نمونه سوالات فصل 6 ریاضی نهم همراه با جواب تشریحی

رابطه های \(x + 5 = y + 4\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,5x - 4y + 3 = 0\)  خطی هستند.

الف) \(S = {a^2}\) ؛ a طول ضلع مربع و S مساحت آن؛ خطی نیست.

ب) \(P = 2\pi r\) ؛ r شعاع دایره و P محیط آن؛ خطی است.

پ) \(V = {a^3}\) ؛ a ضلع مکعب و V حجم آن؛ خطی نیست.

\(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{5}\\\\y = 2\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\\\y = - 4\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\\\y = 16\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}1)4x + 3y = 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\,\,4\\ - 5\end{array} \right],\left[ \begin{array}{l} - 2\\\,3\end{array} \right],\left[ \begin{array}{l}\,1\\ - 1\end{array} \right]\\\\2)\frac{{y + 2}}{3} = \frac{{x - 2}}{2} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\,2\\ - 2\end{array} \right],\left[ \begin{array}{l}0\\ - 5\end{array} \right],\left[ \begin{array}{l}4\\1\end{array} \right]\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3x + y = - 5\\\\\left[ \begin{array}{l}a + 1\\2a\end{array} \right]\end{array} \right. \Rightarrow 3(a + 1) + (2a) = - 5\\\\ \Rightarrow 3a + 3 + 2a = - 5 \Rightarrow 5a = - 8 \Rightarrow a = \frac{{ - 8}}{5}\end{array}\)

ابتدا دو خط را بر روی صفحه مختصات رسم می کنیم:

\(\begin{array}{l}1)y = 5x - 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\\\b = - 1\end{array} \right.\\\\2)y = - 4x - 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 4\\\\b = - 3\end{array} \right.\\\\3)y = 4x + 5 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\\\b = 5\end{array} \right.\end{array}\)

\(\begin{array}{l}y = (5k - 1)x + (3n + 5)\\\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}5k - 1 = 9\\\\3n + 5 = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}5k = 10 \Rightarrow k = 2\\\\3n = - 6 \Rightarrow n = - 2\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow k + n = 0\end{array}\)

الف)

\(\left\{ \begin{array}{l}y = 3x - 2 \Rightarrow a = 3\\\\b = + 2\end{array} \right. \Rightarrow y = 3x + 2\)

ب)

\(\begin{array}{l}y = 5x + 4 \Rightarrow a = 5 \Rightarrow y - 2 = 5(x - 5)\\\\ \Rightarrow y = 5x - 23\end{array}\)

پ)

\(\begin{array}{l}a = \frac{{1 - 6}}{{5 - 3}} = \frac{{ - 5}}{2} \Rightarrow y - 1 = - \frac{5}{2}(x - 5)\\\\ \Rightarrow y = - \frac{5}{2}x + \frac{{25}}{2} + 1 \Rightarrow y = \frac{{ - 5}}{2}x + \frac{{27}}{2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}3x - 5y = 4 \Rightarrow 5y = 3x - 4\\\\ \Rightarrow y = \frac{3}{5}x - \frac{4}{5} \Rightarrow a = \frac{3}{5}\\\\y - 5 = \frac{3}{5}(x - 1) \Rightarrow y - 5 = \frac{3}{5}x - \frac{3}{5}\\\\ \Rightarrow y = \frac{3}{5}x - \frac{3}{5} + 5 \Rightarrow y = \frac{3}{5}x + \frac{{22}}{5}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}5(3x - 2) = 4(y - 5) \Rightarrow 15x - 10 = 4y - 20\\\\ \Rightarrow 15x - 4y - 10 + 20 = 0\\\\ \Rightarrow 15x - 4y + 10 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 15\\\\b = - 4\\\\c = 10\end{array} \right.\end{array}\)

\(1)\frac{9}{3} \ne \frac{4}{2} \ne \frac{5}{3}\)

دستگاه یک جواب دارد.

\(2)\frac{1}{3} = \frac{{ - 1}}{{ - 3}} \ne \frac{1}{4}\)

دستگاه جواب ندارد.

برای اینکه دستگاه بی شمار جواب داشته باشد، بایستی تساوی زیر برقرار باشد:

\(\begin{array}{l}\frac{3}{{3n - 6}} = \frac{2}{{ - 16}} = \frac{4}{{ - 32}} \Rightarrow \frac{3}{{3n - 6}} = - \frac{1}{8}\\\\ \Rightarrow - (3n - 6) = 24 \Rightarrow 3n - 6 = - 24\\\\ \Rightarrow 3n = - 18 \Rightarrow n = - 6\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{3k - 1}}{{k + 1}} = \frac{2}{3} \ne \frac{5}{1} \Rightarrow \frac{{3k - 1}}{{k + 1}} = \frac{2}{3}\\\\ \Rightarrow \frac{{3k - 1}}{{k + 1}} - \frac{2}{3} = 0\\\\ \Rightarrow \frac{{3(3k - 1) - 2(k + 1)}}{{3(k + 1)}} = 0\\\\ \Rightarrow \frac{{(9k - 3) - (2k + 2)}}{{3(k + 1)}} = 0\\\\ \Rightarrow \frac{{7k - 5}}{{3(k + 1)}} = 0 \Rightarrow 7k - 5 = 0 \Rightarrow k = \frac{5}{7}\end{array}\)

الف) حل به کمک رسم معادله های خطی:

ابتدا فرم \(y = ax + b\)  هر معادله را بدست می آوریم، سپس هر کدام را در یک صفحه مختصات رسم می کنیم، نقطه تلاقی را بیابیم. نقطه مورد نظر جواب مسئله می باشد.

ب) حل به کمک روش حذفی:

در این روش، به کمک روابط ریاضی، یکی از متغیر ها را حذف می نماییم. سپس مقدار متغیر باقی مانده را محاسبه می نماییم. مقدار بدست آمده را در یکی از معادلات گذاشته و با ساده سازی و حل معادله مورد نظر، مقدار مقدار متغیر دیگر نیز بدست می آید.

پ) حل به کمک روش جایگزین:

دراین روش، در یکی از معادله ها، یک متغیر را بر حسب دیگری محاسبه می کنیم. رابطه بدست آمده را در معادلۀ دیگر جایگزین می کنیم تا یک معادله خطی بر حسب یک متغیر بدست آید. جواب معادله را محاسبه کرده و سپس مقدار بدست آمده را در رابطۀ قبلی می گذاریم تا مقدار متغیر دیگری بدست آید.

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}4x + 5y = 7\\\\(2 \times ) - 2x + 3y = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 5y = 7\\\\ - 4x + 6y + 4\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow 11y = 11 \Rightarrow y = 1\\\\ \Rightarrow 4x + 5(1) = 7 \Rightarrow 4x + 5 = 7\\\\ \Rightarrow 4x = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 5\\\\3x + 2y = 3\end{array} \right. \Rightarrow 2x - 3y = 5\\\\ \Rightarrow 2x = 3y = 5 \Rightarrow x = \frac{{3y + 5}}{2}\\\\ \Rightarrow 3x + 2y = 3 \Rightarrow 3(\frac{{3y + 5}}{2}) + 2y = 3\\\\ \Rightarrow \frac{{9y + 15}}{2} + 2y = 3 \Rightarrow \frac{{9y + 15 - 4y}}{2} = 3\\\\ \Rightarrow 5y + 15 = 6 \Rightarrow 5y = - 9 \Rightarrow y = \frac{{ - 9}}{5}\\\\ \Rightarrow x = \frac{{3y + 5}}{2} = \frac{{3( - \frac{9}{5}) + 5}}{2} = \\\\\frac{{\frac{{ - 27}}{5} + 5}}{2} = \frac{{\frac{{ - 27 + 25}}{5}}}{2} = \frac{{\frac{{ - 2}}{5}}}{2} \Rightarrow x = \frac{{ - 1}}{5}\\\\ \Rightarrow x = \frac{{ - 1}}{5},y = \frac{{ - 9}}{5}\end{array}\)

B=0

\(\left[ \begin{array}{l}0\\0\end{array} \right]\)

می باشد.

غیر خطی

\(\left[ \begin{array}{l}2\\ - 3\end{array} \right]\)

\(\left[ \begin{array}{l}0\\6\end{array} \right],\left[ \begin{array}{l}2\\0\end{array} \right]\)

طول ها – عرض ها

\( - \frac{5}{3}\)

\( - \frac{5}{2}\)

طول ها

\(m = \frac{{{y_2} - {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\)

شیب هایشان با هم برابر باشند.

\(\left[ \begin{array}{l} - 4\\2\end{array} \right]\)

محور عرض ها

شیب دو خط با هم برابر نباشند.

حذفی

نقطه تقاطع

\(\left[ \begin{array}{l}2\\ - 1\end{array} \right]\)

جواب نمی باشد.

بر یکدیگر منطبق هستند.

بین a و b رابطه خطی برقرار نیست.

محور عرض ها را در نقطه \(\left[ \begin{array}{l}0\\ - 2\end{array} \right]\)  قطع می کند.

مختصات \(\left[ \begin{array}{l}2\\5\end{array} \right]\)  می باشد.

اگر به جای b صفر بگذاریم، چنین می شود.

رابطه خطی نمی باشد.

عرض از مبدا، 5- می باشد:

\(\begin{array}{l}5x - 2y - 10 = 0 \Rightarrow 2y = 5x - 1\\\\ \Rightarrow y = \frac{5}{2}x - 5\end{array}\)

طول تمام نقطه هایی که روی خط \(x = - 5\)  قرار دارد، برابر 5- می باشد.

شیب خط تغییری نمی کند.

اگر مقدار شیب آن ها متفاوت باشند، حتما دو خط با یکدیگر برخورد می کنند.

ابتدا دو معادله را به شکل خطی \(ax + by = c\)  تبدیل می کنیم. سپس \(\frac{c}{{c'}},\frac{b}{{b'}},\frac{a}{{a'}}\)  را با یکدیگر بررسی می نماییم:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y + 1 = 0\\\\4y = 3x - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = - 1\\\\ - 3x + 4y = - 1\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow \frac{3}{{ - 3}} \ne \frac{{ - 2}}{4} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 1}}\end{array}\)

در این صورت دو معادله خطی در یک نقطه، یکدیگر را قطع می کنند. در نتیجه با هم موازی نیستند.

اگر نقطه ای روی محور طول ها باشد، دارای عرض صفر و نقطه ای روی محور عرض ها باشد، دارای طول سفر خواهد بود.

\(M = \left[ \begin{array}{l}3x - 6\\2n + 1\end{array} \right] \Rightarrow 3m - 6 = 0 \Rightarrow m = 2\)    روی محور عرض ها

\(N = \left[ \begin{array}{l}m + 5\\n - 1\end{array} \right] \Rightarrow n - 1 = 0 \Rightarrow n = 1\)     روی محور طول ها

\(\begin{array}{l} \Rightarrow M = \left[ \begin{array}{l}0\\3\end{array} \right],N = \left[ \begin{array}{l}7\\0\end{array} \right]\\\\ \Rightarrow {S_{O\mathop M\limits^\Delta N}} = \frac{{7 \times 3}}{2} = 11/5\end{array}\)

وقتی نقطه \(\left[ \begin{array}{l}x\\y\end{array} \right]\)  از محور های مختصات به یک فاصله است که روی نیم ساز ربع اول باشد که در این حالت x=y است و یا روی نیم ساز ربع دوم و چهارم می باشد که در این حالت x=-y می باشد. داریم:

\(A \Rightarrow 5x - 6 = - 2x + 8 \Rightarrow 5x + 2x = \)   روی نیم ساز ربع اول و سوم

\(6 + 8 \Rightarrow 7x = 140 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow A = \left[ \begin{array}{l}4\\4\end{array} \right]\)

\(A \Rightarrow 5x - 6 = - ( - 2x + 8) \Rightarrow 5x - 6 = \)   روی نیم ساز ربع دوم و چهارم

\(\begin{array}{l}2x - 8 \Rightarrow 5x - 2x = 6 - 8 \Rightarrow 3x = - 2\\\\ \Rightarrow x = \frac{{ - 2}}{3} \Rightarrow A = \left[ \begin{array}{l}\frac{{ - 28}}{3}\\\,\,\frac{{28}}{3}\end{array} \right]\end{array}\)

در ناحیه دوم، طول منفی و عرض مثبت می باشد، پس داریم:

\(\left. \begin{array}{l}5x - 1 < 0 \Rightarrow 5x < 1 \Rightarrow x < \frac{1}{5}\\\\2 - 3x > 0 \Rightarrow 3x < 2 \Rightarrow x < \frac{2}{3}\end{array} \right\} \Rightarrow x < \frac{1}{5}\)

\(\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}4\\1\end{array} \right] \Rightarrow ay = 3x - 2 \Rightarrow a(1) = 3(4) - 2\\\\ \Rightarrow a = 12 - 2 \Rightarrow a = 10\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}5n + 6\\ - 3n - 1\end{array} \right] \Rightarrow y = 5x + 4\\\\ \Rightarrow - 3n - 1 = 5(5n + 6) + 4\\\\ \Rightarrow - 3n - 1 = 25n + 30 + 4\\\\ \Rightarrow - 3n - 25n = 30 + 4 + 1 \Rightarrow - 28n = 35\\\\ \Rightarrow n = - \frac{{35}}{{28}} = - \frac{5}{4} = - 1/25\end{array}\)

ابتدا خط مورد نظر را به صورتی رسم می کنیم که از ناحیه چهارم نگذرد:

برای این منظور بایستی شیب خط نامنفی و عرض از مبدا نیز نامنفی باشد؛ بنابراین داریم:

\(\begin{array}{l}a - 1 \ge 0 \Rightarrow a \ge 1\\\\b + 2 \ge 0 \Rightarrow b \ge - 2\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}0\\0\end{array} \right] \Rightarrow y = (n - 2)x + (4m + 8)\\\\ \Rightarrow 0 = (n - 2) \times 0 + (4m + 8)\\\\ \Rightarrow 4m + 8 = 0 \Rightarrow m = - 2 \Rightarrow n \in \mathbb{R},m = 0\end{array}\)

در شکل، شیب خط منفی و عرض از مبدا نیز منفی می باشد. این موارد در معادله خط گزینه (3) رعایت شده است.

برای بدست آوردن معادله خط، به شیب خط و عرض از مبدا نیاز داریم. مقدار عرض از مبدا 3 می باشد؛ بنابراین گزینه های (2) و (4) حذف می شوند؛ مقدار شیب نیز از رابطه زیر محاسبه می شود:

\(\left\{ \begin{array}{l}m = \frac{{{y_2} - {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\\\\\left[ \begin{array}{l}0\\3\end{array} \right],\left[ \begin{array}{l} - 6\\0\end{array} \right]\end{array} \right. \Rightarrow m = \frac{{ - 6 - 0}}{{0 - 3}} = \frac{{ - 6}}{{ - 3}} = 2\)

بنابراین گزینه (1) صحیح می باشد.

\(\begin{array}{l}\frac{4}{5}x - \frac{3}{2}y - 1 = 0 \Rightarrow \frac{3}{2}y = \frac{4}{5}x - 1\\\\ \Rightarrow y = \frac{2}{3}(\frac{4}{5}x - 1) \Rightarrow y = \frac{8}{{15}}x - \frac{2}{3}\end{array}\)

که تنها در گزینه (3)، شیب مثبت و عرض از مبدا منفی می باشد.

\(\begin{array}{l}\frac{{5 - 2y}}{4} = 3x - 2 \Rightarrow 5 - 2y = 4(3x - 2)\\\\ \Rightarrow 5 - 2y = 12x - 8 \Rightarrow - 2y = 12x - 8 + 5\\\\ \Rightarrow - 2y = 12 - 3 \Rightarrow y = \frac{{12x - 3}}{{ - 2}}\\\\ \Rightarrow y = - 6x + \frac{3}{2}\end{array}\)

معادله خط خواسته شده به صورت زیر می باشد:

\(y = - 2x + 4\)

باقی گزینه هایی که به این فرم نیستند را به همین صورت در می آوریم:

گزینه (2):

\(\begin{array}{l}2y + x - 8 = 0 \Rightarrow 2y = - x + 8\\\\ \Rightarrow y = - \frac{1}{2}x + 4\end{array}\)

گزینه (3):

\(\begin{array}{l}\frac{y}{2} + x - 2 = 0 \Rightarrow \frac{y}{2} = - x + 2\\\\ \Rightarrow y = - 2x + 4\end{array}\)

گزینه (4):

\(y - 2x = 4 \Rightarrow y = 2x + 4\)

\(\begin{array}{l}\frac{{5 + 3x - 2y}}{2} = \frac{{x - 1}}{3} \Rightarrow 3(5 + 3x - 2y) = \\\\2(x - 1) \Rightarrow 15 + 9x - 6y = 2x - 2\\\\ \Rightarrow - 6y = 2x - 2 - 9x - 15\\\\ \Rightarrow - 6y = - 7x - 17 \Rightarrow y = \frac{{ - 7}}{{ - 6}}x - \frac{{17}}{{ - 6}}\\\\ \Rightarrow y = \frac{7}{6}x + \frac{{17}}{6}\end{array}\)

\(\frac{7}{6}\):شیب

\(\begin{array}{l}\frac{{x + y}}{3} = \frac{{x - y}}{2} \Rightarrow 2(x + y)) = 3(x - y))\\\\ \Rightarrow 2x + 2y = 3x - 3y\\\\ \Rightarrow 2y + 3y = 3x - 2x \Rightarrow 5y = x\\\\ \Rightarrow y = \frac{1}{5}x \Rightarrow m = \frac{1}{5}\end{array}\)

معادله خطی به شیب \(\frac{1}{5}\)  و گذرنده از نقطه \(\left[ \begin{array}{l}2\\ - 1\end{array} \right]\)  به صورت زیر است:

\(\begin{array}{l}(y + 1) = \frac{1}{5}(x - 2) \Rightarrow 5(y + 1) = x - 2\\\\ \Rightarrow 5y + 5 = x - 2 \Rightarrow - x + 5y = - 7\end{array}\)

یک دستگاه معادلات به صورت \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\)  داریم اگر:

الف) \(\frac{a}{{a'}} \ne \frac{b}{{b'}}\) ؛ آنگاه دستگاه یک جواب مشخص دارد.

ب) \(\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} \ne \frac{c}{{c'}}\) ؛ آنگاه دستگاه جواب ندارد و دو خط مذکور مساوی هستند.

پ) \(\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} = \frac{c}{{c'}}\) ؛ آنگاه دستگاه بی شمار جواب دارد و دو خط بر یکدیگر منطبق هستند.

حال دستگاه صورت سوال را به این شکل در آورده و مورد بررسی قرار می دهیم:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 5 = 0\\\\2y = 4x - 10\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y = 5\\\\ - 4x + 2y = - 10\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow \frac{2}{{ - 4}} = \frac{{ - 1}}{2} = \frac{5}{{ - 10}} = \frac{{ - 1}}{2}\end{array}\)

در این صورت دستگاه بی شمار جواب دارد.

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}4x - 5y = 3\\\\( - 2 \times )2x - y = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - 5y = 3\\\\ - 4x + 2y = - 6\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow - 3y = - 3 \Rightarrow y = + 1\\\\ \Rightarrow 4x - 5( + 1) = 3 \Rightarrow 4x - 5 = 3\\\\ \Rightarrow 4x = 8 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\\\y = 1\end{array} \right.\end{array}\)

برای بدست آوردن معادله خط، بایستی یک شیب داشته باشیم و یک نقطه گذرنده!

در این جا خط مطلوب موازی با خط \(y = 4x + 1\)  می باشد، بنابراین شیب این خط m=4 می باشد.

نقطه مورد نظر نیز از حل دستگاه زی بدست می آید:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 3x - 2\\\\y + x = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - y = 2\\\\x + y = 2\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow 4x = 4 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow 3x - y = 2\\\\ \Rightarrow 3(1) - y = 2 \Rightarrow 3 - y = 2 \Rightarrow y = 3 - 2 = 1\\\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\\\y = 1\end{array} \right.\end{array}\)

در این صورت معادله خط مذکور از رابطه زیر محاسبه می شود:

\(\begin{array}{l}(y - 1) = 4(x - 1) \Rightarrow y - 1 = 4x - 4\\\\ \Rightarrow y = 4x - 4 + 1 \Rightarrow y = 4x - 3\end{array}\)

عدد اول x و عدد دوم را y در نظر می گیریم و دستگاه معادلات خطی تشکیل می دهیم:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}4x + 2y = 34\\\\2x - 3y = 5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 2y = 34\\\\( - 2 \times )2x - 3y = 5\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 2y = 34\\\\ - 4x + 6y = - 10\end{array} \right. \Rightarrow 8y = 24 \Rightarrow y = 3\\\\2x - 3(3) = 5 \Rightarrow 2x = 14 \Rightarrow x = 7\\\\ \Rightarrow x + y = 7 + 3 = 10\end{array}\)

دو عدد را به صورت x و y در نظر می گیریم و دستگاه معادلات خطی را تشکیل می دهیم. با حل آن دو عدد مشخص خواهند شد.

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = 13\\\\x - y = 1\end{array} \right. \Rightarrow 2x = 14 \Rightarrow x = 7\\\\ \Rightarrow x + y = 13 \Rightarrow 7 + y = 13 \Rightarrow y = 13 - 7\\\\ \Rightarrow y = 6\end{array}\)

یکی از اعداد، عدد اول است.

بررسی گزینه ها:

گزینه (1) و گزینه (2) بدیهی و واضح هستند.

درگزینه (3)، چون فقط a=0 و باقی مقدار دارند، داریم:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}0 \times x + by + c = 0\\\\a'x + b'y + c' = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}by = - c\\\\a'x + b'y = - c'\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow \frac{0}{{a'}} \ne \frac{b}{{b'}}\end{array}\)

در این صورت، دستگاه یک جواب مشخص دارد. پس این گزینه درست می باشد.

برای گزینه (4) داریم:

\(\begin{array}{l}a = ka' \Rightarrow \frac{a}{{a'}} = k\\\\b = mb' \Rightarrow \frac{b}{{b'}} = k\\\\c = nc' \Rightarrow \frac{c}{{c'}} = n\end{array}\)

مقادیر k، m و n می توانند هر مقداری از اعداد طبیعی باشند و برابر یکدیگر نباشند. بنابراین برای مقادیر k=1، m=2 و n=3، دو خط بر یکدیگر منطبق نخواهند بود. بنابراین تنها گزینه نادست، گزینه (4) می باشد.