جواب پرسش ها و مسئله های فصل 4 صفحه 122 درس 4 فیزیک دوازدهم تجربی (آشنایی با فیزیک اتمی و هسته ای)

الف

\(\begin{array}{l}\lambda = \frac{c}{f}\\\\ \Rightarrow f = \frac{{3 \times {{10}^8}\frac{m}{s}}}{{589 \times {{10}^{ - 9}}m}} = 5/09 \times {10^{14}}Hz\\\\ \Rightarrow E = hf = \frac{{hc}}{\lambda } = \\\\\frac{{1242\;nm.eV}}{{589\;nm}} = 2/109eV\mathop = \limits^{(1\;eV = 1/6 \times {{10}^{ - 19}}j)} \\2/109 \times 1/6 \times {10^{ - 19}}j = 3/374 \times {10^{ - 19}}j\\\\ \Rightarrow E = 3/374 \times {10^{ - 19}}j\end{array}\)

ب

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}E = pt\\\\E = nhf\end{array} \right\} \Rightarrow pt = nhf \Rightarrow n = \frac{{pt.\lambda }}{{hc}}\\\\ \Rightarrow n = \frac{{5w \times 60s \times 589 \times {{10}^{ - 9}}m}}{{6/63 \times {{10}^{ - 34}}j.s \times 3 \times {{10}^8}\frac{m}{s}}} = \\\\8/89 \times {10^{20}}\end{array}\)

الف

ب

\(\begin{array}{l}n = \frac{{pt.\lambda }}{{hc}} = \\\\\frac{{5 \times {{10}^{ - 3}}w \times 1s \times 663 \times {{10}^{ - 9}}m}}{{6/63 \times {{10}^{ - 34}}j.s \times 3 \times {{10}^8}\frac{m}{s}}} = \\\\1/59 \times {10^{16}}\end{array}\)

قطر مردمک : D

سطح دو مردمک : A

\(\begin{array}{l}A = 2(\pi {R^2}) = \frac{{\pi {D^2}}}{2}\\\\\left. \begin{array}{l}I = \frac{P}{{4\pi {r^2}}}\\\\E = IAt\end{array} \right\} \Rightarrow E = \frac{P}{{4\pi {r^2}}}(2\pi {r^2})t = \frac{P}{{8{r^2}}}({D^2})t\\\\ \Rightarrow E = \frac{{0/01 \times 5W \times {{(2 \times {{10}^{ - 3}}m)}^2} \times 1s}}{{8 \times {{({{10}^3}m)}^2}}}\\\\ \Rightarrow E = 2/5 \times {10^{ - 14}}j\end{array}\)

انرژی که به دو مردمک می رسد.

\(\begin{array}{l}E = nhf = \frac{{nhc}}{\lambda } \Rightarrow n = \frac{\lambda }{{hc}}E\\\\ \Rightarrow n = \frac{{550 \times {{10}^{ - 9}}m}}{{6/63 \times {{10}^{ - 34}}(j.s) \times 3 \times {{10}^8}(\frac{m}{s})}} \times 2/5 \times {10^{ - 14}}j\\\\ \Rightarrow n = 6/9 \times {10^4}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}nhf = pt\\\\ \Rightarrow n = \frac{{pt.\lambda }}{{hc}} = \\\\\frac{{300\frac{W}{{{m^2}}} \times 1s \times 570 \times {{10}^{ - 9}}m}}{{6/63 \times {{10}^{ - 34}}j.s \times 3 \times {{10}^8}\frac{m}{s}}} = \\\\8/6 \times {10^{20}}\end{array}\)

الف

وقتی نوری با بسامد مناسب مانند نور فرابنفش به سطحی فلزی بتابد الكترونهایی از آن گسیل می شوند. به این پدیده ی فیزیکی، اثر فوتوالکتریک می گویند.

ب

بنا بر نظر اینشتین، وقتی نوری تکفام بر سطح فلزی می تابد، هر فوتون صرفا با یکی از الکترون های فلز برهم کنش می کند.

اگر فوتون انرژی کافی داشته باشد تا فرآیند خارج کردن الکترون از فلز را انجام دهد، الکترون به طور آنی از آن گسیل می شود. در این صورت بخشی از انرژی فوتون صرف جدا کردن الکترون از فلز می شود و مابقی آن به انرژی جنبشی الکترون خارج شده تبدیل می شود.

اگر بسامد نور تابیده شده بر سطح فلز از بسامدی موسوم به بسامد آستانه (که به جنس فلز بستگی دارد) کمتر باشد، فوتون ها، حداقل انرژی لازم برای خارج کردن الکترون از فلز را ندارند و پدیده فوتوالکتریک رخ نمی دهد.

برای نوری که فوتون های آن دارای حداقل انرژی لازم برای وقوع پدیده فوتوالکتریک هستند، افزایش شدت نور (با ثابت ماندن پسامد) فقط سبب افزایش تعداد فوتونها و در نتیجه افزایش تعداد فوتوالکترون ها می شود، در حالی که انرژی جنبشی فوتوالکترون ها بدون تغییر می ماند.

الف

اگر بسامد نور فرودی بیشتر از آستانه بسامد باشد پدیده ی فوتوالکتریک رخ می دهد.

\(hf \ge {W_ \circ } \Rightarrow f \ge {f_ \circ }\)

اگر بسامد نور فرودی کمتر از آستانه بسامد باشد پدیده ی فوتوالکتریک رخ نمی دهد.

\(hf < {W_ \circ } \Rightarrow f < {f_ \circ }\)

ب

افزایش شدت نور فرودی در بسامد کمتر از آستانه تاثیری در پدیده فوتوالکتریک ندارد.

پ

در بسامدهای بزرگتر از بسامد آستانه، پدیده ی فوتوالکتریک رخ می دهد که با کاهش شدت نور فرودی تعداد الکترون های کمتری از سطح جدا می شوند و جریان کمتری به وجود می آید.

الف

برای یک جسم جامد، نظیر رشته ی داغ یک لامپ روشن، این امواج شامل گستره پیوسته ای از طول موج هاست. تشکیل طیف پیوسته توسط جسم جامد، ناشی از برهمکنش قوی بین اتم های سازنده آن است. حال آنکه گازهای کم فشار و رقیق، که اتم های منفرد آنها از برهم کنش های قوی موجود در جسم جامد آزادند به جای طیف پیوسته، طیفی گسسته را گسیل می کنند که شامل طول موج های معینی است. این طیف گسسته را، معمولا طیف گسیلی خطی یا به اختصار طیف خطی می نامند و طول موج های ایجاد شده در آن، برای اتم های هر گاز منحصر به فرد هستند. 

ب

برای تشکیل طیف گسیلی خطی اتم های هر گاز نظیر هیدروژن، هلیم، جیوه، سدیم و نئون معمولا از یک لامپ باریک و بلند شیشه ای که حاوی مقداری گاز رقیق و کم فشار است استفاده می شود. دو الکترود به نام های آند و کاتد در دو طرف این لامپ قرار دارد که به ترتیب به پایانه های مثبت و منفی یک منبع تغذیه با ولتاژ بالا وصل اند. این ولتاژ بالا، سبب تخلیه ی الکتریکی در گاز می شود و اتم های گاز درون لامپ شروع به گسیل نور می کنند. آزمایش نشان می دهد که طیف خطی ایجاد شده و همچنین رنگ نور گسیل شده، به نوع گاز درون لامپ بستگی دارد.

الف

n عدد کوانتومی است که نشان دهنده شماره مدار مجاز الکترون به دور هسته است و 1=n پایین ترین تراز انرژی است که مربوط به مدار اول است که به آن حالت پایه گفته می شود.

انرژی هر تراز به معنای مقدار انرژی است که الکترون با آن مقدار انرژی به هسته مقید است و برای جدا کردن الکترون باید به اندازه ی انرژی آن تراز به الکترون انرژی بدهیم تا از قید هسته رها شود و علامت منفی هم به همین دلیل است.

-13/6eV انرژی الکترون در حالت پایه است که کمترین انرژی مجاز الكترون است. در مقابل بالاترین تراز  ∞ = n است. که انرژی الکترون در این تراز صفر است، اگر الکترون در حالت سکون باشد.

ب

مدارها و انرژی های الکترون ها در هر اتم کوانتیده اند. وقتی یک الکترون در یکی از مدارهای مجاز است، هیچ نوع تابش الکترومغناطیسی گسیل نمی شود.

الكترون زمانی که از یک حالت مانا با انرژی بیشتر (E_U) به حالت مانا با انرژی کمتر (E_L) برود فوتون تایش می کند که انرژی فوتون تابشی برابر با اختلاف انرژی دو تراز است و چون ترازهای انرژی گسسته و دارای مقادیر معینی هستند لذا طیف خطی است.

پ

\(\begin{array}{l}\frac{1}{\lambda } = R\left( {\frac{1}{{n_L^2}} - \frac{1}{{n_U^2}}} \right)\\\\\left\{ \begin{array}{l}{n_L} = 1\\\\{n_U} = \infty \end{array} \right.\,\,\,:\\\\\frac{1}{{{\lambda _{\min }}}} = 0/011\;n{m^{ - 1}}\left( {\frac{1}{1} - \frac{1}{{{\infty ^2}}}} \right)\\\\ \Rightarrow {\lambda _{\min }} = 90/9\;nm\\\\\left\{ \begin{array}{l}{n_L} = 1\\\\{n_U} = 2\end{array} \right.\,\,\,:\\\\\frac{1}{{{\lambda _{\max }}}} = 0/011\;n{m^{ - 1}}\left( {\frac{1}{1} - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\\\\ \Rightarrow {\lambda _{\max }} = 121/2\;nm\end{array}\)

البته روش دیگری هم برای محاسبه کمترین و بیشترین طول موج می توان به کار برد و آن بدست آوردن طول موج بر اساس اختلاف سطح انرژی های مداری است:

\(\begin{array}{l}{\lambda _{\min }} = \frac{{hc}}{{{E_U} - {E_L}}} = \frac{{1240\;eV.nm}}{{0 + 13/6\;eV}}\\\\ \Rightarrow {\lambda _{\min }} = 90/91\;nm\\\\{\lambda _{\max }} = \frac{{hc}}{{{E_U} - {E_L}}} = \frac{{1240\;eV.nm}}{{ - 3/4\;eV + 13/6\;eV}}\\\\ \Rightarrow {\lambda _{\max }} = 121/2\;nm\end{array}\)

\( = {\lambda _{\max }} - {\lambda _{\min }}\)  گستره طول موج

\( = 121/2\,nm - 90/91\,nm = 30/29\,nm\)  گستره طول موج

الف

الكترون هایی که از ترازهای انرژی پایین تر با جذب فوتون به ترازهای انرژی بالاتر می روند. در این حالت، اتم، فوتوتی را که دقیقا انرژی لازم برای گذار را دارد جذب می کند.

ب

وقتی نور سفیدی را به گاز هیدروژن رقیق می تابانیم الکترون های گاز بعضی از فوتون های نور فرودی را جذب کرده و به ترازهای بالاتر می روند. اگر نور خروجی از گاز را از منشور عبور دهیم یک دسته خط های جذبی تاریک در طیف پیوسته مشاهده می کنید.

پ

برای برانگیخته شدن اتم های بسیاری از مواد که به آن، نور فرابنفش می تابانیم، هنگام بازگشت به حالت پایه، نور مرئی گسیل می کنند. در این نوع مواد فوتون فرابنفش، اتم را برانگیخته می سازد و الکترون به چند تراز انرژی بالاتر می رود و در برگشت با پرش های کوتاه تر و پله پله به تراز پایین تر می رود و فوتون های کم انرژی تری گسیل می کند که بعضی از آنها در ناحیه مرئی است.

الف

ذرات آلفا دارای بار مثبت اند، که تعداد زیادی از این ذرات از فضای خالی اتم عبور می کنند و یا در انحراف بسیار کمی در اثر نیروی دافعه از کنار هسته ی اتم می گذرند. که نشان می دهد بیشتر حجم ماده (اتم ها) از فضای خالی تشکیل شده است.

ب

تعداد بسیار کمی از ذرات آلفا به مرکز اتم برخورد می نمایند و به سمت عقب باز می گردند. که نشان می دهد که توسط یک مرکز بسیار چگال و دارای بار مثبت منحرف شده باشند که حجم آن در مقایسه با حجم اتم بسیار کم است.

پ

رادرفورد به دنبال ورقه ی نازک و فلز سنگین بود:

1 ورق طلا را می توان به راحتی، به ورقه ی بسیار نازکی تبدیل کرد. شکل دادن و نازک کردن طلا از همه فلزات، آسان تر می باشد. در نتیجه رادرفورد، ورقه ی طلا را برای آزمایش خود برگزید. 

2 رادرفورد به دنبال یک فلز سنگین بود که تعداد الکترون های زیادی داشته باشد. می خواست میزان پراکندگی ذرات آلفا را در اتم سنگین با تعداد الکترون های زیاد بررسی نماید. دلیل انتخاب پرتو آلفا هم باردار بودن و سنگین بودن ذره آلفا بود. سنگین بودن پرتو باعث می شد تا به آسانی از مسیر خود منحرف نشود.

ت

اگر فرض کنیم الکترون به دور هسته در گردش باشد، حرکت مداری الکترون به دور هسته، شتابدار است. و سبب تابش امواج الکترومغناطیسی می شود که بسامد آن، با بسامد حرکت مداری الکترون برابر است. با تابش موج الکترومغناطیسی توسط الکترون، از انرژی آن کاسته می شود. این کاهش انرژی باعث می شود که شعاع مدار الکترون به دور هسته به تدریج کوچکتر و بسامد حرکت آن به تدریج بیشتر شود. به این ترتیب باید طیف امواج الکترومغناطیسی گسیل شده از اتم، پیوسته باشد و الكترون پس از گسیل پی در پی امواج الکترومغناطیسی روی هسته فرو افتد. و تنها طیف گسیلی پیوسته خواهیم داشت. و این در شرایطی است که طیف خطی گسیل شده توسط اتم ها نیز جور در نمی آمد. در مدل بور که برای اتم هیدروژن ارائه شد. الکترون در حین حرکت روی یک مدار مانا بر خلاف نظریه الكترومغناطیسی کلاسیک تابشی نمی کند و همچنین از یک حد معین با شعاع مشخص به هسته نزدیک تر نمی شود.

الف

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{E_U} = - \frac{{13/6\;eV}}{{n_U^2}}\\\\{E_L} = - \frac{{13/6\;eV}}{{n_L^2}}\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow \Delta {E_{({n_U} \to {n_L})}} = {E_U} - {E_L} = \\\\ - \frac{{13/6\;eV}}{{n_U^2}} - ( - \frac{{13/6\;eV}}{{n_L^2}})\\\\ \Rightarrow \Delta {E_{({n_U} \to {n_L})}} = 13/6\;eV\;(\frac{1}{{n_L^2}} - \frac{1}{{n_U^2}})\end{array}\)

ب

\(\begin{array}{l}\Delta E(4 \to 2) = \Delta E(4 \to 3) + \Delta E(3 \to 2)\\\\ \Rightarrow \Delta E(4 \to 2) = 13/6\;eV\;(\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{4^2}}}) = 13/6\;eV\;(\frac{1}{4} - \frac{1}{{16}})\\\\\Delta E(4 \to 3) + \Delta E(3 \to 2) = \\\\13/6\;eV\;(\frac{1}{{{3^2}}} - \frac{1}{{{4^2}}}) + 13/6\;eV\;(\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{3^2}}}) = \\\\13/6\;eV\;[(\frac{1}{9} - \frac{1}{{16}}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{9})] = \\\\13/6\;eV\;(\frac{1}{4} - \frac{1}{{16}})\\\\ \Rightarrow \Delta E(4 \to 2) = \Delta E(4 \to 3) + \Delta E(3 \to 2)\\\\\\\\\Delta E(4 \to 1) = \Delta E(4 \to 2) + \Delta E(2 \to 1)\\\\ \Rightarrow \Delta E(4 \to 1) = 13/6\;eV(\frac{1}{{{1^2}}} - \frac{1}{{{4^2}}}) = 13/6\;eV(\frac{1}{1} - \frac{1}{{16}})\\\\\Delta E(4 \to 2) + \Delta E(2 \to 1) = 13/6\;eV(\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{4^2}}}) + 13/6\;eV(\frac{1}{{{1^2}}} - \frac{1}{{{2^2}}})\\\\ = 13/6\;eV[(\frac{1}{4} - \frac{1}{{16}}) + (\frac{1}{1} - \frac{1}{4})] = \\\\13/6\;eV(\frac{1}{1} - \frac{1}{{16}})\\\\ \Rightarrow \Delta E(4 \to 1) = \Delta E(4 \to 2) + \Delta E(2 \to 1)\end{array}\)

البته روش دیگری هم هست که ساده تر نیز وجود دارد و آن استفاده کردن از روشی که در قسمت الف آمده، می باشد:

\(\begin{array}{l}\Delta E(4 \to 2) = {E_4} - {E_2}\\\\\Delta E(4 \to 3) + \Delta E(3 \to 2) = {E_4} - {E_3} + {E_3} - {E_2} = {E_4} - {E_2}\;\\\\ \Rightarrow \Delta E(4 \to 2) = \Delta E(4 \to 3) + \Delta E(3 \to 2)\\\\\\\Delta E(4 \to 1) = {E_4} - {E_1}\\\\\Delta E(4 \to 2) + \Delta E(2 \to 1) = {E_4} - {E_2} + {E_2} - {E_1} = {E_4} - {E_1}\\\\ \Rightarrow \Delta E(4 \to 1) = \Delta E(4 \to 2) + \Delta E(2 \to 1)\end{array}\)

الف

10 فوتون

\( = \frac{{n(n - 1)}}{2} = \frac{{5 \times 4}}{2} = 10\)  تعداد فوتون ها

ب

4 فوتون

\( = n - 1 = 5 - 1 = 4\)  تعداد فوتون های با انرژی متفاوت

الف

وقتی اتم ها (الكترون ها) در حالت پایه باشد برانگیخته نشده اند به این حالت می گوییم اتم در وضعیت معمول است.

ب

با تابش فوتون هایی که انرژی آنها برابر اختلاف انرژی دو تراز E_L و E_U - E_L = hf) E_U) است. الکترون از تراز E_L به تراز E_U برانگیخته می شوند و این عمل آنقدر تکرار می شود تا حالت پایه با این فرایند تخلیه و جمعیت تراز بالاتر خیلی زیاد شود و وارونی جمعیت پیش می آید.

پ

وارونی جمعیت در یک محیط لیزر مربوط به وضعیتی است که تعداد الکترونها در ترازهای موسوم به ترازهای شبه پایدار نسبت به تراز پایین تر بسیار بیشتر باشند. در این ترازها، الکترونها مدت زمان بسیار طولانی تری نسبت به حالت برانگیخته ی معمولی باقی می مانند. این زمان طولانی تر، فرصت بیشتری برای افزایش وارونی جمعیت و در نتیجه تقویت نور لیزر فراهم می کند.

ت

اگر فوتونی با انرژی ورودی (E_U - E_L = hf) به اتم برانگیخته وارد شود، گسیل القایی رخ می دهد.

ث

گسیل القایی سه ویژگی عمده دارد.

اول اینکه یک فوتون وارد و دو فوتون خارج می شود. به این ترتیب این فرایند تعداد فوتون ها را افزایش می دهد و نور را تقویت می کند.

دوم اینکه فوتون گسیل شده، در همان جهت فوتون ورودی حرکت می کند.

سوم اینکه فوتون گسیل شده با فوتون ورودی همگام یا دارای همان فاز است. به این ترتیب فوتون هایی که باریکه ی لیزری را ایجاد می کنند هم بسامد، هم جهت و هم فاز هستند.

الف

فوتون های خروجی از یک لامپ رشته ای در تمام جهت ها گسیل و پراکنده می شوند و برای ایجاد فوتونهای لامپ رشته ای و چراغ قوه به فرایند گسیل القایی نیازی نیست بلکه گسیل خود به خود رخ می دهد و فوتون های گسیل شده، موازی، هم فاز و هم بسامد نیستند.

در چراغ قوه فوتون های با قرار دادن یک عدسی در جلوی لامپ چراغ قوه از پراکنده شده فوتون ها، جلوگیری می کنند. فوتون های خروجی نسبت به لامپ در جهت های محدودتر گسیل می شوند. فوتون های گسیل شده، موازی، غیر هم فاز و با بسامدهای مختلف گسیل می کنند. در لیزر، فوتون ها در فرآیند گسیل القایی ایجاد شده و باریکه ای از لیزر را داریم که این باری که از فوتون هایی که همگی هم جهت، هم فاز و هم انرژی اند ایجاد می شود.

ب

نور لیزر دارای تعداد زیادی فوتون های هم فاز، هم بسامد و هم جهت می باشند لذا دارای انرژی بسیار زیاد و قدرت نفوذ پذیری بالایی دارند. اگر وارد چشم شوند می توانند باعث صدمه زدن به چشم شوند.

: حجم توپ

\(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\)

: حجم نوترون در توپ

\(V' = \frac{4}{3}\pi {r'^3}\)

: تعداد نوترون در توپ

\(\begin{array}{l}N = \frac{V}{{V'}} = \frac{{\frac{4}{3}\pi {R^3}}}{{\frac{4}{3}\pi {{r'}^3}}} = {(\frac{R}{{r'}})^3} = \\\\{(\frac{{3/2 \times {{10}^{ - 2}}\,m}}{{8/4 \times {{10}^{ - 16}}\,m}})^3} \simeq 5/53 \times {10^{40}}\end{array}\)

: جرم توپ

\(\begin{array}{l}m = N \times m' = \\\\5/53 \times {10^{40}} \times 1/7 \times {10^{ - 27}} = 9/4 \times {10^{13}}kg\end{array}\)

الف

\({}_{82}^{208}Pb \Rightarrow A = 208\)

ب

\({}_{82}^{208}Pb \Rightarrow N = A - Z = 208 - 82 = 126\)

پ

\(q = + 82\;e = 82 \times 1/6 \times {10^{ - 19}}C = 1/312 \times {10^{ - 17}}C\)

هسته از پروتون و نوترون تشکیل شده است که نوترون بار ندارد و بار پروتون مثبت است. پس بار الکتریکی خالص هسته مثبت است.

الف

\({}_{78}^{195}X = {}_{78}^{195}Pt \Rightarrow N = 195 - 78 = 117\)

ب

\({}_{16}^{32}X = {}_{16}^{32}S \Rightarrow N = 32 - 16 = 16\)

پ

\({}_{29}^{61}X = {}_{29}^{61}Cu \Rightarrow N = 61 - 29 = 32\)

ایزوتوپ \({}_{25}^{61}X\) و \({}_{25}^{59}X\) دارای عدد اتمی یکسان اند پس خواص شیمیایی یکسانی دارد و با روش شیمیایی نمی توان این دو ایزوتوپ را جدا کرد. این دو ایزوتوپ دارای خواص فیزیکی متفاوت مانند عدد جرمی و عدد نوترونی متفاوت می باشند.

ولی ایزوتوپ  \({}_{25}^{61}X\) و \({}_{26}^{61}Y\) را می توان به روش شیمیایی جدا کرد. زیرا عدد اتمی و خواص شیمیایی متفاوتی دارند.

  \({}_{82}^{211}Pb \to {}_{83}^{211}Bi + {}_{ - 1}^0X\)

تولید اشعه \({\beta ^ - }\) ، الکترون زا

\({}_6^{11}C \to {}_3^{11}Bi + {}_3^0X \Rightarrow {}_3^0X \Leftrightarrow 3({}_{ + 1}^0{e^ + })\)

تولید اشعه \({\beta ^ + }\) ، 3 تا پوزیترون

\({}_{90}^{231}Pb \to {}_{90}^{231}Bi + {}_0^0X\)

تولید اشعه \(\gamma \)

\({}_9^{18}F \to {}_8^{18}O + {}_{ + 1}^0X\)

تولید اشعه \({\beta ^ + }\) ، 1 تا پوزیترون

الف

اورانیوم:

\(\begin{array}{l}{}_{94}^{242}Pu \to ({}_2^4He,\alpha ) + {}_Z^AX\\\\ \Rightarrow {}_Z^AX = {}_{92}^{238}U\\\\A = 242 - 4 = 238\\\\Z = 94 - 2 = 92\end{array}\)

ب

منیزیم:

\(\begin{array}{l}{}_{11}^{24}Na \to {}_{ - 1}^0{e^{ - 1}} + {}_Z^AX\\\\ \Rightarrow {}_Z^AX = {}_{12}^{24}Mg\\\\A = 24 - 0 = 24\\\\Z = 11 + 1 = 12\end{array}\)

پ

اکسیژن:

\(\begin{array}{l}{}_7^{13}N \to {}_{ - 1}^0{e^{ - 1}} + {}_Z^AX\\\\ \Rightarrow {}_Z^AX = {}_8^{13}O\\\\A = 13 - 0 = 0\\\\Z = 7 + 1 = 8\end{array}\)

ت

نیتروژن:

\(\begin{array}{l}{}_8^{15}O \to {}_{ + 1}^0{e^{ - 1}} + {}_Z^AX\\\\ \Rightarrow {}_Z^AX = {}_7^{15}N\\\\A = 15 - 0 = 15\\\\Z = 8 - 1 = 7\end{array}\)

پلونیوم (واپاشی \(\alpha \)):

\(\begin{array}{l}{}_Z^AY \to {}_{82}^{207}Pb + {}_2^4He\\\\\left\{ \begin{array}{l}A = 4 + 207 \Rightarrow A = 211\\\\Z = 2 + 82 \Rightarrow Z = 84\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow {}_Z^AY = {}_{84}^{211}Y = {}_{84}^{211}Po\end{array}\)

تالیم (واپاشی \({\beta ^ - }\)):

\(\begin{array}{l}{}_Z^AY \to {}_{82}^{207}Pb + {}_{ - 1}^0e\\\\\left\{ \begin{array}{l}A = 207 + 0 \to A = 207\\\\Z = 82 - 1 \to Z = 81\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow {}_Z^AY = {}_{81}^{207}Y = {}_{81}^{207}T\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{}_{93}^{237}Np \to 3\alpha + \beta + {}_Z^AX\\\\ \Rightarrow {}_{93}^{237}Np \to 3{}_2^4He + {}_{ - 1}^0e + {}_Z^AX\\\\\left\{ \begin{array}{l}237 = 12 + 0 + A \to A = 225\\\\93 = 6 - 1 + Z \to Z = 88\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow {}_Z^AX = {}_{88}^{225}Ra\end{array}\)

زمان نیمه عمر، زمانی است که تعداد هسته های اولیه (N₀) نصف می شود. با توجه به نمودار و تعیین نیمه عمر سه نمودار می توان نتیجه گرفت:

\({T_{\frac{1}{2}(2)}} < {T_{\frac{1}{2}(3)}} < {T_{\frac{1}{2}(1)}}\)

\(\begin{array}{l}\frac{N}{{{N_ \circ }}} = \frac{1}{{{2^n}}} = 1/56\% = \frac{1}{{64}} = \frac{1}{{{2^6}}} \Rightarrow n = 6\\\\n = \frac{t}{{{T_{\frac{1}{2}}}}} \Rightarrow 6 = \frac{t}{{5730(Year)}}\\\\ \Rightarrow t = 34380(Year)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}n = \frac{t}{{{T_{\frac{1}{2}}}}}\\\\ \Rightarrow n = \frac{{4h}}{{1h}}\\\\ \Rightarrow n = 4\\\\ \Rightarrow N = \frac{{{N_ \circ }}}{{{2^n}}} = \frac{{{N_ \circ }}}{{{2^4}}} = \frac{{{N_ \circ }}}{{16}}\end{array}\)