نمونه سوالات تستی فصل 4 ریاضی نهم همراه با جواب تشریحی

\(\frac{{{{( - 2)}^{ - 18}}}}{2} = \frac{{{2^{ - 18}}}}{2} = {2^{ - 19}}\)

روش اول: اگر تعداد رقم های یک عدد روج باشد، تعداد رقم های ریشه دوم آن نصف می شود.

روش دوم: فرض کنید عدد 16 رقمی، x باشد؛ در این صورت داریم:

\(\begin{array}{l}1 \times {10^{15}} \le x < 1 \times {10^{16}} \Rightarrow 10 \times {10^{14}} \le x < 1 \times {10^{16}}\\\\ \Rightarrow 3/16 \times {10^7} \le \sqrt x < 1 \times {10^8} \Rightarrow 3 \times {10^7} < x < 1 \times {10^8}\end{array}\)

در این صورت چون طبق داده مسأله می دانیم عدد x جذر کامل دارد؛ یعنی \(\sqrt x \)  دارای عدد اعشاری نمی باشد؛ بنابراین \(\sqrt x \)  حتما 8 رقمی می باشد.

\(\begin{array}{l}{9^{5n - 10}} = 1 = {9^0} \Rightarrow 5n - 10 = 0 \Rightarrow 5n = 10\\\\ \Rightarrow n = \frac{{10}}{5} \Rightarrow n = 2\\\\2(2{n^{ - 2}} - 3{n^{ - 1}}) = 2(2{(2)^{ - 2}} - 3{(2)^{ - 1}}) = \\\\2(2 \times \frac{1}{4} - 3 \times \frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2} - \frac{3}{2}) = - 2\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{( - 1)^1} \times 1 + {( - 1)^2} \times 2 + {( - 1)^3} \times 3 + \cdots {( - 1)^{200}} \times 200 = \\\\ - 1 + 2 - 3 + 4 + \cdots - 199 + 200 = \\\\ \Rightarrow ( - 1 + 2) + ( - 3 + 4) + \cdots + ( - 199 + 200) = \\\\ \Rightarrow 1 + 1 + \cdots + 1 = 1 \times 100 = 100\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{1^2} - {2^2} + {3^2} - {4^2} + \cdots + {9^2} - {10^2} = \\\\ \Rightarrow ({1^2} + {2^2}) + ({3^2} - {4^2}) + \cdots + ({9^2} - {10^2}) = \\\\ \Rightarrow ((1 - 2)(1 + 2)) + ((3 - 4)(3 + 4)) + \cdots \\\\ \Rightarrow \cdots + ((9 - 10) + (9 + 10)) = \\\\ \Rightarrow ( - 1)(3) + ( - 1)(7) + \cdots + ( - 1)(19) = \\\\ \Rightarrow - 3 - 7 - 11 - 15 - 19 = - (3 + 7 + 11 + 15 + 19) = \\\\ \Rightarrow - 55\end{array}\)

\(873/24 \times {10^{ - 5}} = 8/7324 \times {10^{ - 3}}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{0/003 \times 0/0144}}{{12 \times {{10}^{ - 5}}}} = \frac{{3 \times {{10}^{ - 3}} \times 1/44 \times {{10}^{ - 2}}}}{{1/2 \times {{10}^{ - 4}}}} = \\\\3 \times 1/2 \times {10^{ - 1}} = 3/6 \times {10^{ - 1}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}0/013 \times 0/0003 = 1/3 \times {10^{ - 2}} \times 3 \times {10^{ - 4}} = 3/9 \times {10^{ - 6}}\\\\ \Rightarrow 3/9 \times {10^{ - 6}} < 4 \times {10^n} \Rightarrow n = - 6, - 5, - 4, \cdots \end{array}\)

کوچک ترین عدد صحیح که می تواند به جای n قرار بگیرد، عدد 6- می باشد.

\({810^{ - 9}} - 1/8 \times {10^{ - 6}} = 0/81 \times {10^{ - 6}} - 1/8 \times {10^{ - 6}} = - 1 \times {10^{ - 6}}\)

\(\begin{array}{l}0/00000103 = 1/03 \times {10^{ - 6}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1/03\\\\n = - 6\end{array} \right. \Rightarrow a - n = \\\\ \Rightarrow 1/03 + 6 = 7/03\end{array}\)

\(\sqrt {{{64}^3} \times {{216}^2} \times {5^6}} = \sqrt {{8^6} \times {6^6} \times {5^6}} = \sqrt {{{240}^6}} = {240^3}\)

اگر \(x \in (0,1)\)  باشد، جذر آن از خودش بزرگ تر و توان 2 آن از خودش کوچک تر است؛ به عبارتی:

\(x \in (0,1) \Rightarrow {x^2} < x < \sqrt x \)

\(\sqrt {{2^{{4^{{{( - 2)}^{( - 2)}}}}}}} = \sqrt {{2^{{4^{(\frac{1}{4})}}}}} = \sqrt 2 \)

\(\begin{array}{l}\sqrt {10 + 2\sqrt {21} } = \sqrt {7 + 3 + 2\sqrt {7 \times 3} } = \\\\\sqrt {{{(\sqrt 7 + \sqrt 3 )}^2}} = \sqrt 7 + \sqrt 3 \end{array}\)

\(\begin{array}{l}\sqrt {\frac{5}{{\sqrt {30 - 5} }}} = \sqrt {\frac{5}{{\sqrt {30} - 5}} \times \frac{{\sqrt {30 + 5} }}{{\sqrt {30} + 5}}} = \\\\\sqrt {\frac{{5(\sqrt {30} + 5)}}{{30 - 25}}} = \sqrt {\frac{{5(\sqrt {30} + 5)}}{5}} = \sqrt {\sqrt {30} + 5} \end{array}\)

\(\sqrt[3]{{\frac{{625}}{5}}} - \sqrt[3]{{216}} = \sqrt[3]{{125}} - \sqrt[3]{{216}} = 5 - 6 = - 1\)

\(\frac{6}{{\sqrt[3]{{36}}}} \times \frac{{\sqrt[3]{6}}}{{\sqrt[3]{6}}} = \frac{{6\sqrt[3]{6}}}{{\sqrt[3]{{36 \times 6}}}} = \frac{{6\sqrt[3]{6}}}{{\sqrt[3]{{216}}}} = \frac{{6\sqrt[3]{6}}}{6} = \frac{{\sqrt[3]{6}}}{1}\)

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x - \sqrt y }} = \\\\ \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x }} \times \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x - \sqrt y }} \times \frac{{\sqrt x + \sqrt y }}{{\sqrt x + \sqrt y }} = \\\\ \Rightarrow \frac{{\sqrt x }}{x} - \frac{{\sqrt x + \sqrt y }}{{x + y}} = \frac{{\sqrt x (x + y) - (\sqrt x + \sqrt y )x}}{{x(x + y)}} = \\\\ \Rightarrow \frac{{x\sqrt x + y\sqrt x - x\sqrt x }}{{x(x + y)}} = \frac{{y\sqrt x }}{{x(x + y)}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }} - \sqrt {48} = \frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }} \times \frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }} - \sqrt {48} = \\\\ \Rightarrow \frac{{{{(\sqrt 3 + \sqrt 2 )}^2}}}{{3 - 2}} - \sqrt {48} = \frac{{3 + 2 + 12\sqrt 2 - \sqrt {48} }}{1} = \\\\ \Rightarrow 5 + 12\sqrt 2 - 4\sqrt 3 \end{array}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{8\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 + \sqrt {12} + \sqrt {75} }} = \frac{{8\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 + 2\sqrt 3 + 5\sqrt 3 }} = \\\\ \Rightarrow \frac{{8\sqrt 3 }}{{8\sqrt 3 }} = 1\end{array}\)