درسنامه کامل حسابان دوازدهم فصل 2 مثلثات

الف واضح است که برای هر عدد صحیح k تساوی \(\sin (2k\pi + x) = \sin x\)برقرار است. لذا می توان \(f(2k\pi + x) = f(x)\) نوشت

پس طبق تعریف این تابع متناوب است و دوره ی تناوب آن به ازای ۱ k=برابر \(t = 2\pi \)  است.

ب واضح است که برای هر عدد صحیح k تساوی \(cos(2k\pi + x) = \sin x\) برقرار است. لذا می توان \(f(2k\pi + x) = f(x)\) نوشت

پس طبق تعریف این تابع متناوب است و دوره ی تناوب آن به ازای ۱ k=برابر \(t = 2\pi \)  است.

‏\(\left| a \right| + c = \left| { - 3} \right| + 5 = 8\)  مقدار ماگزیمم

‏ \( - \left| a \right| + c = - \left| 3 \right| + 5 = 2\) مقدار مینیمم

\(T = \frac{{2\pi }}{{\left| b \right|}} = \frac{{2\pi }}{{\left| 2 \right|}} = \pi \)  دوره ی تناوب

\( - \left| a \right| + c = - 7\) مقدار مینیمم

‏\(\left| a \right| + c = - 1\)  مقدار ماگزیمم

\(f(x) = asinbx + c\)

با توجه به دو تساوی فوق می توان نتیجه گرفت که \(2c = - 8\) پس ۴- = c لذا :

‏\(\left| a \right| - 4 = - 1 \to \left| a \right| = 3 \to a = \pm 3\)

\(T = \frac{{2\pi }}{{\left| b \right|}} = 4\pi \to \left| b \right| = \frac{1}{2} \to b = \pm \frac{1}{2}\) دوره ی تناوب

پس می توان گفت که این تابع به یکی از شکل های زیر است.

\(f(x) = - 3sin\frac{1}{2}x - 4\) یا\(f(x) = 3sin\frac{1}{2}x - 4\)

 این تابع یک تابع کسینوسی است و معادله ی آن به صورت \(y = a\cos bx\) خواهد بود.

از طرفی با توجه شکل معلوم است که دوره ی تناوب تابع برابر \(T = \pi \) است. از

\(\frac{{2\pi }}{{\left| b \right|}} = \pi \to \left| b \right| = 2 \to b = \pm 2\)

برای تعیین مقدار a کافی است مختصات یک نقطه از نمودار تابع را در معادله ی فوق جایگزین کنیم در این جا می توان نقطه ی (,-12۰) را در نظر گرفت

\(y = a\cos bx - 12 = a\cos bx(0) \to - 12 = a \times 1 \to a = - 12\)

در نهایت معادله ی تابع را بدین شکل خواهیم داشت.

\(y = - 12\cos 2x\)

\(\tan {75^o} = tan(30 + 45) = \frac{{\tan 30 + \tan 45}}{{1 - \tan 30 \times \tan 45}} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{3} + 1}}{{1 - (\frac{{\sqrt 3 }}{3} \times 1)}} = \frac{{3 + \frac{{\sqrt 3 }}{3}}}{{1 - (\frac{{\sqrt 3 }}{3} \times 1)}} = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{{3 - \sqrt 3 }}\)

\(2\sin x - \sqrt 2 = 0 \to \sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left\{ \begin{array}{l}x = 2k\pi + \frac{\pi }{4}\\\\x = 2(k + 1)\pi - \frac{\pi }{4}\end{array} \right.\)

\(\cos x = \frac{1}{2} \to \left\{ \begin{array}{l}x = 2k\pi + \frac{\pi }{3}\\\\x = 2k\pi - \frac{\pi }{3}\end{array} \right.\)

\(\sin 3x = 1\left\{ \begin{array}{l}3x = 2k\pi + \frac{\pi }{2} \to x = \frac{{2k\pi }}{3} + \frac{\pi }{6}\\\\3x = (2k + 1)\pi - \frac{\pi }{2} \to x = \frac{{(2k + 1)\pi }}{3} - \frac{\pi }{6}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\tan 4x.\tan 3x = 1 \to \tan 4x = \frac{1}{{\tan 3x}}\\\\ \to \tan 4x = \cot 3x \to \tan \underbrace u_{} = \tan (\underbrace {\frac{\pi }{2} - 3x}_\alpha )\end{array}\\{}\\\begin{array}{l} \to 4x = 4\pi + \frac{\pi }{2} - 3x \to 7x = k\pi + \frac{\pi }{2}\\\\ \to x = \frac{{k\pi }}{7} + \frac{\pi }{{14}}\end{array}\end{array}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\tan x.\tan 2x = 1 \to \tan 2x = \frac{1}{{\tan x}}\\\\ \to \tan 2x = \cot x \to \tan 2x = \tan (\frac{\pi }{2} - x)\end{array}\\{}\\\begin{array}{l} \to 2x = k\pi + (\frac{\pi }{2} - x)\\\\ \to 3x = k\pi + \frac{\pi }{2} \to x = \frac{{k\pi }}{3} + \frac{\pi }{6}\end{array}\end{array}\)

توجه داشته باشید که این معادله به ازای برخی از مقادیر بدست آمده برقرار نیست. مثلاً به ازای ۱ = k به دست می آید. \(x = \frac{\pi }{3} + \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2}\) که جواب معادله نیست.

\(\sin 2x = 1\to2x = 2k\pi + \frac{\pi }{2} \to x = k\pi + \frac{\pi }{4}\)

\(\sin x(\sin x + 1) = 0 \to \left\{ \begin{array}{l}\sin x = 0 \to x = k\pi \\\\\sin x = - 1 \to x = 2k\pi - \frac{\pi }{2}\end{array} \right.\)

\((\sin x - 1)(\sin x + 2) = 0 \to \left\{ \begin{array}{l}\sin x = 1\to x = 2k\pi + \frac{\pi }{2}\\\\\sin x = - 2\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\sin x + \cos x = 1\\\\\sqrt 2 \sin (x + \frac{\pi }{4}) = 1 \to x + \frac{\pi }{4} = 2k\pi + \frac{\pi }{2} \to x = 2k\pi + \frac{\pi }{4}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}2\sin 2x - 1 = 0 \to \sin 2x = \frac{1}{2}\\\\\left\{ \begin{array}{l}2x = 2k\pi + \frac{\pi }{6} \to x = k\pi + \frac{\pi }{{12}}(1)\\\\2x = (2k + 1)\pi - \frac{\pi }{6} \to x = 2k\pi + \frac{{5\pi }}{6} \to x = k\pi + \frac{{5\pi }}{{12}}(2)\end{array} \right.\end{array}\)

اکنون برای هر یک از جوابهای عمومی بدست آمده جدولی مشابه جدول زیر تنظیم می کنیم و با انتخاب مقادیر مختلف برایk ، جوابهای مورد نظر در محدوده داده شده را تعیین می کنیم.

لذا مجموعه ی جواب در فاصله ی داده شده برابر \(\left\{ {\frac{\pi }{{12}}} \right.,\frac{{5\pi }}{{12}},\frac{{13\pi }}{{12}},\left. {\frac{{17\pi }}{{12}}} \right\}\)

\(\begin{array}{l}1 - {\sin ^2}x - {\mathop{\rm sinx}\nolimits} = \frac{1}{4} \to {\sin ^2}x + {\mathop{\rm sinx}\nolimits} = \frac{3}{4} \to 4{\sin ^2}x + 4{\mathop{\rm sinx}\nolimits} - 3 = 0\\\\\left\{ \begin{array}{l}\sin x = \frac{{ - 4 + 8}}{8} = \frac{1}{2}\\\\\sin x = \frac{{ - 4 - 8}}{8} = \frac{{ - 3}}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

اکنون معادله ی (۱) را به شکل زیر ادامه می دهیم.

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2k\pi + \frac{\pi }{6}\\\\x = (2k + 1)\pi - \frac{\pi }{6}\end{array} \right.\)

لذا مجموعه ی جواب در فاصله ی داده شده برابر \(\left\{ {\frac{\pi }{6}} \right.,\frac{{5\pi }}{6},\frac{{ - 7\pi }}{6},\left. {\frac{{ - 11\pi }}{6}} \right\}\)