گام به گام مثال صفحه 23 درس 1 ریاضی و آمار (1) (معادلۀ درجۀ دوم)

مثال

معادلهٔ درجه دوم \(2{x^2} + 3x - 5 = 0\) را حل کنید.

1 ابتدا قرینهٔ عدد ثابت معادله؛ یعنی 5 را به دو طرف معادله اضافه می کنیم:

\(2{x^2} + 3x = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

2 اگر ضریب \({x^2}\) مخالف ١ باشد، دو طرف معادله را به ضریب \({x^2}\) تقسیم می کنیم. بنابراین، در معادلهٔ بالا دو طرف تساوی را بر عدد ....... تقسیم می کنیم:

\({x^2} + \frac{3}{2}x = \frac{5}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\)

3 در عبارت \(\frac{3}{2}x\) با در نظر گرفتن اتحاد مربع دوجمله ای \({a^2} + 2ab + {b^2} = {(a + b)^2}\) برای ایجاد جملهٔ 2ab، \(\frac{3}{2}x\) را در عدد ٢ ضرب و تقسیم می کنیم:

\(\frac{3}{2}x = 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{2}x = 2 \times (\frac{1}{2} \times \frac{3}{2}x) = 2 \times \frac{3}{4}x\)

- سپس مربع عدد \(\frac{3}{4}\) را به دو طرف تساوی (2) اضافه می کنیم:

\({x^2} + \frac{3}{2}x + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = \frac{5}{2} + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2}\,\,\,\,\,\,(3)\)

4 به کمک اتحاد مربع دو جمل های سمت چپ تساوی (3) را به \({(a + b)^2}\) تبدیل می کنیم:

بنابراین:

\({(x + \frac{3}{4})^2} = \frac{5}{2} + \frac{9}{{16}} \to {(x + \frac{3}{4})^2} = \frac{{49}}{{16}}\,\,\,\,\,\,(4)\)

5 با استفاده از ریشه گیری از 2 طرف تساوی، مقدار x به دست می آید:

\(x + \frac{3}{4} = \pm \frac{7}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{4} + \frac{7}{4} = \frac{4}{4} = 1\\\\x = - \frac{3}{4} - \frac{7}{4} = - \frac{{10}}{4} = - \frac{5}{2}\end{array} \right.\)

پس جواب های معادلهٔ \(2{x^2} + 3x - 5 = 0\) یا همان ریشه های معادله، دو عدد حقیقی x=1 و \(x = - \frac{5}{2}\) هستند.