گام به گام تمرین صفحه 40 درس 2 ریاضی (2) (هندسه)

1)

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}{S_{ABC}} = \frac{1}{2} \times AH \cdot BC\\{S_{ABC}} = \frac{1}{2} \times AB \cdot AC\end{array} \right\} \Rightarrow \frac{1}{2} \times AH \cdot BC = \frac{1}{2} \times AB \cdot AC\\ \Rightarrow AH \cdot BC = AB \cdot AC \Rightarrow \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{BC}}\end{array}\)

2)

(الف \(\frac{a}{{10 + a}} = \frac{b}{{8 + b}}\)

\(\frac{a}{{10 + a - a}} = \frac{b}{{8 + b - b}} \Rightarrow \frac{a}{{10}} = \frac{b}{8} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{{10}}{8}\)

(ب \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\frac{{3a + 10}}{{10 + 2a}} = \frac{{3b + 7}}{{7 + 2b}}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{3a + 10 - \left( {10 + 2a} \right)}}{{10 + 2a}} = \frac{{3b + 7 - \left( {7 + 2b} \right)}}{{7 + 2b}}\\ \Rightarrow \frac{a}{{10 + 2a}} = \frac{b}{{7 + 2b}}\\\frac{a}{{10 + 2a - 2a}} = \frac{b}{{7 + 2b - 2b}}\\ \Rightarrow \frac{a}{{10}} = \frac{b}{7} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{{10}}{7}\end{array}\)

3)

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}AD = DB \Rightarrow \frac{{AD}}{{DB}} = 1\\AE = EC \Rightarrow \frac{{AE}}{{EC}} = 1\end{array} \right\}\\\\ \Rightarrow \frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC}}\quad  \Rightarrow \quad DE\parallel BC\end{array}\)

\(DE\parallel BC\quad  \Rightarrow\) تعمیم قضیه تالس \({ \Rightarrow \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{BC}}}\)

\({\left. { \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}{AB = 2AD}\\{AC = 2AE}\end{array}} \right\} \Rightarrow \frac{{DE}}{{BC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow DE = \frac{1}{2}BC}\)

4)

\(PQ\parallel BC \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{{AQ}}{{QC}} \Rightarrow \frac{{AP}}{6} = \frac{2}{3} \Rightarrow AP = 4\\\frac{{AP}}{{AB}} = \frac{{AQ}}{{AC}} = \frac{{PQ}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{PQ}}{9} = \frac{2}{5} \Rightarrow PQ = \frac{{18}}{5}\end{array} \right.\)

5)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ST\parallel BC \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{AS}}{{SB}} = \frac{{AT}}{{TC}}}\\{\frac{{AS}}{{AB}} = \frac{{ST}}{{BC}}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{8}{4} = \frac{{3y + 3}}{6}}\\{\frac{8}{{12}} = \frac{6}{{4x + 1}}}\end{array}} \right.}\\\begin{array}{l}\\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{8}{4} = \frac{{3y + 3}}{6}}\\{\frac{8}{{12}} = \frac{6}{{4x + 1}}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 = \frac{{y + 1}}{2}}\\{\frac{2}{3} = \frac{6}{{4x + 1}}}\end{array}} \right.\end{array}\\\begin{array}{l}\\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y + 1 = 4 \Rightarrow y = 3}\\{8x + 2 = 18 \Rightarrow x = 2}\end{array}} \right.\end{array}\end{array}\)

6)

\(\left. \begin{array}{l}A\mathop C\limits^\Delta  D:\quad SE\parallel DC \Rightarrow \frac{{AS}}{{SD}} = \frac{{AE}}{{EC}}\\A\mathop B\limits^\Delta  C:\quad TE\parallel AB \Rightarrow \frac{{BT}}{{TC}} = \frac{{AE}}{{EC}}\end{array} \right\} \Rightarrow \frac{{AS}}{{SD}} = \frac{{BT}}{{TC}}\)

7)

الف) اگر در مثلثی سه زاویه مساوی باشند، آنگاه سه ضلع نیز با هم برابر خواهند بود.

ب) اگر در یک چهار ضلعی زوایای مقابل با هم برابر باشند، در این صورت اضلاع مقابل موازی هستند.

پ) اگر زوایای مقابل یک چهار ضلعی مکمل یکدیگر باشند، در این صورت رأس های چهارضلعی روی یک دایره قرار دارند.

ت) در مثلث ABC ، اگر AC< AB آنگاه  BH’ > CH

به عبارتی : AB>AC

8)

خط d و نقطه A خارج آن را در نظر می گیریم. از نقطه A عمود AH را رسم می کنیم. با استفاده از برهان خلف فرض می کنیم که از نقطه A می توانیم خط دیگری مانند AH’ را بر خط d عمود کنیم (فرض خلف). بنابراین در مثلث AHH’ ، \(\widehat H = \widehat {H'} = {90^ \circ }\) ؛ ولی با توجه به اینکه مجموع زوایای داخلی هر مثلث 180 درجه است، به تناقض می رسیم. پس از ابتدا فرض غلط بودن حکم نارست بوده است و حکم نمی تواند غلط باشد. به عبارت دیگر فرض خلف باطل و حکم مسئله ثابت می شود.

9)

الف) عدد 131 اول است و بزرگتر از 127 می باشد. پس این حکم کلی با این مثال نقض رد می شود.

ب) مساحت مربع شکل مقابل a² است اما مساحت قائم الزاویه رنگی \(\frac{{{a^2}}}{2}\) است.

\(\frac{{{a^2}}}{2} < {a^2}\) پس با این نقض، حکم کلی رد می شود.

پ) در مثلث قائم الزاویه، ارتفاع با طول ضلع مثلث برابر است. با این مثال نقض، این حکم کلی رد می شود.

ت) در مثلث ABC شکل مقابل خط d عمود منصف ضلع AB و CM میانه ضلع AB است ولی بر هم منطبق نیستند.