گام به گام سوال متن صفحه 27 درس 1 ریاضی و آمار (1) (معادلۀ درجۀ دوم)

با استفاده از روش مربع کامل برای حل معادلهٔ درجه دوم \(a{x^2} + bx + c = 0\) روش کلی برای حل معادله به دست می آید. با مرور پله های گفته شده در بخش قبل:

1 قرینهٔ عدد ثابت معادله را به دو طرف معادله اضافه می کنیم:

\(a{x^2} + bx = - c\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

2 دو طرف معادله را به ضریب \({x^2}\) یعنی a تقسیم می کنیم:

\({x^2} + \frac{b}{a}x = - \frac{c}{a}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\)

3 ضریب \(\frac{b}{a}\) را در عدد 2 ضرب و تقسیم می کنیم و مربع عبارت \(\frac{b}{{2a}}\) را به دو طرف تساوی (2) اضافه می کنیم:

\(\begin{array}{l}{x^2} + 2(\frac{b}{{2a}})x = - \frac{c}{a}\\\\ \Rightarrow {x^2} + 2(\frac{b}{{2a}})x + {(\frac{b}{{2a}})^2} = {(\frac{b}{{2a}})^2} - \frac{c}{a}\,\,\,\,\,\,(3)\end{array}\)

4 عبارت سمت چپ تساوی (3) را به مربع کامل تبدیل می کنیم:

\( \Rightarrow {(x + \frac{b}{{2a}})^2} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} - \frac{c}{a} \Rightarrow {(x + \frac{b}{{2a}})^2} = \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4{a^2}}}\,\,\,\,\,\,(4)\)

5 با شرط \({b^2} - 4ac > 0\) و با استفاده از ریشه گیری از 2 طرف تساوی:

\(\begin{array}{l}x + \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \Rightarrow x = - \frac{b}{{2a}} \pm \frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\\\\ \Rightarrow x = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\end{array}\)

عبارت \({b^2} - 4ac\) را مبین معادلهٔ درجه دوم می نامند و آن را با \(\Delta \) نشان می دهند.

براساس علامت \(\Delta \) می توان در وجود و تعداد ریشه های معادلهٔ درجه دوم اظهار نظر کرد:

الف اگر \(\Delta > 0\) باشد، معادله دارای 2 جواب است که عبارت اند از:

\(x = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\) و \(x = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}\)

ب اگر \(\Delta = 0\) باشد، معادله دارای یک جواب است. (در این حالت این ریشه را ریشهٔ مضاعف می نامند.)

\(x = \frac{{ - b}}{{2a}}\)

پ اگر \(\Delta < 0\) باشد، معادله جواب ندارد. (چرا؟)