گام به گام تمرین صفحه 40 درس 2 ریاضی (1) (مثلثات)

1)

2)

الف)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y < 0\end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{3}{7} \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 1\\ \Rightarrow {\left( {\frac{3}{7}} \right)^2} + {y^2} = 1 \Rightarrow {y^2} = 1 - \frac{9}{{49}} = \frac{{40}}{{49}}\\ \Rightarrow y =  - \,\frac{{\sqrt {40} }}{7}\\\\\sin \,\alpha  =  - \,\,\frac{{\sqrt {40} }}{7}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\tan \,\alpha  =  - \,\,\frac{{\sqrt {40} }}{3}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\cot \alpha  =  - \,\,\frac{3}{{\sqrt {40} }}\end{array}\)

ب)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\y < 0\end{array} \right. \Rightarrow y =  - \,\,\frac{1}{2} \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 1\\ \Rightarrow {x^2} + {\left( { - \,\,\frac{1}{2}} \right)^2} = 1 \Rightarrow {x^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\\ \Rightarrow x =  - \,\frac{{\sqrt 3 }}{2}\\\\\cos \,\beta  =  - \,\,\frac{{\sqrt 3 }}{2}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\tan \,\beta  = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\cot \beta  = \frac{{\sqrt 3 }}{1} = \sqrt 3 \end{array}\)

3)

ممکن است در ربع اول و یا چهارم باشد؛ زیرا در این نواحی sin  و tan  هم علامت هستند.

4)

الف) \(\sin \theta  > 0\;\;,\;\;\cos \theta  > 0\)

\({0^ \circ } < \theta  < {90^ \circ }\)

ب) \(\sin \theta  < 0\;\;,\;\;\cos \theta  > 0\)

\({270^ \circ } < \theta  < {360^ \circ }\)

5)

در ربع دوم و یا چهارم؛ زیرا :

\(\sin \,\alpha  \times \cos \alpha  < 0\)

\(\left. \begin{array}{l}\sin \,\alpha  > 0\\\cos \alpha  < 0\end{array} \right\} \Rightarrow\)  ربع دوم

\(\left. \begin{array}{l}\sin \,\alpha  < 0\\\cos \alpha  > 0\end{array} \right\} \Rightarrow\)  ربع چهارم

6)

\(\begin{array}{l}\alpha  = {60^ \circ } \Rightarrow \tan \;\alpha  > \cot \;\alpha \\\beta  = {30^ \circ } \Rightarrow \tan \;\beta  < \cot \;\beta \end{array}\)

نتیجه می گیریم که اگر زاویه بین 0 تا 45 درجه باشد، cot  از tan بیشتر است و اگر زاویه بین 45 تا 90 درجه باشد، tan  از cot بیشتر است.

7)

\(\begin{array}{l}\alpha  = {60^ \circ } \Rightarrow \sin \;\alpha  > \cos \;\alpha \\\beta  = {30^ \circ } \Rightarrow \sin \;\beta  < \cos \;\beta \end{array}\)

نتیجه می گیریم که اگر زاویه بین 0 تا 45 درجه باشد، cos  از sin بیشتر است و اگر زاویه بین 45 تا 90 درجه باشد، sin  از cos بیشتر است.

8)

\(\begin{array}{l}y - {y_ \circ } = m\left( {x - {x_ \circ }} \right)\\\\\left. \begin{array}{l}{x_ \circ } = 0\\{y_ \circ } = 2\\m = \tan \,{45^ \circ } = 1\end{array} \right\} \Rightarrow y - 2 = 1\left( {x - 0} \right) \Rightarrow y = x + 2\end{array}\)

9)

\(\begin{array}{l}y - {y_ \circ } = m\left( {x - {x_ \circ }} \right)\\\\\left. \begin{array}{l}{x_ \circ } = 0\\{y_ \circ } = - 3\\m = \tan \,\;{60^ \circ } = \sqrt 3 \end{array} \right\} \Rightarrow y + 3 = \sqrt 3 \left( {x - \,\,0} \right) \Rightarrow y = \sqrt 3 x - 3\end{array}\)