نمونه سوالات فصل 8 ریاضی نهم همراه با جواب تشریحی

\( = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3} \times 3 \times {(\frac{6}{2})^3} = 4 \times {3^3} = 4 \times 27 = 108\) حجم کره

\( = 4\pi {R^2} = 4 \times 3 \times {(\frac{6}{2})^2} = 12 \times 9 = 108\) مساحت کره

\( = \frac{{\frac{4}{3}\pi {R^3}}}{2} = \frac{2}{3} \times 3 \times {(\frac{6}{2})^3} = 54\) حجم نیم کره بزرگ

\( = \frac{{\frac{4}{3}\pi {R^3}}}{2} = \frac{2}{3} \times 3{(\frac{2}{3})^3} = 2\) حجم نیم کره خالی

\( = 54 - 2 = 52\) حجم نیم کره خالی - حجم نیم کره بزرگ=حجم نیم کره تو خالی

مساحت رویه + مساحت قاعده = مساحت کل نیم کره

\(\begin{array}{l}27\pi = \pi {R^2} + \frac{{4\pi {R^2}}}{2} = \pi {R^2} + 2\pi {R^2} = \\\\3\pi {R^2} \Rightarrow 27 = 3{R^2} \Rightarrow {R^2} = 9 \Rightarrow R = 3\end{array}\)

\( = \frac{{\frac{4}{3}\pi {R^3}}}{2} = \frac{2}{3}\pi {R^3} = \frac{2}{3}\pi \times {3^3} = 2\pi \times 9 = 18\pi \) حجم نیم کره

\(\frac{4}{3}\pi {R^3} = 36\pi \Rightarrow {R^3} = \frac{{36 \times 3}}{4} = 27 \Rightarrow R = 3\) =حجم کره

\(4\pi {R^2} = 4\pi {(3)^2} = 36\pi \) =مساحت کره

می دانیم که مکعب درون دایره ای محاط شده باشد، یعنی قطر مکعب برابر قطر کره می باشد. بنابراین:

\(\begin{array}{l}2R = \sqrt {2{{(\sqrt 3 )}^2} + {{(2\sqrt 3 )}^2} + {{(2\sqrt 3 )}^2}} = \\\\\sqrt {12 + 12 + 12} = \sqrt {36} = 6 \Rightarrow R = 3\end{array}\)

\( = 4\pi {R^2} = 4\pi {(3)^2} = 36\pi \) مساحت کره

حجم کره < مساحت کره

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4\pi {R^2} > \frac{4}{3}\pi {R^3} \Rightarrow {R^2} > \frac{{{R^3}}}{3}\\\\ \Rightarrow 3{R^2} > {R^3} \Rightarrow R < 3\end{array}\)

هنگامی که شعاع کره کوچک تر از مقدار 3 باشد، مساحت کره بیشتر از حجم آن از نظر عددی می شود.

مثلث ABC قاثم الزاویه است زیرا ضلع آن 3، 4 و 5 می باشد؛ بنابراین داریم:

\( = \frac{1}{3} \times {S_{A\mathop B\limits^\Delta C}} \times OH = \frac{1}{3} \times \frac{{AB \times AC}}{2} \times OH = \) حجم هرم

\(\frac{1}{3} \times \frac{{4 \times 3}}{2} \times 8\)

16=حجم هرم

\( = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi \times {(6)^2} \times 24\) حجم مخروط

\( \Rightarrow \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{1}{3}\pi \times ({6^2}) \times 24\) حجم مخروط = حجم کره

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4\pi {R^3} = \pi \times {6^2} \times 24 \Rightarrow {R^3} = {6^2} \times 6 = {6^3}\\\\ \Rightarrow R = 6\end{array}\)

\( = \frac{1}{3}\pi {r_1}^2{h_1}\) حجم مخروط اول

\( = \frac{1}{3}\pi {r_2}^2{h_2}\) حجم مخروط جدید

\(\begin{array}{l}{r_2} = 2{r_1}\\\\{h_2} = \frac{1}{4}{h_1}\end{array}\)

\( = \frac{1}{3}\pi {r_2}^2{h_2}\) حجم مخروط جدید

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{3}\pi {r_2}^2{h_2} = \frac{1}{3}\pi {(2{r_1})^2} \times (\frac{1}{4}{h_1}) = \\\\\frac{1}{3}\pi (4{r_1}^2) \times (\frac{1}{4}{h_1}) = \frac{1}{3}\pi {r_1}^2{h_1}\end{array}\)

حجم مخروط جدید = حجم مخروط اول

بنابراین حجم مخروط جدید تغییری نمی کرد!

(مجموع حجم مخروط ها) – حجم استوانه = حجم مورد نظر

\( = \pi {r^2}H = 3 \times 4{}^2 \times 6 = 288\) حجم استوانه

\( = \frac{1}{3}\pi {r^2}{h_1} = \frac{1}{3} \times 3 \times {4^2} \times 4 = 64\) حجم مخروط بالایی

\( = \frac{1}{3}\pi {r^2}{h_2} = \frac{1}{3} \times 3 \times {4^2} \times 2 = 32\) حجم مخروط پایینی

\( = 288 - (64 + 32) = 288 - 96 = 192\) حجم مورد نظر

ابتدا شکل را می کشیم:

\( = 48 = 2\pi r \Rightarrow 2 \times 3 \times r = 48 \Rightarrow r = 8\) محیط قاعده مخروط

\(h = \sqrt {{{10}^2} - {r^2}} = \sqrt {100 - 64} = \sqrt {36} = 6\)

\( = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3} \times 3 \times {8^2} \times 6 = 64 \times 6 = 384\) حجم مخروط

الف)

ب)

\( = \frac{{\frac{4}{3}\pi {R^2}}}{2} = \frac{2}{3}\pi {R^2} = \frac{2}{3} \times 3 \times {(4)^2} = 32\) حجم نیم کره

\( = \pi {r^2}h = 3 \times {(2)^2} \times 2 = 24\) حجم استوانه

\( = 32 + 24 = 56\) حجم کل

ابتدا محیط ربع دایره را محاسبه می کنیم تا محیط قاعده مخروط بدست آید؛ سپس شعاع قاعده مخروط را محاسبه می کنیم (r) و سپس ارتفاع مخروط (h) را بدست می آوریم:

\( = \frac{1}{4}(2\pi R) = \frac{{\pi R}}{2} = \frac{{3 \times 16}}{2} = 24\) محیط ربع دایره

\( = 24 \Rightarrow 2\pi r = 24 \Rightarrow 6r = 24 \Rightarrow r = 4\) محیط قاعده مخروط

\(\begin{array}{l}{h^2} + {4^2} = {16^2} \Rightarrow {h^2} + 16 = 256 \Rightarrow {h^2} = 240\\\\ \Rightarrow h = 4\sqrt {15} \end{array}\)

\( = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3} \times 3 \times {4^2} \times 4\sqrt {15} = 64\sqrt {15} \) حجم مخروط

با 240 درجه دوران دادن نیم دایره حول قطرش، \(\frac{2}{3}\)  حجم یک کره کامل ساخته می شود \((\frac{{240^\circ }}{{360^\circ }} = \frac{2}{3})\) :

\(\overline V = \frac{2}{3} \times \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{8}{9} \times 3 \times {6^3} = 576\)

حجم

هندسی – غیر هندسی

منشور

دایره

مرکز – کره

\(V = \frac{1}{3}Sh\)

ثلث \((\frac{1}{3})\)

سهم هرم

مخروط

\({a^2}\,\,\,\,\, - \,\,\,\,\,\,\,{a^3}\)

مخروط

قطاع

\({a^3}\sqrt 3 \)

استوانه

نیم کره

یک

15 – 10

\(\overline V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3} \times 3 \times {3^3} = 4 \times {3^3} = 108\)

یال منشور می گویند.

همیشه مثلث هستند.

در هر هرم، یک وجه همواره قاعده است؛ بنابراین یک هرم پنج پهلو، شش وجهی می باشد.

ارتفاع هرم می گویند.

مخروط می گویند.

نمی توان رسم کرد.

اگر مکعبی به ضلع a داشته باشیم، قطر آن برابر با \(a\sqrt 3 \)  است (این رابطه به کمک رابطه فیثاغورس قابل اثبات است.)

\( = 4\pi {(6)^2} + 4\pi ({8^2}) = 4\pi ({6^2} + {8^2}) = 4\pi \times 100 = 400\pi \) مساحت کره بزرگ

\( = \sqrt {\frac{{400\pi }}{{4\pi }}} = \sqrt {100} = 10\) شعاع کره بزرگ

\(\begin{array}{l}V = \frac{4}{3}\pi {R^3} \Rightarrow {R^3} = \frac{{3V}}{{4\pi }} \Rightarrow R = \sqrt[3]{{\frac{{3V}}{{4\pi }}}}\\\\S = 4\pi {R^2} = 4\pi \sqrt[3]{{{{(\frac{{3V}}{{4\pi }})}^2}}} = \sqrt[3]{{{{(4\pi )}^3} \times {{(\frac{{3V}}{{4\pi }})}^2}}} = \\\\\sqrt[3]{{4\pi {{(3V)}^2}}} = \sqrt[3]{{36\pi {V^2}}}\end{array}\)

می دانیم در هر کره به شعاع R، نسبت حجم به مساحت (از نظر عددی)، همیشه برابر با \(\frac{R}{3}\)  است. R را به گونه ای بدست می آوریم تا نسبت برابر یک شود:

\(\frac{R}{3} = 1 \Rightarrow R = 3\)

فرض کنیم طول ضلع مکعب 1 می باشد؛ در نتیجه حجم مکعب نیز 1 می باشد؛ داریم:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}S = M{N^2}\\\\MN = \sqrt {{{(\frac{1}{2})}^2} + {{(\frac{1}{2})}^2}} = \sqrt {\frac{2}{4}} = \sqrt {\frac{1}{2}} = \sqrt {\frac{2}{2}} \end{array} \right.\\\\ \Rightarrow S = {(\frac{{\sqrt 2 }}{2})^2} = \frac{1}{2}\\\\V = \frac{1}{3}S \times h = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{6}\\\\ \Rightarrow \frac{{\frac{1}{6}}}{1} = \frac{1}{6}\end{array}\)

ارتفاع هر مخروط 20 و شعاع قاعده آن ها 4 می باشد:

\( = \frac{1}{3} \times \pi {(4)^2} \times 20 = \frac{1}{3} \times 3 \times 16 \times 20 = 320\) حجم مخروط بالایی

زمان لازم برای خارج شدن کل شن از داخل مخروط بالایی:

8 ساعت و 53 دقیقه و 20 ثانیه=ثانیه\(\frac{{320}}{{0/01}} = 32000\)

حجم استوانه – حجم مکعب = حجم جسم جدید

\(10 \times 10 \times 10 = \pi {(\frac{{2/4}}{2})^2} \times 10 = 1000 - 43/2 = 956/8\)

برای محاسبه حجم مخروط بایستی ارتفاع مخروط را بدست آوریم:

\(\begin{array}{l}h = OA + OH = 10 + OH\\\\O{H^2} = {10^2} - {6^2} = 100 - 36 = 64 \Rightarrow OH = 8\\\\ \Rightarrow h = 18\\\\V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3} \times 3 \times {6^2} \times 18 = 36 \times 18 = 648\end{array}\)

شکل زیر را در نظر بگیرید:

شعاع قاعده استوانه با شعاع کره برابر و ارتفاع استوانه 2 برابر شعاع کره می باشد؛ بنابراین:

این هرم از چهار وجه یکسان متساوی الاضلاع تشکیل شده است، بنابراین با محاسبه مساحت یکی از مثلث ها، می توان مساحت کل هرم را محاسبه نمود:

\(\begin{array}{l}{h^2} + {(\sqrt 3 )^2} = {(2\sqrt 3 )^2} \Rightarrow {h^2} = 12 - 3 = 9\\\\ \Rightarrow h = 3\\\\S = \frac{{2\sqrt 3 \times 3}}{2} = 3\sqrt 3 \end{array}\)

در این صورت مساحت کل هرم برابر است با \((4 \times 3\sqrt 3 )12\sqrt 3 \)

از به هم پیوستن این شکل گسترده، یک هرم منتظم با قاعده مثلث متساوی الاضلاع به ضلع \(2\sqrt 3 \)  خواهیم داشت؛ بنابراین:

برای محاسبه ارتفاع هرم (که بر روی مرکز مثلث قاعده می افتد) بایستی، سهم هرم را داشته باشیم و فاصله مرکز مثلث قاعده هرم تا سهم هرم را بیابیم ( سهم هرم: فاصله راس هرم تا یکی از اضلاع قاعده هرم)؛ داریم:

فاصله مرکز قاعده تا سهم هرم، اگر قاعده هرم مثلث متساوی الاضلاع باشد، نصف ارتفاع قاعده می شود؛ بنابراین:

و چون همه وجه های هرم، مثلث متساوی الاضلاع است، سهم هرم نیز ارتفاع مثلث متساوی الاضلاع می باشد؛ بنابراین برای محاسبه ارتفاع هرم داریم:

\({H^2} = {h^2} - {(\frac{h}{2})^2} = {h^2} - \frac{{{h^2}}}{4} = \frac{{3{h^2}}}{4} \Rightarrow H = \frac{{\sqrt 3 }}{2}h\)

و در مثلث متساوی الاضلاع به ضلع a داریم:

\(h = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\)

در نتیجه:

\(\begin{array}{l}H = \frac{{\sqrt 3 }}{2}h = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \times \frac{{\sqrt 3 }}{2}a = \frac{3}{4}a = \\\\\frac{3}{4} \times 2\sqrt 3 = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\end{array}\)

در نتیجه حجم هرم برابر است با:

\(V = \frac{1}{3}H.S = \frac{1}{3} \times \frac{{3\sqrt 3 }}{2} \times S = \frac{{\sqrt 3 }}{2}S\)

S نیز مساحت مثلث متساوی الاضلاع به ضلع \(2\sqrt 3 \)  می باشد:

\(S = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2} = \frac{{\sqrt 3 }}{4} \times {(2\sqrt 3 )^2} = 3\sqrt 3 \)

در نهایت:

\(V = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \times 3\sqrt 3 = \frac{9}{2} = 4/5\)

حجم حاصل از دوران ربع دایره، نیم کره می شود؛ بنابراین بایستی حجم نیم کره ای به شعاع 5 را محاسبه کنیم:

\(\frac{{\frac{4}{3}\pi {{(5)}^3}}}{2} = \frac{{\frac{4}{3} \times 3 \times 125}}{2} = 250\)

از دوران مثلث قائم الزاویه حول یکی از اضلاع قائمه اش، مخروط بدست می آید. برای محاسبه حجم مخروط، بایستی ارتفاع و شعاع را داشته باشیم که هر دو نیز 5 هستند:

\(\frac{1}{3}S.h = \frac{1}{3} \times \pi {(5)^2} \times 5 = \frac{1}{3} \times 3 \times 25 \times 5 = 125\)

در نهایت حجم شکل حاصل از دوران قسمت رنگی برابر خواهد بود با:

حجم مخروط – حجم نیم کره = حجم شکل دوران یافته

\(250 - 125 = 125\)

از دوران ذوزنقه حول ضلع بالایی، شکل زیر بدست می آید:

حجم خروط – حجم استوانه = حجم شکل حاصل

\( = \pi {r^2}H = \pi \times {2^2} \times 5 = 20\pi \) حجم استوانه

\( = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3} \times \pi \times {2^2} \times 2 = \frac{8}{3}\pi \) حجم مخروط

\( = 20\pi - \frac{8}{3}\pi = \frac{{52}}{3}\pi \) حجم شکل حاصل

طول کمان ABC همان محیط دایره قاعده مخروط است:

حال ارتفاع مخروط را بدست می آوریم:

\(\begin{array}{l}{H^2} = {12^2} - {8^2} = 144 - 64 = 80\\\\ \Rightarrow H = \sqrt {80} = 4\sqrt 5 \end{array}\)

در این صورت حجم مخروط برابر است با:

\(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3} \times 3 \times {8^2} \times 4\sqrt 5 = 256\sqrt 5 \)