نمونه سوالات فصل 1 ریاضی و آمار دهم انسانی همراه با جواب تشریحی

\(\left( \begin{array}{l}x = 28\\y = 14\end{array} \right) \Rightarrow S = xy = 28 \times 14 = 392\)

\(x + 2y = 56\)

\({x^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2} \Rightarrow {a^2} = \frac{{{x^2}}}{2} \)

مساحت مربع =\(\pi {x^2} = 36\pi \) 

مساحت مثلث \(\frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{x^2}}}{4} = \)

درنتیجه :                                                                                       \({x^2} + \frac{{{x^2}}}{4} = 45 \Rightarrow 5{x^2} = 180 \Rightarrow {x^2} = 36 \Rightarrow x = 6\)

 \( = \pi {x^2} = 36\pi \)  مساحت دایره به شعاع \(x\) 

فرض:   Z=سن پدر  ,    Y=سن فرزند بزرگتر      ,       3=x= سن فرزند کوچکتر

\(z{\rm{ }} = {\rm{ }}4x\)

سن فرزند بزرگتر:

 \(z + 16 = 2\left( {y + 16} \right) \Rightarrow 3y + 16 = 2y + 32 \Rightarrow y = 16\)

سن فرزند کوچکتر: سال \(x = \frac{{48}}{4} = 12\)

سن پدر: سال  \(z = 3 \times 16 = 48\)

سال  x + y + z = 12 + 16 + 48 = 76

\(x.y = 24\)

\(\begin{array}{l}\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right) = 24 \Rightarrow ab + a + b + 1 = 24\\a.b = 15\\15 + a + b + 1 = 24 \Rightarrow a + b = 18\end{array}\)

\( = 2\left( {a + b} \right) = 2 \times 8 = 16\) محیط فرش

اگر عدد مورد نظر را x در نظر بگیریم، پنج برابر این عدد به علاوۀ یک معادل \(5x + 1\) و سه برابر این عدد منهای پنج معادل \(3x - 5\)  است که باید با یکدیگر برابر باشند؛ یعنی:

\(5x + 1 = 3x - 5 \Rightarrow 5x - 3x = - 1 - 5 \Rightarrow 2x = - 6 \Rightarrow x = - \frac{6}{2} = - 3\)

بنابراین اکبر درست تشخیص داده است.

اگر حقوق کارگر، سرکارگر و مهندس را به ترتیب x و y و z در نظر بگیریم، داریم:

\(\left( \begin{array}{l}y = 2x\\y = \frac{2}{3}z\end{array} \right. \Rightarrow \frac{2}{3}z = 2x \Rightarrow z = 3x\)

بنابراین حقوق مهندس، 3 برابر کارگر است. اکنون حقوق ماهانه را بر اساس حقوق کارگر \(\left( x \right)\) برای کارگاه محاسبه می کنیم:

\(5 \times \left( {2x} \right) + 3 \times \left( {3x} \right) + 29 \times \left( x \right) = 48 \Rightarrow 48x = 48 \Rightarrow x = \frac{{48}}{{48}} = 1\)

\(\begin{array}{l}x + x + 1 + x + 2 = \frac{4}{3}{x^2}\\3x + 3 = \frac{4}{3}{x^2}\\\frac{4}{3}{x^2} - 3x - 3 = 0\end{array}\)

\(x = \frac{{ + 3 \pm \sqrt {25} }}{{\frac{8}{3}}}\)

\(\begin{array}{l}x = 3\\x = - \frac{3}{4}\\\\{4^2} = 16\end{array}\)

دقیقه \(150 \div 60 = 2/5 = 50 \times 50 = 2500\)

   سانتی متر \( = 2/5 \times 30 = 75\) مقدار جابجایی مورچه

\(1/5x = 75 \Rightarrow x = 50\)

\(50 \times 50 = 2500\)= مساحت مربع

\({\left( {x - 5} \right)^2} - 24 = 0 \Rightarrow {x^2} - 10x + 25 - 24 = 0 \Rightarrow {x^2} - 10x + 1 = 0\)

تابع درجه دوم(سهمی)       ،          (ماکزیمم دارد \(a = - 2 < 0 \Rightarrow \))

\( = {x_0} = \frac{{ - b}}{{2a}} = - \frac{{24}}{{ - 4}} = 6\)طول نقطه رأس سهمی (طول ماکزیمم)

\(p\left( 6 \right) = - 2\left( {{6^2} - 12\left( 6 \right) - 450} \right) = - 2\left( {36 - 72 - 450} \right) = - 2\left( { - 486} \right) = 972\)

نکته: در هر مسئلۀ اقتصادی اگر  مقدار یا تعداد محصول باشد،سه تابع مهم زیر تعریف می شود:

تابع هزینه که با  \(C\left( x \right)\) نشان می دهند، هزینه \(x\)  واحد کالا است.

تابع سود که با \(P\left( x \right)\) نشان می دهند، سود حاصل از فروش \(x\) واحد کالا است.

تابع درآمد که با \(R\left( x \right)\) نشان می دهند، درآمد حاصل از فروش x واحد کالا است.

رابطۀ بین این سه تابع به صورت \(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right)\) است.

 با توجه به نکته داریم:                                                                                          \(C\left( x \right) = 7{x^2} - x + 20\)   

مطابق فرض می خواهیم این کارخانه نه سود کند نه ضرر،پس باید سود آن صفر باشد. بنابراین:

\(\begin{array}{l}P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) \Rightarrow \\0 = 8{x^2} - 9x - \left( {7{x^2} - x + 20} \right) \Rightarrow \\{x^2} - 8x - 20 = 0 \Rightarrow \left( {x - 10} \right)\left( {x + 2} \right) = 0 \Rightarrow \\x = 10\end{array}\)

\(x = - 2\)

چون تولید کالا نمی تواند منفی باشد، پس این کارگاه اگر بخواهد نه سود کند نه ضرر، باید 10 عدد لباس تولید کند.

\({\left( {a \pm b} \right)^2} = {a^2} \pm 2ab + {b^2}\)  : نکته (اتحاد مربع دو جمله ای)

ابتدا قرینۀ عدد ثابت معادله را به دو طرف معادله اضافه می کنیم، چون ضریب \({x^2}\) برابر 1 است، مربع نصف ضریب \(x\) را که برابر\({\left( { - \frac{2}{2}} \right)^2} = 1\)است، به طرفین اضافه می کنیم، داریم:

\({x^2} + 2x = 24 \Rightarrow {x^2} + 2x + 1 \Rightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = 25\) 

بنابراین مقدار\(a\) برابر 1 است.

نکته: در معادلۀ درجه دوم \(a{x^2} + bx + c = 0\) عبارت \({b^2} - 4ac\) را مبین معادله می نامیم و با نماد \(\Delta \) نشان می دهیم.. اگر \(\Delta = 0\) معادله دارای ریشۀ مضاعف \(x = - \frac{b}{{2a}}\) می باشد.

با توجه به نکته: باید مبین این معادله صفر باشد، پس:

\(\begin{array}{l}x\left( {2x - 3} \right) = a \Rightarrow 2{x^2} - 3x - a = 0\\:\Delta = 0 \Rightarrow {\left( { - 3} \right)^2} - 4 \times \left( 2 \right) \times \left( { - a} \right) = 0\\ \Rightarrow 9 + 8a = 0 \Rightarrow a = - \frac{9}{8}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\Delta = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4\left( m \right)\left( {m - 2} \right) = \\4{m^2} - 4m + 1 - 4{m^2} + 8m = 4m + 1 = 0\\m = - \frac{1}{4}\\x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{2\left( { - \frac{1}{4}} \right) - 1}}{{ - \frac{1}{2}}} = - 3\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{x^2} + \frac{2}{a}x + \frac{c}{a} = 0\\{\left( {x + \frac{1}{a}} \right)^2} = \frac{{ - c}}{a} + \frac{1}{{{a^2}}}\\a + c = - 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left[ {x - {{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}^2}} \right]\left[ {x - {{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}^2}} \right] = 0\\\left[ {x - \left( {3 + 2 + 2\sqrt 6 } \right)} \right]\left[ {x - \left( {3 + 2 - 2\sqrt 6 } \right)} \right] = 0\\ \Rightarrow \left[ {\left( {x - 5} \right) - 2\sqrt 6 } \right]\left[ {\left( {x - 5} \right) + 2\sqrt 6 } \right] = 0\end{array}\)

در نتیجه:

\( - 24 = 0 \Rightarrow {x^2} - 10x + 25 - 24 = 0 \Rightarrow {x^2} - 10x + 1 = 0\)

\({\left( {x + y} \right)^2} = 10xy + 21\)

سمت راست معادله بالا عددی فرد است در نتیجه سمت چپ نیز باید فرد باشد در نتیجه \(x + y = 2k + 1\) و چون مجموع دو فرد باشد باید یکی از آنها زوج باشد و تنها عدد زوج اول 2 است پس  \(y = 2\) می باشد.

\(\begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^2} = 20x + 21\\{x^2} + 4x + 4 = 20x + 21\\{x^2} - 16x - 17 = 0\\\left( {x - 17} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\x = 17\end{array}\)

چون رابطه بالا به ازای همه مقادیر\(m\) برقرار است پس برای همه مقادیر \(m\) معادله مذکور دو ریشه متمایز دارد.

\(x + y = 12 \Rightarrow y = 12 - x\)

 \( = x\left( {12 - x} \right) = 12x - {x^2}\) مساحت

\(x = - \frac{{12}}{{ - 2}} = 6\) ماکزیمم

\( = 72 - 36 = 36\) بیش ترین مساحت

\(\begin{array}{l}9{x^2} - 4x + \frac{1}{3} - \frac{1}{3}a = {\left( {3x - \frac{2}{3}} \right)^2}\\9{x^2} - 4x + \frac{1}{3} - \frac{1}{3}a = 9{x^2} - 4x + \frac{4}{9}\end{array}\)

\(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = - 1\\\left( { - 1,0} \right):y = a{x^2} + bx + 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + b = 0\\a - b = - 1\end{array} \right.\)

\(\)\(\begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array}\)

\(\begin{array}{l}P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = 6000x - {x^2} - \left( {360000 + 120x} \right)\\ = 6000x - {x^2} - 360000 - 120x = - {x^2} + 5880x - 360000\\P\left( {2000} \right) = - 4/000/000 + 11/760/000 - 360/000 = 7/400/000\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\Delta = {\left[ { - \left( {a + 4} \right)} \right]^2} - 4\left( {2a} \right)\left( 2 \right) = 0 \Rightarrow {a^2} + 8a + 16 - 16a = 0\\{a^2} - 8a + 16 = 0 \Rightarrow {\left( {a - 4} \right)^2} = 0 \Rightarrow a = 4\\8{x^2} - 8x + 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{{4 \pm \sqrt {16 - 16} }}{8} = \frac{1}{2}\\4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}\end{array}\)

راه حل اول: نکته: مجموع ریشه های معادله درجه دوم \(\left( {\Delta > 0} \right)a{x^2} + bx + c = 0\) برابر\( - \frac{b}{a}\) است.

با توجه به نکتۀ بالا، چون در این معادله \(\Delta = 84 > 0\) ؛ پس مجموعه ریشه ها برابر با  \( - \frac{b}{a} = - \frac{{ - 8}}{5} = \frac{8}{5} = 1/6\)

راه حل دوم: معادله را از روش کلی حل می کنیم:                                                                                   \(\Delta = 84 \Rightarrow x = \frac{{8 \pm \sqrt {84} }}{{10}}\) \( \Rightarrow {x_1} + {x_2} = \frac{{8 + \sqrt {84} }}{{10}} + \frac{{8 - \sqrt {84} }}{{10}} = \frac{{8 + \sqrt {84} + 8 - \sqrt {84} }}{{10}} = \frac{{16}}{{10}} = 1/6\)

\(\begin{array}{l}300x - 700 = 200x + 200\\100x = 900 \Rightarrow x = 9\end{array}\)

در نتیجه عدد بزرگتر برابر 45 است.                                                                                  \(\begin{array}{l}x - 2,x,x + 2\\3x = 129 \Rightarrow x = \frac{{129}}{3} = 43\end{array}\)

هزینه – درآمد = سود

\( - \frac{1}{3}{x^2} + 28x - 16x - 55 = - \frac{1}{3}{x^2} + 12x - 55 \Rightarrow \) = سود

\(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{12}}{{2\left( { - \frac{1}{3}} \right)}}\) راس

x = 18 راس

\(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = - \frac{1}{2}{x^2} + 40x - 24x - 30\)

تابع درجه دوم است، چون \(a < 0\) بنابراین ماکزیمم دارد .         \(P\left( x \right) = - \frac{1}{2}{x^2} = 16x - 30\)

\({x_0} = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{ - 16}}{{2\left( { - \frac{1}{2}} \right)}} = 16\) (طول ماکزیمم)

 \(x = 6\) قابل قبول  / x =  - 4 غیرقابل قبول

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 6}} = \frac{1}{4}\)

\(\frac{{x + 6 + x}}{{x\left( {x + 6} \right)}} = \frac{1}{4} \Rightarrow 4\left( {2x + 6} \right) = {x^2} + 6x\)

\({x^2} - 2x - 24 = 0 \Rightarrow \left( {x - 6} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\x = - 4\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}C\left( x \right) = 800/000/000 + 5/000 \times 1/200/000 = 800/000/000 + 6/000/000\\C\left( x \right) = 6/800/000/000\end{array}\) (هزینه)

\(R\left( x \right) = 5000 \times 1/500/000 = 7/500/000/000\) (درآمد)

\(\begin{array}{l}\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\{x^2} - x - 6 = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow 3{\left( { - 1} \right)^2} + \left( {a + 1} \right)\left( { - 1} \right) + 3a = 0\\2a + 2 = 0 \Rightarrow a = - 1 & / & 3{x^2} - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1\end{array}\)

ابتدا در معادله بجای \(x\) عدد 1 را قرار می دهیم.

\(\frac{4}{{a - 2}} + \frac{a}{2} = a\)

با امتحان کردن گزینه ها می فهمیم که گزینه دو صحیح است. یعنی 4 و2- صدق می کنند.

\(\begin{array}{l}\frac{{ - \frac{1}{2}}}{{ - \frac{1}{2} - a}} - \frac{{ - \frac{1}{2} - a}}{{ - \frac{1}{2} + a}} = \frac{{ - 2}}{{4{a^2} - 1}} + 1\\\\\frac{{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}a - \left( {\frac{1}{4} + {a^2} + a} \right)}}{{\frac{1}{4} - {a^2}}} = \frac{{ - 2}}{{ - 4\left( {\frac{1}{4} - {a^2}} \right)}} + 1 = \frac{1}{{2\left( {\frac{1}{4} - {a^2}} \right)}} + 1\\\\\frac{{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}a - \frac{1}{4} - {a^2} - a}}{{\frac{1}{4} - {a^2}}} = \frac{{1 + 2\left( {\frac{1}{4} - {a^2}} \right)}}{{2\left( {\frac{1}{4} - {a^2}} \right)}} = \\\frac{{1 + \frac{1}{2} - 2{a^2}}}{{2\left( {\frac{1}{4} - {a^2}} \right)}} = \frac{{\frac{2}{3} - 2{a^2}}}{{2\left( {\frac{1}{4} - {a^2}} \right)}} = \frac{3}{4} - {a^2}\\\\ \Rightarrow - {a^2} - \frac{3}{2}a = \frac{3}{4} - {a^2} \Rightarrow a = - \frac{1}{2}\end{array}\)

\({x^4} - 16 = \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + 4} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)\)

پس در نقاط 2 و 2- تعریف نشده است.

\(x = \sqrt 2 \Rightarrow 2 + 2a = 0 \Rightarrow a - 1\)

\(x = 0 \Rightarrow P\left( 0 \right) = \frac{b}{{ - 2}} = - 2 \Rightarrow b = 4 \Rightarrow b + a = 3\)

جواب ندارد.   \(\frac{t}{{ - 2}} + \frac{{t + 2}}{2} = \frac{{t - 1}}{{1 - t}} \Rightarrow t - t - 2 = 1\)

نکته: برای حل معادله های شامل عبارت های گویا ،ابتدا با توجه به خاصیت های معادله و کخرج مشترک گیری، معادله ای مانند\(\frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}} = 0\)  به دست می آید. به شرط اینکه \(Q\left( x \right) \ne 0\) معادله در صورتی دارای جواب است که \(P\left( x \right) = 0\) از بین ریشه های به دست آمده، آن هایی قابل قبول اند که مخرج کسر\(\frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}}\)  را صفر نکنند.

ابتدا دو طرف را با (1-) جمع می کنیم، سپس با مخرج مشترک گیری ، داریم:

\(\frac{{x + 3}}{{x + 3}} - 1 = 0 \Rightarrow \frac{{x + 3 - x - 3}}{{x + 3}} = 0\)

   یعنی همۀ اعداد حقیقی جواب معادله است.   \( \Rightarrow x + 3 - x - 3 = 0 \Rightarrow 0 = 0 \Rightarrow \)

اما با توجه به اینکه جواب های معادله نباید مخرج را صفر کنند، همۀ اعداد حقیقی به جز 3- جواب های معادله می باشند.

\(\frac{{2k - 2}}{{2 + k}} = 2 + \frac{2}{{2 - k}} \Rightarrow 12 - 4k + 4 = 0 \Rightarrow k = 4\)

چون \(\left( {x - 5} \right)\) و \(\left( {x - 2} \right)\) هیچ کدام تجزیه نمی شوند، پس مخرج مشترک عبارت داده شده برابر حاصل ضرب این دو عبارت در یکدیگر می باشد، بنابراین داریم:

\(\left( {x - 5} \right)\left( {x - 2} \right) = {x^2} - 7x + 10\)

هزینه – درآمد = سود

\( - \frac{1}{3}{x^2} + 28x - 16x - 55 = - \frac{1}{3}{x^2} + 12x - 55 \Rightarrow \)=سود

\(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{12}}{{2\left( { - \frac{1}{3}} \right)}}\) راس

\(x = 18\) راس

دو طرف تساوی را ضرب 6 می کنیم.

\(\begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{2} + 3 = \frac{{5 - x}}{3}\\6*\frac{{\left( {x - 1} \right)}}{2} + 6*3 = 6*\frac{{\left( {5 - x} \right)}}{3}\\ \to 3\left( {x - 1} \right) + 18 = 2\left( {5 - x} \right)\\ \to 3x - 3 + 18 = 10 - 2x\\ \to 3x + 2x = 10 + 3 - 18\\ \to 5x = - 5\\ \to x = - 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - \left( { - 4} \right)}}{3} = \frac{4}{3}\\\frac{c}{a} = \frac{1}{3}\end{array}\)

مجموع جوابها : \(\frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - \left( { - 4} \right)}}{3} = \frac{4}{3}\)

حاصل ضرب جوابها: \(\frac{c}{a} = \frac{1}{3}\)

\(\left( {x - 3} \right)\left( {x - \left( { - 2} \right)} \right) = 0 \to \left( {x - 3} \right)\left( {x - 2} \right) = 0 \to {x^2} - x - 6 = 0\)

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = x - 1\\g\left( x \right) = 1\end{array}\)

معادله درجه اول است. \(2x - x = 5 + 4 \to x = 9\)

\(4a = \frac{a}{2} + 7 \to 8a = a + 14 \to 8a - a = 14 \to 7a = 14 \to a = 2\)

سن نیما x+3 و سن کیان x    یا سن نیما x سن کیان x-3

\(x*\left( {x - 3} \right) = 40\)

\(4{x^2} + 2x\)

\(x + 2y\)

خیر، میتوان این معادله را در عدد ثابت ضرب کرد.  

\(\begin{array}{l}\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\{x^2} - 5x + 6 = 0\end{array}\)

\({\left( a \right)^2} - 4\left( { - 1} \right) = {a^2} + 4\rangle 0\)

دلتا همواره مثبت است پس جواب دارد. \({\left( a \right)^2} - 4\left( { - 1} \right) = {a^2} + 4\rangle 0\)