از به هم پیوستن این شکل گسترده، یک هرم منتظم با قاعده مثلث متساوی الاضلاع به ضلع \(2\sqrt 3 \) خواهیم داشت؛ بنابراین:
برای محاسبه ارتفاع هرم (که بر روی مرکز مثلث قاعده می افتد) بایستی، سهم هرم را داشته باشیم و فاصله مرکز مثلث قاعده هرم تا سهم هرم را بیابیم ( سهم هرم: فاصله راس هرم تا یکی از اضلاع قاعده هرم)؛ داریم:
فاصله مرکز قاعده تا سهم هرم، اگر قاعده هرم مثلث متساوی الاضلاع باشد، نصف ارتفاع قاعده می شود؛ بنابراین:
و چون همه وجه های هرم، مثلث متساوی الاضلاع است، سهم هرم نیز ارتفاع مثلث متساوی الاضلاع می باشد؛ بنابراین برای محاسبه ارتفاع هرم داریم:
\({H^2} = {h^2} - {(\frac{h}{2})^2} = {h^2} - \frac{{{h^2}}}{4} = \frac{{3{h^2}}}{4} \Rightarrow H = \frac{{\sqrt 3 }}{2}h\)
و در مثلث متساوی الاضلاع به ضلع a داریم:
\(h = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\)
در نتیجه:
\(\begin{array}{l}H = \frac{{\sqrt 3 }}{2}h = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \times \frac{{\sqrt 3 }}{2}a = \frac{3}{4}a = \\\\\frac{3}{4} \times 2\sqrt 3 = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\end{array}\)
در نتیجه حجم هرم برابر است با:
\(V = \frac{1}{3}H.S = \frac{1}{3} \times \frac{{3\sqrt 3 }}{2} \times S = \frac{{\sqrt 3 }}{2}S\)
S نیز مساحت مثلث متساوی الاضلاع به ضلع \(2\sqrt 3 \) می باشد:
\(S = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2} = \frac{{\sqrt 3 }}{4} \times {(2\sqrt 3 )^2} = 3\sqrt 3 \)
در نهایت:
\(V = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \times 3\sqrt 3 = \frac{9}{2} = 4/5\)
1736019749.png)
شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
