شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | ب.م.م و ک.م.م](https://dl.my-dars.com/upload/image/03 (8)1728762517.jpg)
دو مفهوم ب.م.م و ک.م.م کاربردهای زيادی در نظريه اعداد دارند.
فرض كنيد a و b دو عدد صحيح باشند كه لااقل یكی از آنها غيـر صـفر اسـت. عـدد طبيعـی d را (ب.م.م) يعنـی بزرگترين مقسوم عليه مشترک اين دو عدد گوئيم، هرگاه:
1) \(d|b,d|a\)
2) ساير مقسوم عليه های مشترک a و b از d كوچكتر باشند. در اين صورت می نويسيم:
\((a,b) = d\)
اگر \(a|b\) ، آنگاه \((a,b) = \left| a \right|\) است. به ویژه:
\((a,a) = \left| a \right|,(a,0) = \left| a \right|\)
البته عبارت \((0,0)\) بی معنی است.
حالت خاص زير در مورد ب.م.م اعداد اهميت بسياری دارد.
دو عدد a و b را نسبت به هم اول يا (مُتَبايِن) گوئيم، هرگاه:
\((a,b) = 1\)
به دو مورد در ارتباط با اين مفهوم توجه کنيد:
واضح است که \((4,9) = 1\) و بنابراين متباين بودن اعداد ربطی به اول بودن تک تک آنها ندارد.
ولی عکس آن صحيح است:
اگر p و q دو عدد اول مختلف باشند، همواره: \((p,q) = 1\) .
دو عدد a و b وقتی نسبت به هم اول هستند که در تجزيه ی اين دو عدد به عددهای اول، عامـل اول مـشترکی وجود نداشته باشد. برای نمونه؛
چون \(35 = 5 \times 7,48 = {2^2} \times 3\) ، بنابراین \((48,35) = 1\) است.
مثال
1 نشان دهيد عدد 77 نسبت به هر سه عدد 64، 81 و 125 اول است.
تجزيه ی اين عددها به صورت زير است:
\(77 = 7 \times 11,64 = {2^6},81 = {3^4},125 = {5^3}\)
چون 77 با هيچ كدام عامل مشترک ندارد، نسبت به همه ی آنها اول است.
2 نشان دهيد دو عدد فرد متوالی همواره نسبت به هم اول هستند.
دو عدد فرد متوالی به صورت \(2n + 1\) و \(2n + 3\) هستند. قرار می دهیم: \(\left( {2n + 1,2n + 3} \right) = d\) . طبق تعریف:
\(\begin{array}{l}d|2n + 1\\d|2n + 3\\ \to - \to d|2n + 3 - \left( {2n + 1} \right) \to d|2 \to d = 1 \vee d = 2\end{array}\)
چون عدد ها فرد هستند، \(d = 2\) غیرممکن بوده و در نتیجه \(\left( {2n + 1,2n + 3} \right) = 1\) است.
اکنون مضرب های مشترک دو عدد صحيح را بررسی می کنيم:
فرض كنيم a و b دو عدد صحيح باشند كه هر دو غير صفر هستند. عدد طبيعـی c را (ک.م.م) يعنـی کوچـکتـرين مضرب مشترک اين دو عدد گوئيم، هرگاه:
1) \(b|c,a|c\)
2) ساير مضرب های مثبت و مشترک a و b از c بزرگتر باشند. در اين صورت می نويسيم:
\([a,b] = c\)
هر گاه \(a|b\) ، آنگاه \([a,b] = \left| b \right|\) است؛ به ویژه:
\([a, \pm a] = |a|,[ \pm 1,a] = |a|\)
مثال
برای دو عدد صحيح غير صفر a و b ، مقادير زير را حساب کنيد.
\([a,(a,b)],(a,[a,b])\)
چون \((a,b)|a,a|[a,b]\) ، جواب دو مورد برابر \(|a|\) است.
اگر عددهای داده شده را تجزيه کنيد، در اين صورت:
ابتدا توجه کنيد:
اگر a و b دو عدد صحيح و \((a,b) = d\) باشد، آنگاه \((\frac{a}{d},\frac{b}{d}) = 1\) است.
اکنون فرض کنيد \((a,b) = d\) باشد، آنگاه:
قرار می دهيم: \(\frac{b}{d} = b',\frac{a}{d} = a'\)
طبق مرحله ی قبل خواهيم داشت: \(a = a'd\) و \(b = b'd\) و البته \((a',b') = 1\)
به جای اينکه دنبال اعداد نسبتاً بزرگ a و b بگرديد، بهتر است دنبال عددهای کوچکتر و متباين \(a'\) و \(b'\) بگردید.
ک.م.م بر حسب \(a'\) و \(b'\)
ک.م.م برابر \([a,b] = a'b'd\) است، زیرا:
\([a,b] = \frac{{a'd \times b'd}}{d} \Rightarrow [a,b] = a'b'd\)
اگر \((a,b) = 1\) باشد، آنگاه \([a,b] = |ab|\)
اگر a و b اعدادی صحيح باشند، آنگاه نشان دهيد \((ab + 1,a) = 1\) .
قرار می دهیم: \((ab + 1,a) = d\)
طبق تعريف بايد \(d|a\) و لذا d هر مضرب a از جمله ab را عاد می كند. بنابراين:
\(\begin{array}{l}d|ab\\d|ab + 1\\ \to d|ab + 1 - d|ab \to d|1 \to d = 1\end{array}\)
تهیه کننده: علیرضا نورالدّینی
