\\\ \Rightarrow ({(\sqrt 3 )^2} - {(\sqrt 5 )^2})(3 + 5) = (3 - 5)(3 + 5) = \\\\ \Rightarrow 9 - 25 = - 16\\\\2)(x - y)(x + y)({x^2} + {y^2}) = \\\\ \Rightarrow ({x^2} - {y^2})({x^2} + {y^2}) = {x^4} - {y^4}\end{array}\)

\( = (5x + 4y)((x - 2y) + (4x + 3y)) = \)مساحت ذوزنقه

\(\begin{array}{l}\frac{{(5x + 4y)(5x + y)}}{2} = \frac{{5{x^2} + 5xy + 20xy = 4{y^2}}}{2} = \\\\\frac{5}{2}{x^2} + \frac{{25}}{2}xy + 2{y^2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}1)2{x^2} + 14x + 20 = 2({x^2} + 7x + 10) = \\\\2(x + 50)(x + 2)\\\\2){x^2} - 11x + 28 = (x - 4)(x - 7)\\\\3){x^3} + 5x{}^2 + 6x = x({x^2} + 5x + 6) = \\\\x(x + 2)(x + 3)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}1){2^{10}} - {2^9} + {2^6} = {({2^5})^2} - 2({2^5})({2^3}) + {({2^3})^2} = \\\\{({2^5} - {2^3})^2}\\\\2){3^8} - 2 \times {6^4} + {2^8} = {({3^4})^2} + 2({3^4})({2^4}) + {({2^4})^2} = \\\\({3^4} + {2^4})\end{array}\)

\(\begin{array}{l}1)104 \times 96 = (100 + 4)(100 - 4) = {100^2} - {4^2} = \\\\1000 - 16 = 9984\\\\2){5^2} - 5 \times {2^3} + {2^4} = {5^2} - 2 \times 5 \times {2^2} + {2^4} = \\\\{(5 - {2^2})^2} = {(5 - 4)^2} = {1^2} = 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l}1)9{x^2} - 36{y^2} = {(3x)^2} - {(6y)^2} = (3x + 6y)(3x - 6y)\\\\2){(x - \frac{1}{x})^2} - {(x + \frac{1}{x})^2} = \\\\((x - \frac{1}{x}) + (x + \frac{1}{x}))((x - \frac{1}{x}) - (x + \frac{1}{x})) = \\\\2x \times \frac{{ - 2}}{x} = - 4\\\\3){x^3} + 27 = {x^3} + {3^2}(x + 3)({x^2} - 3x + 9)\\\\4)8 - 216{y^3} = {(2)^3} - {(6y)^3} = \\\\(2 - 6y)(4 + 12y + 36{y^2})\end{array}\)

\(\begin{array}{l}1) - 4 < x < 4 \Rightarrow |x| < 4\\\\2)x \ge - 6\\\\3)(x < - 2) \cup (x \ge 3)\end{array}\)

الف) <

ب) <

پ) <

\(\begin{array}{l}1)\frac{{a{b^2}}}{{{c^3}}} > 0\\\\2)\frac{{ac}}{{ - \sqrt {{b^2}{c^2}} }} > 0\end{array}\)

الف)

\(2x + 5 < - 4\)

ب)

\(|x| \ge x\)

\(\begin{array}{l}1)\frac{{x + 4}}{3} - \frac{{x - 2}}{6} \le 5 \Rightarrow \frac{{x + 4}}{3} - \frac{{x - 2}}{6} - 5 \le 0\\\\ \Rightarrow \frac{{2(x + 4) - (x - 2) - 30}}{6} \le 0\\\\ \Rightarrow 2x + 8 - x + 2 - 30 \le 0 \Rightarrow x - 20 \le 0 \Rightarrow x \le 20\end{array}\)

\(\begin{array}{l}2)4x + 2(x - 5) > 3 \Rightarrow 4x + 2x - 10 - 3 > 0\\\\ \Rightarrow 6x - 13 > 0 \Rightarrow 6x > 13 \Rightarrow \frac{{13}}{6}\end{array}\)

اگر سن شخص را x در نظر بگیریم، داریم:

\(\begin{array}{l}4x + (x - 2) = 4(x + 2) \Rightarrow 4x + (x - 2) = 4x + 8\\\\ \Rightarrow x - 2 = 8 \Rightarrow x = 10\end{array}\)

سن فعلی این شخص، 10 سال می باشد. 5 سال آینده سن این شخص 15 سال می باشد!

متغیر

عددی – حرفی

ضریب عددی

جملات جبری متشابه

چند جمله ای جبری

اتحاد

\((x + 5)(x - 2)\)

مزدوج

مزدوج

قرینه

مرجع دو جمله - \({(x - 5)^2}\)

سه

است

نمی توان

منفی

\({x^2} + 6 \ge 3\)

مثبت

\(x \ge - 1\)

نابرابری خطی

\(\sqrt 3 + \sqrt 7 \)

چند جمله ای نمی باشد.

یک اتحاد دو جمله مربع می باشد.

به صورت \({a^2}(a - 1)\)  می باشد.

عبارت مذکور قابل تجزیه نمی باشد.

مثال نقض \((x - y)( - x + 1)\)  را نمی توان با استفاده از اتحاد مزدوج ضرب نمود.

تساوی مذکور اتحاد یک جمله مشترک می باشد.

با 4 مرتبه این عمل امکان پذیر است.

علامت نا مساوی تغییر نمی کند.

می دانیم که مجموعه درجات یک جمله را، درجه یک جمله ای نسبت به همه متغیر هایش می گویند؛ اما عبارت مذکور چند جمله ای نمی باشد.

همه اعداد ثابت، یک جمله ای جبری می باشد.

می دانیم که درجه چند جمله ای نسبت به متغیر x برابر با بیشترین توان x می باشد:

\(\begin{array}{l}{({x^3} - x{y^2})^{18}} + {({x^6}{y^3} - {x^2} + 3)^9} = \\\\{({x^3})^{18}} + \cdots + {({x^6}{y^3})^9} + \cdots = \\\\{x^{54}} + \cdots + {x^{54}}{y^{27}} + \cdots \end{array}\)

در نتیجه درجه این چند جمله ای نسبت به x، 54 می باشد.

X=0 قرار می دهیم؛ در این صورت:

\(\left\{ \begin{array}{l}(x = y)(x + z) = (0 + y)(0 + z) = yz\\\\x + yz = 0 + yz = yz\end{array} \right.\)

عبارت مذکور را ساده می کنیم:

\((2{x^2} + 3)(x + 2) = 2{x^3} + 4{x^2} + 3x + 6\)

در عبارت بالا، 4 جمله غیر متشابه وجود دارد.

\(\begin{array}{l}{(x - y)^{73}} = {(y - x)^{73}} = \\\\{(x - y)^{73}} + {(( - 1)(x - y))^{73}} = \\\\{(x - y)^{73}} + {( - 1)^{73}}{(x - y)^{73}} = \\\\{(x - y)^{73}} - {(x - y)^{73}} = 0\end{array}\)

\(x + \frac{1}{8} = 8 \Rightarrow \sqrt {x + \frac{1}{x} + 1} = \sqrt {8 + 1} = \sqrt 9 = 3\)

\(\begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 1}}{{1 + \frac{1}{x}}} = \frac{{(x + 1)(x - 1)}}{{\frac{{x + 1}}{x}}} = \frac{{x(x + 10(x - 1)}}{{x + 1}} = \\\\x(x - 1)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}(\sqrt 6 - \sqrt {24} )(\sqrt 6 + \sqrt {24} ) = {(\sqrt 6 )^2} - {(\sqrt {24} )^2} = \\\\6 - 24 = - 18\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{{{(x + y)}^8}}}{{{{(x - y)}^8}}} = {(\frac{{{{(x + y)}^8}}}{{{{(x - y)}^8}}})^4} = {(\frac{{{x^2} + {y^2} + 2xy}}{{{x^2} + {y^2} - 2xy}})^4} = \\\\{(\frac{{xy + 2xy}}{{xy - 2xy}})^4} = {(\frac{{3xy}}{{ - xy}})^4} = {( - 3)^4} = 81\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 + 2}} = \frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 + 2}} \times \frac{{\sqrt 5 - 2}}{{\sqrt 5 - 2}} = \frac{{\sqrt 5 (\sqrt 5 - 2)}}{{{{(\sqrt 5 )}^2} - {2^2}}} = \\\\\frac{{5 - 2\sqrt 5 }}{{5 - 4}} = 5 - 2\sqrt 5 \end{array}\)

\(\begin{array}{l}{a^6} - 16{a^2} = {a^2}({a^4} - 16) = {a^2}({a^2} + 4)({a^2} - 4) = \\\\{a^2}({a^2} + 4)(a + 2)(a - 2)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}146 \times 134 - {140^2} = (140 + 6)(140 - 6) - {140^2} = \\\\{140^2} - {6^2} - {140^2} = - {6^2} = - 36\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{x^4} - 16 = ({x^2} + 4)({x^2} - 4) = \\\\(x + 4)(x + 2)(x - 2)\\\\{x^3} - 4{x^4} + 4x = x({x^2} - 4x + 4) = \\\\x{(x - 2)^2}\end{array}\)

\( = (x - 2)\) ک.م.م

\(\begin{array}{l}\frac{{3x + 2}}{5} - \frac{{2x - 1}}{2} < 1 \Rightarrow \frac{{3x + 2}}{5} - \frac{{2x - 1}}{2} < 0\\\\ \Rightarrow \frac{{2(3x + 2) - 5(2x - 1) - 10}}{{10}} < 0\\\\ \Rightarrow (6x + 4) - (10x - 5) - 10 < 0\\\\ \Rightarrow - 4x - 1 < 0 \Rightarrow - 4x < + 1 \Rightarrow x > \frac{{ - 1}}{4}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{2x + 1}}{5} < \frac{{3x - 6}}{7} \Rightarrow \frac{{2x + 1}}{5} - \frac{{3x - 6}}{7} < 0\\\\ \Rightarrow \frac{{7(2x + 1) - 5(3x - 6)}}{{35}} < 0\\\\ \Rightarrow 14x + 7 - 15x + 30 < 0 \Rightarrow - x + 37 < 0\\\\ \Rightarrow x > 37\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{5n + 1}}{2} > n - 2 \Rightarrow \frac{{5n + 1}}{2} - (n - 2) > 0\\\\ \Rightarrow \frac{{5n + 1 - 2(n - 1)}}{2} > 0\\\\ \Rightarrow \frac{{5n + 1 - 2n + 2}}{2} > 0 \Rightarrow \frac{{3n + 3}}{2} > 0\\\\ \Rightarrow 3n + 3 > 0 \Rightarrow 3n > - 3 \Rightarrow n > - 1\\\\ \Rightarrow \{ n|n \in \mathbb{N}\} \end{array}\)

\(\begin{array}{l}1)x(x + 2) \ge {x^2} + 2x + 1\\\\ \Rightarrow {x^2} + 2x \ge {x^2} + 2x + 1 \Rightarrow 0 \ge 1\\\\2)(x + 2)x \ge {x^2} + x + 1\\\\ \Rightarrow {x^2} + 2x \ge {x^2} + x + 1 \Rightarrow x \ge 1\\\\3){x^2} + 3x - 4 \ge (x + 1)(x - 2)\\\\ \Rightarrow {x^2} + 3x - 4 \ge {x^2} - x - 2\\\\ \Rightarrow 4x \ge 2 \Rightarrow x \ge \frac{1}{2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}624 < (n + 1)(n - 1) < 1023\\\\ \Rightarrow 624 < {n^2} - 1 < 1023 \Rightarrow 625 < {n^2} < 1024\\\\ \Rightarrow 25 < n < 32\end{array}\)