جواب تمرین صفحه 69 درس 3 حسابان دوازدهم (حدهای نامتناهی_حد در بی نهایت)

الف هر چه مقدار x بزرگتر شود، مقادیر f به عدد 2 میل می کند؛ به عبارتی دیگر y=2 مجانب افقی تابع f می باشد.

ب هر چه مقدار x کوچکتر شود، مقادیر f به عدد 4 میل می کند؛ به عبارتی دیگر y=-4 مجانب افقی دیگر تابع f می باشد.

الف \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 1\)

ب \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - 1\)

پ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = + \infty \)

ت \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = + \infty \)

ث \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = - \infty \)

 مجانب های افقی و قائم ج

 :مجانب قائم

\(x = - 2\quad ,\quad x = 3\)

:مجانب افقی

\(y = - 1\quad ,\quad y = 1\)

الف \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x + 5}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \; + \;\infty } \frac{3}{1} = 3\)

ب \(\mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } \frac{{{t^2} + 1}}{{{t^3} - 2{t^2} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \; - \;\infty } \frac{1}{t} = 0\)

پ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{ - {x^2} + 2x}}{{4x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \; \pm \;\infty } \frac{{ - 1}}{4}x = \mp \;\infty \)

ت \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} - 2{x^2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \; - \;\infty } {x^3} = - \;\infty \)

الف

مجانب قائم

\(\begin{array}{l} \Rightarrow x = 3\quad :\quad \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2x - 1}}{{x - 3}} = \frac{5}{0} = \infty \Rightarrow x = 3\\\end{array}\)

مجانب افقی

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \; \pm \;\infty } \frac{{2x - 1}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \; \pm \;\infty } \frac{2}{1} = 2 \Rightarrow y = 2\)

ب

مجانب قائم

\( \Rightarrow x = - 2\quad :\quad \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{x}{{{x^2} - 4}} = \frac{{ - 2}}{0} = \infty \Rightarrow x = - 2\)

مجانب قائم

\( \Rightarrow x = 2\quad \;\;\,:\quad \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{x}{{{x^2} - 4}} = \frac{2}{0} = \infty \Rightarrow x = 2\)

مجانب افقی

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \; \pm \;\infty } \frac{x}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \; \pm \;\infty } \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow y = 0\)

پ 

مجانب قائم

\( \Rightarrow x = - 1\quad :\quad \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{1 + 2{x^2}}}{{1 - {x^2}}} = \frac{3}{0} = \infty \Rightarrow x = - 1\)

مجانب قائم

\( \Rightarrow x = 1\quad \;\;\,:\quad \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 + 2{x^2}}}{{1 - {x^2}}} = \frac{3}{0} = \infty \Rightarrow x = 1\)

مجانب افقی

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \; \pm \;\infty } \frac{{1 + 2{x^2}}}{{1 - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \; \pm \;\infty } \frac{2}{{ - 1}} = - 2 \Rightarrow y = - 2\quad :\)

ت

مجانب افقی

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \; \pm \;\infty } \frac{{2x}}{{1 + {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \; \pm \;\infty } \frac{2}{x} = 0 \Rightarrow y = 0\)