درسنامه کامل ریاضی هفتم فصل 9 آمار و احتمال

علم آمار علم جمع آوری اطلاعات، سازماندهی و بررسی آنها است. اطلاعات،  جمع آوری شده را «داده های آماری» می گویند.

برای مقایسه و بررسی بهتر داده های آماری از انواع «نمودارها» استفاده می کنند. هر نمودار با توجه به موضوعی که داده های آن جمع آوری شده است و نوع اطلاعات به دست آمده، کارایی دارد.

1- نمودار میله ای:

نمودار میله ای برای مقایسه تعداد پیدا کردن بیشترین و کمترین داده به کار می رود.

در حال حاضر نرم افزارهای زیادی برای رسم انواع نمودار ها وجود دارند.

آنچه اهمیت دارد رسم نمودار نیست، بلکه انتخاب نمودار مناسب برای موضوع مورد نظر است.

2- نمودار خط شکسته:

نمودار خط شکسته برای نمایش تغییرها کاربرد دارد؛ بنابراین در موضوع هایی که تغییرها اهمیت دارد، از این نمودار استفاده می شود.

برای نمونه، تغییرها در بازارهای مالی، قیمت طلا، نفت، سهام و ... را با این نمودار نشان می دهند.

گاهی وقت ها به جای داده های واقعی از مقدار تقریبی آنها استفاده می کنیم. در برنامه ریزی های کلان به عددهای واقعی و دقیق نیاز نداریم.

برای مثال مقدار تولید گندم یک استان را به صورت چند هزار تن بیان می کنند؛ یعنی مقدار کمتر از ۱۰۰۰ تن یا یک میلیون کیلوگرم در این بررسی اهمیت ندارد.

3- نمودار دایره ای:

بعضی از داده ها و اطلاعات جمع آوری شده نشان می دهد که یک مقدار مشخص به چه نسبتی به بخش های کوچک تر تقسیم شده است.

در این موارد می توان تقسیم شدن را روی یک شکل مثل دایره نشان داد و سهم هر بخش را روی دایره مشخص کرد.

در نمودار دایره ای به طور معمول نسبت و سهم هر بخش را به صورت درصد محاسبه کرده و سپس روی نمودار نمایش می دهند.

4- نمودار تصویری:

گاهی وقت ها به جای داده های واقعی از مقدار تقریبی آنها استفاده می کنیم. در برنامه ریزی های کلان به عدد های واقعی و دقیق نیاز نداریم؛ برای مثال مقدار تولید گندم یک استان را به صورت چند هزار تن بیان می کنند، یعنی مقدار کمتر از ۱۰۰۰ تن یا یک میلیون کیلوگرم در این بررسی اهمیت ندارد.

ابتدا مقدار تقریبی هر عدد را با تقریب کمتر از مقدار مورد نظر گرد کنید. سپس با رسم یک شکل برای تعدادی مشخص، نمودار تصویری آن را رسم کنید.

اگر داده های جمع آوری شده زیاد و پراکنده باشند بررسی آنها طولانی می شود. برای اینکه بتوانیم آسان تر و بهتر نتیجه بگیریم، داده ها را متناسب با موضوع آماری دسته بندی و سازماندهی می کنیم.

به فاصله بین کمترین و بیشترین داده، «دامنه تغییرات» می گویند.

تعداد داده های هر دسته را «فراوانی» می گویند. فراوانی را به دو صورت زیر می توان نشان داد:

۱) استفاده از چوب خط

۲) استفاده از عدد

پس از اینکه داده های آماری در جدول سازماندهی می شوند و به کمک نمودارها درک بهتری از داده ها به دست آمد، می توان از میانگین داده ها برای کامل تر شدن نتایج حاصل از داده ها و تحلیل و تفسیر بهتر آنها استفاده کرد. میانگین تعدادی داده از تقسیم مجموع آنها بر تعدادشان به دست می آید:

به صورت جبری:

\(\overline x = \frac{s}{n}\)

اگر تعداد داده ها زیاد باشد و داده ها دسته بندی شده باشند، می توان میانگین داده ها را با تقریب بسیار خوب به دست آورد.

وقتی یک سکه را می اندازیم دو حالت هم شانس ممکن است اتفاق بیفتد، یا سکه رو می آید یا پشت و چون در یک حالت از این دو حالت ممکن، سکه رو می آید، پس احتمال رو آمدن سکه \(\frac{1}{2}\) است.

به این ترتیب برای بیان اندازه شانس رخ دادن یک اتفاق، از یک عدد استفاده کرده ایم که «احتمال رخ دادن» آن اتفاق نامیده می شود.

برای اینکه احتمال رخ دادن یک اتفاق را به دست آوریم، ابتدا همۀ حالت های ممکن را می یابیم، سپس حالت های مورد نظر را از میان حالت های ممکن پیدا می کنیم. احتمال رخ دادن اتفاق مورد نظر برابر است با نسبت تعداد حالت های مورد نظر به تعداد حالت های ممکن؛ بنابراین احتمال رخ دادن یک اتفاق از دستور زیر به دست خواهد آمد:

به عبارت دیگر برای اینکه احتمال رخ دادن یک پیشامد را بیابیم، تعداد حالت های منجر به آن اتفاق را بر تعداد کل حالت ها تقسیم می کنیم. احتمال روی دادن هر پیشامد را با یک کسر که بین صفر و یک می باشد، نشان می دهیم.

محاسبه n بار از انتظار یک پیشامد

از دستور زیر کمک می گیریم:

تعداد کل انجام کار × احتمال روی دادن اتفاق

مجموع احتمال روی دادن و احتمال روی ندادن یک اتفاق همیشه برابر با عدد ۱ است.

برای این کار از دو روش زیر کمک می گیریم:

1- جدول نظام دار:

جدول نظام دار برای حالتی مناسب که دو رویداد را مورد بررسی قرار دهیم. در این روش حالت های یک رویداد را افقی و حالت های رویداد بعدی را عمودی نوشته و مانند جدول ضرب، سایر خانه ها را پر می کنیم.

۲- نمودار درختی:

در روش نمودار درختی، برای هر حالت یک شاخه در نظر گرفته و در انتهای هر شاخه حالت های پیشامد بعدی را می نویسیم. روش نمودار درختی می تواند بهترین روش برای محاسبه همه حالت های رخداد یک پیشامد باشد.