شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | نسبت های مثلثاتی](https://dl2.my-dars.com/upload/image/01 (8)1738580507.jpg)
از کلاس نهم می دانید چنانچه دو زاویه از مثلثی با دو زاویه از مثلث دیگر برابر باشند دو مثلث متشابه اند. در شکل زیر دو مثلث \(ABC,A'B'C'\) متشابه اند.
حال در دو مثلث قائم الزاویه برابری تنها یک زاویه حاده از مثلث اولی با یک زاویه حاده از مثلث دومی برای تشابه دو مثلث کفایت می کند.
در شکل بالا داریم \(A = E = G = Q = {90^0}\) ولذا مثلث های قائم الزاویه ای که در راس B مشترک اند متشابه هستند. حال اگر نسبت تشابه را در این مثلث ها بنویسیم خواهیم داشت:
\(\frac{{DE}}{{BE}} = \frac{{FG}}{{BG}} = \frac{{PQ}}{{BQ}} = \frac{{GA}}{{BA}}\)
پس برای زاویه B همه این نسبت ها مقداری ثابت است . برای این نسبت ثابت نامی انتخاب می کنیم. این نام تانژانت زاویه B است. پس داریم:
\(\tan B = \frac{{AC}}{{AB}}\)
در مثلث، تانژانت هر زاویه ای از ضلع مقابل بر ضلع مجاور به دست می آید.
عکس نسبت تانژانت را کتانژانت می نامیم. پس داریم:
\(\cot B = \frac{{AB}}{{AC}}\)
در مثلث، کتانژانت هر زاویه ای از ضلع مجاور بر ضلع مقابل به دست می آید.
به همین ترتیب در این مثلث های متشابه نسبت های زیر نیز ثابت اند و باید نامی برای آنها انتخاب کرد.
\(\begin{array}{l}1)\frac{{DE}}{{BD}} = \frac{{FG}}{{BF}} = \frac{{PQ}}{{BP}} = \frac{{AC}}{{BA}}\\2)\frac{{BD}}{{DE}} = \frac{{BF}}{{FG}} = \frac{{BP}}{{PQ}} = \frac{{BA}}{{AC}}\end{array}\)
اولی را سینوس و دومی را کسینوس می نامند. پس داریم:
\(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}}\)
\(\cos B = \frac{{AB}}{{AC}}\)
در مثلث، سینوس و کسینوس هر زاویه ای از ضلع مقابل بر وتر و ضلع مجاور بر وتر به دست می آید.
در یک مثلث قائم الزاویه نسبت های ، سینوس، کسینوس، تانژانت، کتانژانت را نسبت های مثلثاتی می نامیم.
مقدار نسبت های مثلثاتی در درجاتی که نیاز خواهید داشت به صورت زیر است:
1 مقدار عددی عبارات زیر را بدست آورید.
الف \({{\mathop{\rm Sin}\nolimits} ^2}{45^0} + {{\mathop{\rm Cos}\nolimits} ^2}{45^0} = \)
\(\begin{array}{l}{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\\{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} ^2}{45^0} + {{\mathop{\rm Cos}\nolimits} ^2}{45^0} = 1\end{array}\)
ب \(\frac{{\tan {{45}^0} - \tan {{60}^0}}}{{1 + \tan {{45}^0} \times \tan {{60}^0}}} = \)
\(\begin{array}{l}\frac{{1 - \sqrt 3 }}{{1 + \sqrt 3 }} = \frac{1}{1} = 1\\\frac{{\tan {{45}^0} - \tan {{60}^0}}}{{1 + \tan {{45}^0} \times \tan {{60}^0}}} = 1\end{array}\)
2 در شکل زیر طول نردبان را بیابید. (\({\mathop{\rm Cos}\nolimits} {36^0} \approx 0/8\))
\({\mathop{\rm Cos}\nolimits} A = \frac{{AB}}{{AC}} \to 0/8 = \frac{{1/23}}{{AC}} \to AC = \frac{{1/23}}{{0/8}} \to AC = 1/5375\)
تهیه کننده: فرهاد صمدی
1736019749.png)
