جواب فعالیت صفحه 88 درس 4 ریاضی یازدهم تجربی (مثلثات)

1 جدول روبه رو را کامل کنید.

مجموعهٔ زوج های مرتب حاصل در جدول مقابل یک تابع به صورت زیر مشخص می کند.

\(f = \left\{ {\left( {0,0} \right)\;,\;\left( {\frac{\pi }{6}\;,\;...} \right)\;,\;\left( {...\;,\;...} \right)\;,\;\left( {...\;,\;...} \right)\;,\;\left( {...\;,\;...} \right)} \right\}\)

2 نقاط حاصل در جدول را در شکل زیر مشخص کنید. 

3 با افزودن نقاط \(\left( {\frac{{3\pi }}{2}\;,\;....} \right)\;,\;\left( {\frac{{2\pi }}{3}\;,\;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\;,\;\left( {\frac{\pi }{3}\;,\;....} \right)\;,\;\left( {\frac{\pi }{4}\;,\;\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\)  به جدول بالا، شکل زیر به دست می آید. (با فرض \(\sqrt 2 = 1/4\)  و \(\sqrt 3 = 1/7\) ) 

4 نقاط حاصل در شکل را به ترتیب به یکدیگر وصل می کنیم تا شکل مقابل به دست بیاید. با افزودن تعداد نقاط جدول فوق در بازه \([0,π]\) این شکل به طور دقیق تری به دست می آید. شکل حاصل نمودار تابع سینوس با ضابطهٔ y=sinx را در این بازه مشخص می کند. 

5 مراحل صفحهٔ قبل را برای رسم نمودار تابع سینوس در بازهٔ \([π,2π]\) انجام دهید. برای این کار ابتدا جدول زیر را کامل کنید؛ سپس نقاط به دست آمده در جدول را در صفحه مختصات مطابق شکل زیر مشخص و آنها را به ترتیب به یکدیگر وصل کنید. 

6 با توجه به شکل های فوق، نمودار تابع با ضابطه y=sinx در بازه \([0,2π]\) در شکل زیر رسم شده است. حال با توجه به این شکل جدول زیر را دربارهٔ مقدار این تابع در هر بازه تکمیل کنید. 

7 با توجه به رابطهٔ \(k \in Z\;,\;sin(x + 2k\pi ) = sinx\)  که در درس قبل آشنا شدید می توان گفت: 

\(sin(x+2π) = sinx\)

یعنی مقدار تابع سینوس با اضافه کردن \(2π \) رادیان به کمان آن تغییری نمی کند. بنابراین نمودار تابع سینوس در بازه های \([0,2π]\) و \([2π,4π]\) یکسان است.

همچنین داریم:

\(sin(x-2π) = sinx\)

الف یعنی مقدار تابع سینوس با کم کردن \(2π \) رادیان از کمان آن تغییری نمی کند. در نتیجه نمودار تابع سینوس در بازه های \([π,2π]\) و .......... یکسان است.در حالت کلی چون مقدار تابع سینوس با اضافه یا کم کردن مضارب زوج π رادیان به کمان آن تغییر نمی کند، نمودار تابع سینوس در بازه های \(k \in Z\;,\;\left[ {2k\pi \;,\;\left( {2k + 2} \right)\pi } \right]\)  کسان است. به این ترتیب منحنی این تابع که در بازه \([0,2π]\) رسم شده در بازه های \(\left[ { - 4\pi \;,\;....} \right]\;,\;\left[ { - 2\pi \;,\;....} \right]\;,\;\left[ {4\pi \;,\;....} \right]\;,\;\left[ {2\pi \;,\,4\pi } \right]\)  تکرار می شود.

ب در شکل زیر نمودار تابع سینوس در 2 تکرار رسم شده است. این نمودار را برای 4 تکرار کامل کنید.

8 با توجه به شکل بالا جاهای خالی را دربارهٔ ویژگی های تابع سینوس با ضابطهٔ y=sinx کامل کنید.

الف دامنهٔ تابع سینوس ..... و برد آن ..... است.

ب مقدار تابع سینوس در طول های \(k \in Z\;,\;x = k\pi \) ، برابر با ..... است.

پ حداکثر مقدار تابع سینوس برابر با ..... است که در نقاطی به طول های \(x = ....\;,\;x = ....\;,\;x = ....\;,\;x = \frac{\pi }{2}\)  و در حالت کلی \(k \in Z\;,\;x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi \)  به دست می آید.

ت حداقل مقدار تابع سینوس برابر با ..... است که در نقاطی به طول های \(x = ....\;,\;x = ....\;,\;x = ....\;,\;x = \frac{{3\pi }}{2}\)  و در حالت کلی \(k \in Z\;,\;x = \frac{{3\pi }}{2} + 2k\pi \)  به دست می آید.