جواب تمرین صفحه 23 درس 1 ریاضی یازدهم تجربی (هندسۀ تحلیلی و جبر)

الف \(\frac{1}{x} + \frac{1}{{x - 2}} = 5 \Rightarrow \frac{1}{x} \times x\left( {x - 2} \right) + \frac{1}{{x - 2}} \times x\left( {x - 2} \right) = 5 \times x\left( {x - 2} \right) \Rightarrow x - 2 + x = 5{x^2} - 10x\)

\( \Rightarrow 5{x^2} - 12x + 2 = 0 \Rightarrow \Delta = 104 \Rightarrow x = \frac{{12 \pm 2\sqrt {26} }}{{10}}\)

هر دو جواب قابل قبول هستند؛ زیرا مخرج را صفر نمی کنند.

ب \(\frac{{10}}{r} - \frac{{15}}{2} = \frac{{20}}{{3r}} - 5 \Rightarrow \frac{{10}}{r} \times 6r - \frac{{15}}{2} \times 6r = \frac{{20}}{{3r}} \times 6r - 5 \times 6r \Rightarrow 60 - 45r = 40 - 30r\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 15r = 20 \Rightarrow r = \frac{{20}}{{15}} = \frac{4}{3}\\r = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{{10}}{{\frac{4}{3}}} - \frac{{15}}{2} = \frac{{20}}{{3 \times \frac{4}{3}}} - 5 \Rightarrow \frac{{15}}{2} - \frac{{15}}{2} = 5 - 5 \Rightarrow 0 = 0\end{array}\)

پ \(\frac{{2x}}{{x - 3}} + \frac{{x + 1}}{{x + 4}} = \frac{{x - 1}}{{x - 3}} \Rightarrow \frac{{2x}}{{x - 3}} \times \left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right) + \frac{{x + 1}}{{x + 4}} \times \left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right) = \frac{{x - 1}}{{x - 3}} \times \left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right)\)

\( \Rightarrow 2{x^2} + {x^2} - 2x - 3 = {x^2} + 3x - 4 \Rightarrow 2{x^2} - 5x + 1 = 0 \Rightarrow \Delta = 17 \Rightarrow x = \frac{{5 \pm \sqrt {17} }}{4}\)

هر دو جواب قابل قبول هستند؛ زیرا مخرج را صفر نمی کنند.

ت \(\sqrt {t + 4} = 3 \Rightarrow {\left( {\sqrt {t + 4} } \right)^2} = {3^2} \Rightarrow t + 4 = 9 \Rightarrow t = 5\)

\(t = 5 \Rightarrow \sqrt {5 + 4} = 3 \Rightarrow \sqrt 9 = 3 \Rightarrow 3 = 3\)

ث \(b = \sqrt {6k - 8} \Rightarrow {k^2} = {\left( {\sqrt {6k - 8} } \right)^2} \Rightarrow {k^2} = 6k - 8 \Rightarrow {k^2} - 6k + 8 = 0 \Rightarrow \left( {k - 2} \right)\left( {k - 4} \right) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 2\\k = 4\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}k = 2 \Rightarrow 2 = \sqrt {6\left( 2 \right) - 8} \Rightarrow 2 = \sqrt 4 \Rightarrow 2 = 2\\k = 4 \Rightarrow 4 = \sqrt {6\left( 4 \right) - 8} \Rightarrow 4 = \sqrt {16} \Rightarrow 4 = 4\end{array}\)

هر دو جواب قابل قبول هستند.

ج \(x + \sqrt x = 6 \Rightarrow \sqrt x = 6 - x \Rightarrow {\left( {\sqrt x } \right)^2} = {\left( {6 - x} \right)^2} \Rightarrow x = 36 - 12x + {x^2} \Rightarrow {x^2} - 13x + 36 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {x - 9} \right) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\x = 9\end{array} \right.\\x = 4 \Rightarrow 4 + \sqrt 4 = 6 \Rightarrow 4 + 2 = 6 \Rightarrow 6 = 6\\x = 9 \Rightarrow 9 + \sqrt 9 = 6 \Rightarrow 9 + 3 = 6 \Rightarrow 12 = 6\end{array}\)

واضح است که 9= x قابل قبول نیست.

چ \(\sqrt {x + 1} - \sqrt {2x - 5} = 1 \Rightarrow \sqrt {2x - 5} = 1 - \sqrt {x + 1} \Rightarrow {\left( {\sqrt {2x - 5} } \right)^2} = {\left( {1 - \sqrt {x + 1} } \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2x - 5 = 1 - 2\sqrt {x + 1} + x + 1 \Rightarrow 2\sqrt {x + 1} = 7 - x \Rightarrow {\left( {2\sqrt {x + 1} } \right)^2} = {\left( {7 - x} \right)^2} \Rightarrow 4x + 4 = {x^2} - 14x + 49\\ \Rightarrow {x^2} - 18x + 45 = 0 \Rightarrow \left( {x - 15} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 15\\x = 3\end{array} \right.\\x = 15 \Rightarrow \sqrt {15 + 1} - \sqrt {2\left( {15} \right) - 5} = 1 \Rightarrow \sqrt {16} - \sqrt {25} = 1 \Rightarrow - 1 = 1\\x = 3 \Rightarrow \sqrt {3 + 1} - \sqrt {2\left( 3 \right) - 5} = 1 \Rightarrow \sqrt 4 - \sqrt 1 = 1 \Rightarrow 1 = 1\end{array}\)

واضح است که 1= x قابل قبول نیست

ح \(\sqrt m + \frac{1}{{\sqrt m }} = 2 \Rightarrow \sqrt m \times \sqrt m + \frac{1}{{\sqrt m }} \times \sqrt m = 2 \times \sqrt m \Rightarrow m + 1 = 2\sqrt m \Rightarrow m - 2\sqrt m + 1 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {\sqrt m - 1} \right)^2} = 0 \Rightarrow \sqrt m = 1 \Rightarrow m = 1\\m = 1 \Rightarrow \sqrt 1 + \frac{1}{{\sqrt 1 }} = 2 \Rightarrow 1 + 1 = 2 \Rightarrow 2 = 2\end{array}\)

زمانی را که علی برای 16 صفحه صرف می کند 2 ساعت یا 120 دقیقه است؛ پس در 1 دقیقه \(\frac{{16}}{{120}}\) صفحه ویرایش می کند.

زمانی را که علی و رضا برای ویرایش 16 صفحه صرف می کنند 1ساعت 20 دقیقه یا 80 دقیقه است. پس در 1 دقیقه با هم \(\frac{{16}}{{80}}\)  صفحه ویرایش می کنند. اگر زمانی را که رضا صرف ویرایش 16 صفحه به تنهایی می کند x در نظر بگیریم، پس در 1 دقیقه \(\frac{{16}}{x}\)  صفحه ویرایش می کند. پس داریم:

 \(\frac{{16}}{{120}} + \frac{{16}}{x} = \frac{{16}}{{80}} \Rightarrow \frac{{16}}{{120}} \times 240 + \frac{{16}}{x} \times 240 = \frac{{16}}{{80}} \times 240 \Rightarrow 2x + 240 = 3x \Rightarrow x = 240\)

\(t = 1 \Rightarrow 1 = \sqrt {10 - \frac{h}{5}} \Rightarrow {1^2} = {\left( {\sqrt {10 - \frac{h}{5}} } \right)^2} \Rightarrow 1 = 10 - \frac{h}{5} \Rightarrow h = 45\) 

الف

\(\begin{array}{l}\sqrt x - x = \frac{x}{2} \Rightarrow 2\sqrt x - 2x = x \Rightarrow 2\sqrt x = 3x \Rightarrow {\left( {2\sqrt x } \right)^2} = {\left( {3x} \right)^2} \Rightarrow 4x = 9{x^2} \Rightarrow 9{x^2} - 4x = 0\\ \Rightarrow x\left( {9x - 4} \right) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{9}{4}\end{array} \right.\end{array}\)

با توجه به اینکه عدد بدست آمده باید صحیح باشد، بنابراین فقط جواب 0= x قابل قبول است.

\(\begin{array}{l}x - \sqrt x = \frac{x}{2} \Rightarrow 2x - 2\sqrt x = x \Rightarrow 2\sqrt x = x \Rightarrow {\left( {2\sqrt x } \right)^2} = {x^2} \Rightarrow {x^2} = 4x \Rightarrow {x^2} - 4x = 0\\x\left( {x - 4} \right) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.\end{array}\)

این مسئله دو جواب دارد.

\(\begin{array}{l}\sqrt {2 - x} + \sqrt {x + 3} = 3 \Rightarrow \sqrt {2 - x} = 3 - \sqrt {x + 3} \\ \Rightarrow {\left( {\sqrt {2 - x} } \right)^2} = {\left( {3 - \sqrt {x + 3} } \right)^2} \Rightarrow 2 - x = 9 - 6\sqrt {x + 3} + x + 3 \Rightarrow 6\sqrt {x + 3} = 2x + 10\\ \Rightarrow 3\sqrt {x + 3} = x + 5 \Rightarrow {\left( {3\left( {\sqrt {x + 3} } \right)} \right)^2} = {\left( {x + 5} \right)^2} \Rightarrow 9x + 27 = {x^2} + 10x + 25\\ \Rightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\end{array} \right.\\x = 1 \Rightarrow \sqrt {2 - 1} + \sqrt {1 + 3} = 3 \Rightarrow \sqrt 1 + \sqrt 4 = 3 \Rightarrow 1 + 2 = 3 \Rightarrow 3 = 3\\x = - 2 \Rightarrow \sqrt {2 - \left( { - 2} \right)} + \sqrt { - 2 + 3} = 3 \Rightarrow \sqrt 4 + \sqrt 1 = 3 \Rightarrow 2 + 1 = 3 \Rightarrow 3 = 3\end{array}\)