شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | معادله درجه دوم و روش های حل آن](https://dl2.my-dars.com/upload/image/01 (8)1738585228.jpg)
به معادله ی \(a{x^2} + bx + c = 0\) یک معادله درجه دوم گوییم به شرطی که \(a \ne 0\) باشد. اعداد \(a,b,c \in \mathbb{R}\) را ضرائب معادله می نامیم. X مجهول معادله است و منظور از حل معادله فوق یعنی یافتن تمام اعداد حقیقی چون x که در معادله صدق کنند.
حال به معرفی روش های حل این معادله می پردازیم. برای این منظور با توجه به وضعیت ضرایب معادله روش هایی ارائه می شود.
اگر در معادله درجه دوم \(a{x^2} + bx + c = 0\) داشته باشیم \(b = 0\& c \le 0\) آنگاه با یک ریشه گیری جواب معادله بدست می آید.
مثال
معادله \(4{x^2} - 16 = 0\) را به روش ریشه گیری حل کنید.
\(4{x^2} - 16 = 0 \to 4{x^2} = 16 \to {x^2} = 4 \to x = \pm 2\)
اگر در معادله درجه دوم داشته باشیم \(b = 0\) با یک فاکتورگیری ساده معادله حل می شود.
مثال
معادله \(3{x^2} + 12x = 0\) را به روش فاکتور گیری حل کنید.
\(3{x^2} + 12x = 0 \to 3x\left( {x + 4} \right) = 0 \to x = 0\& x = - 4\)
چنانچه هیچ یک از ضرائب صفر نباشد به کمک تجزیه کردن سه جمله ای می توان معادله را حل کرد. در این مورد توجه داریم که ازیکی از خواص اعداد حقیقی استفاده می کنیم که قبلا به آن اشاره کرده ایم :
\(ab = 0 \to a = 0 \vee b = 0\)
مثال
معادله \({x^2} - x - 12 = 0\) را به روش تجزیه حل کنید.
\(\begin{array}{l}{x^2} - x - 12 = \left( {x - 4} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\\ \to x - 4 = 0 \to x = 4\\ \to x + 3 = 0 \to x = - 3\end{array}\)
تصور کنید می خواهید جواب معادله \({x^2} + 2x - 1 = 0\) را بدست آورید. هرچه تلاش کنید ، معادله به روش های معمول اشاره شده در بالا حل نخواهد شد. پس باید راهکار تازه ای بکار برد. بدین منظور می توان نوشت:
\(\begin{array}{l}{x^2} + 2x - 1 = 0 \to {x^2} + 2x = 1 \to {x^2} + 2x + 1 = 1 + 1\\ \to {\left( {x + 1} \right)^2} = 2 \to x + 1 = \pm \sqrt 2 \to x = \pm \sqrt 2 - 1\end{array}\)
اگر خوب به محاسبات نگاه کنید هدف از اضافه کردن عدد ١ به طرفین تساوی این بوده است که یک طرف معادله مربع کامل شود تا بتوان از طرفین جذر گرفت و جواب را یافت. چرا عدد ١؟ جواب در محاسبه زیر نهفته است. در حالت کلی برای اینکه عبارت \({x^2} + bx\) را به عبارتی تبدیل کنیم که شامل مربع کامل باشد به شکل زیر عمل می کنیم:
\({x^2} + bx = {x^2} + bx + \frac{{{b^2}}}{4} - \frac{{{b^2}}}{4} = {\left( {x + \frac{b}{2}} \right)^2} - \frac{{{b^2}}}{4}\)
مثال
جواب های معادله \(3{x^2} - 9x + 3 = 0\) را به روش مربع کامل پیدا کنید.
\(\begin{array}{l}3{x^2} - 9x + 3 = 0 \to {x^2} - 3x + 1 = 0 \to {x^2} - 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} + 1 = 0\\ \to {\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4} - 1 \to x - \frac{3}{2} = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{2}\\ \to x = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{2} + \frac{3}{2}\end{array}\)
همان طور که مثال های حل شده بالا ملاحضه کردید،روش مربع کامل کردن کمی وقت گیر و پرمحاسبه است. به همین دلیل یکبار روش مربع کامل را روی فرم کلی معادله درجه دوم \(a{x^2} + bx + c = 0\) بکار می بریم تا دستوری کلی بر حسب رادیکال ها بیابیم و بعد از آن برای حل از دستور یافت شده استفاده کنیم. قبل از شروع محاسبات مبین معادله درجه دوم را بصورت \(\Delta = {b^2} - 4ac\) تعریف می کنیم. \(\Delta \) یک عدد حقیقی است و لذا هر سه حالت \(\Delta \langle 0,\Delta \rangle 0,\Delta = 0\) ممکن است اتفاق بیافتد.
\(\begin{array}{l}a{x^2} + bx + c = 0 \to {x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\\ \to {x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} - \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} + \frac{c}{a} = 0\\ \to {\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} - \frac{c}{a} \to {\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4{a^2}}}\\ \to x + \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt \Delta }}{{2a}} \to x = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}\end{array}\)
به این ترتیب با فرض اینکه \(\Delta \rangle 0\) باشد معادله دارای دو جواب \({x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\) و \({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}\) می باشد. اگر \(\Delta = 0\) باشد هر دو جواب برابرند و داریم: \({x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}}\) و سرانجام اگر \(\Delta \langle 0\) باشد، گوییم معادله جواب حقیقی ندارد.
1 معادله های زیر را به روش مربع کامل حل کنید.
الف \({x^2} - 6x = 7\)
\(\begin{array}{l}{x^2} - 6x = 7 \to {x^2} - 6x + 9 = 7 + 9 \to {\left( {x - 3} \right)^2} = 16 \to x - 3 = \pm 4\\x - 3 = 4 \to {x_1} = 7\\x - 3 = - 4 \to {x_2} = - 1\end{array}\)
ب \({r^2} + 4r + 4 = 0\)
\({r^2} + 4r + 4 = 0 \to {\left( {r + 2} \right)^2} = 0 \to r + 2 = 0 \to r = - 2\)
2 هر یک از معادله های زیر را به روش دلخواه حل کنید.
الف \(2{x^2} = 250\)
\(2{x^2} = 250 \to \div 2 \to {x^2} = 125 \to x = \pm \sqrt {125} \to x = \pm 5\sqrt 5 \)
ب \(4{x^2} - 13x + 3 = 0\)
\(\begin{array}{l}4{x^2} - 13x + 3 = 0 \to \Delta = {b^2} - 4ac \to \Delta = 169 - 48 \to \Delta = 121\\x = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}\\ \to {x_1} = \frac{{13 + 11}}{8} = 3\\ \to {x_2} = \frac{{13 - 11}}{8} = \frac{1}{4}\end{array}\)
3 طول یک مستطیل 3 سانتی متر بیشتر از 4 برابر عرض آن است. اگر مساحت این مستطیل 45 سانتی متر مربع باشد، ابعاد این مستطیل را مشخص کنید.
\(\begin{array}{l}S = a\left( {4a + 3} \right) \to 45 = a\left( {4a + 3} \right) \to 4{a^2} + 3a - 45 = 0 \to \Delta = {b^2} - 4ac \to \Delta = 729\\x = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}\\{x_1} = \frac{{ - 3 + 27}}{8} \to {x_1} = 3\\{x_2} = \frac{{ - 3 - 27}}{8} \to {x_2} = - \frac{{15}}{4}\end{array}\)
عرض مستطیل 3 و طول مستطیل 15 است.
تهیه کننده: فرهاد صمدی
1736019749.png)
