درسنامه کامل ریاضی هفتم فصل 7 توان و جذر
تعداد بازدید : 3.73Mخلاصه نکات ریاضی هفتم فصل 7 توان و جذر - درسنامه شب امتحان ریاضی هفتم فصل 7 توان و جذر - جزوه شب امتحان ریاضی هفتم نوبت اول فصل 7 توان و جذر
تعریف توان
تعریف توان
عبارتی مانند ۲ × ۲ × ۲ × ۲ × ۲ را در ریاضیات برای ساده تر شدن به صورت 25 می نویسیم و آن را چنین می خوانیم:
۲ به توان 5
در عبارت ۲5، ۲ را پایه و ۵ را توان می نامیم، درست شبیه همان کاری که در ساده کردن و خلاصه کردن جمع انجام می دادیم:
۲+۲+۲+۲+۲ = ۲×۵
نکاتی درباره توان
1) از توان به منظور مختصر نویسی ضرب های تکراری یک عدد استفاده می کنند.
2) به توان، «نما» و «قوّه» هم گفته می شود.
3) هر عدد به توان یک برابر خودش می شود:
\({a^1} = a\)
4) عدد یک به توان هر عددی برابر یک می شود:
\({1^{53}} = 1\)
5) هر عدد به توان صفر، ۱ می شود:
\({12^ \circ } = 1\)
6) عدد صفر به توان هر عدد مثبتی برابر صفر می شود:
\({ \circ ^{15}} = \circ \)
7) صفر به توان صفر تعریف نشده است:
\({ \circ ^ \circ } = \) تعریف نشده
مثال
حاصل عبارات زیر را بدست آورید.
\(\begin{array}{l}1)\,{10^ \circ }\;\;\;\;\;\;\;2){1^7}\;\;\;\;\;\;\;3){ \circ ^4}\;\;\;\;\;\;\;4){5^1}\\\\5){( - 6)^2}\,\,\,\,\,6) - {3^3}\,\,\,\,7){( - 2)^ \circ }\,\,\,\,\,\,8)( - 3) \times ( - 3) \times ( - 3)\\\\9){11^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,10){6^1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,11){ \circ ^1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,12){( - 2)^ \circ } \times {2^5}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}1)\,{10^ \circ } = 1\;\;\;\;\;\;\;\\\\2){1^7} = 7\;\\\\3){ \circ ^4} = \; \circ \\\\4){5^1} = 5\\\\5){( - 6)^2} = \,( - 6) \times ( - 6) = 36\\\\6) - {3^3} = - (3 \times 3 \times 3) = - 27\\\\7){( - 2)^ \circ } = 1\\\,\,\\8)( - 3) \times ( - 3) \times ( - 3) = {( - 3)^2} = - 27\\\\9){11^2} = 11 \times 11 = 121\,\,\,\,\,\\\\10){6^1} = 6\\\\11){ \circ ^1} = \circ \\\\12){( - 2)^ \circ } \times {2^5} = 1 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32\end{array}\)
مای درس ، برترین اپلیکیشن کمک درسی ایران
پوشش تمام محتواهای درسی پایه هفتم- آزمون آنلاین تمامی دروس پایه هفتم
- گام به گام تمامی دروس پایه هفتم
- ویدئو های آموزشی تمامی دروس پایه هفتم
- گنجینه ای از جزوات و نمونه سوالات تمامی دروس پایه هفتم
- فلش کارت های آماده دروس پایه هفتم
- گنجینه ای جامع از انشاء های آماده پایه هفتم
- آموزش جامع آرایه های ادبی، دستور زبان، قواعد زبان انگلیسی و ... ویژه پایه هفتم
کاملا رایگان
+500 هزار کاربر
همین حالا نصب کن
پرانتز در اعداد توان دار
نقش پرانتز در اعداد توان دار
1) اگر عددی منفی داخل پرانتز به توان زوج رسید، حاصل عددی مثبت می شود:
\({( - 3)^2} = ( - 3) \times ( - 3) = + 9\)
2) اگر توان عددی منفی داخل پرانتز بود، پرانتز در توان رساندن عدد نقشی ندارد:
\(( - {3^2}) = - (3 \times 3) = - 9\)
3) اگر عددی منفی بدون پرانتز به توان برسد، حاصل عددی منفی می شود:
\( - {4^2} = - (4 \times 4) = - 16\)
4) اگر یک کسر داخل پرانتز به توان برسد، توان شامل صورت و مخرج (هر دو) می شود:
\({(\frac{2}{3})^3} = \frac{{2 \times 2 \times 2}}{{3 \times 3 \times 3}} = \frac{8}{{27}}\)
5) اگر کسری داخل پرانتز به توان گرفت یا توان در صورت یا مخرج کسر باشد، پرانتز هیچ نقشی در توان ندارد:
\(\begin{array}{l}(\frac{{{2^3}}}{5}) = \frac{{2 \times 2 \times 2}}{5} = \frac{8}{5}\\\\\frac{7}{{{3^3}}} = \frac{7}{{3 \times 3 \times 3}} = \frac{7}{{27}}\end{array}\)
6) اگر یک عبارت جبری داخل پرانتز به توان برسد، توان شامل تک تک جمله های عبارت می شود:
\({(2ab)^3} = {2^3}{a^3}{b^3} = 8{a^3}{b^3}\)
7) اگر جمله ای از یک عبارت جبری توان نداشت، توانش ۱ می باشد:
\(5{a^2}b{x^8} = 5{a^2}{b^1}{x^8}\)
مثال
حاصل عبارات زیر را بدست آورید.
\(\begin{array}{l}1)\,{( - 1)^4}\;\;\;\;\;\;\;2){( - 1)^3}\;\;\;\;\;\;\;3)( - {3^4})\;\;\;\;\;\;\;4) - {5^2}\\\\5)\frac{4}{{{3^2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,6)\frac{{{{( - 4)}^2}}}{{{4^2}}}\,\,\,\,\,\,\,7){( - \frac{2}{5})^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,8){(\frac{a}{b})^3}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}1)\,{( - 1)^4} = 1\\\\2){( - 1)^3} = - 1\\\\3)( - {3^4}) = - (3 \times 3 \times 3 \times 3) = - 81\\\\4) - {5^2} = - (5 \times 5) = - 25\\\\5)\frac{4}{{{3^2}}} = \frac{4}{{3 \times 3}} = \frac{4}{9}\\\\6)\frac{{{{( - 4)}^2}}}{{{4^2}}} = \frac{{( - 4) \times ( - 4)}}{{4 \times 4}} = \frac{{16}}{{16}} = 1\\\\7){( - \frac{2}{5})^2} = ( - \frac{2}{5}) \times ( - \frac{2}{5}) = \frac{4}{{25}}\\\\8){(\frac{a}{b})^3} = \frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \times \frac{a}{b} = \frac{{a \times a \times a}}{{b \times b \times b}} = \frac{{{a^3}}}{{{b^3}}}\end{array}\)
جزوات جامع پایه هفتم
جزوه جامع ریاضی هفتم فصل 1 راهبردهای حل مسئله
جزوه جامع ریاضی هفتم فصل 2 عددهای صحیح
جزوه جامع ریاضی هفتم فصل 3 جبر و معادله
جزوه جامع ریاضی هفتم فصل 4 هندسه و استدلال
جزوه جامع ریاضی هفتم فصل 5 شمارنده ها و اعداد اول
جزوه جامع ریاضی هفتم فصل 6 سطح و حجم
جزوه جامع ریاضی هفتم فصل 7 توان و جذر
جزوه جامع ریاضی هفتم فصل 8 بردار و مختصات
جزوه جامع ریاضی هفتم فصل 9 آمار و احتمال
محاسبه عبارت توان دار
محاسبه عبارت توان دار
با توجه به درس توان، ترتیب انجام دادن عملیات مختلف ریاضی به صورت زیر انجام می شود:
۱) پرانتز
2) توان
3) ضرب و تقسیم
۴) جمع و تفریق
\(\frac{{{4^3} \times 4 + 9 - 6}}{{{5^2} + {2^3}}} = \frac{{64 \times 4 + 3}}{{25 + 8}} = \frac{{259}}{{33}}\)
گسترده توانی یک عدد
در نوشتن گسترده توانی هر عدد، ارزش مکانی رقم ها را به صورت توانی از ۱۰ می نویسیم:
\(\begin{array}{l}5062 = 5000 + 60 + 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{ }}\,\, = 5 \times {10^3} + \circ \times {10^2} + 6 \times {10^1} + 2 \times {10^ \circ }\end{array}\)
مثال
حاصل عبارت زیر را به دست آورید.
\(\frac{{{5^3} - {3^3}}}{{{5^3} + {3^3}}} = \)
\(\frac{{{5^3} - {3^3}}}{{{5^3} + {3^3}}} = \frac{{125 - 27}}{{125 + 27}} = \frac{{98}}{{152}} = \frac{{49}}{{76}}\)
مثال
گستره توانی عدد های 58906 و 40200 رابنویسید.
\(\begin{array}{l}58906 = 50000 + 8000 + 900 + 6\\\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 5 \times {10^4} + 8 \times {10^3} + 9 \times {10^2} + \circ \times {10^1} + 6 \times {10^ \circ }\\\\40200 = 40000 + 200\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4 \times {10^4} + \circ \times {10^3} + 2 \times {10^2} + \circ \times {10^1} + \circ \times {10^ \circ }\\\end{array}\)
ساده کردن عبارت توان دار
ساده کردن عبارت های توان دار
۱) در ضرب عددهای توان دار با پایه های مساوی یکی از پایه ها را نوشته و توان ها را جمع می کنیم:
\({\left( { - 3} \right)^2} \times {\left( { - 3} \right)^4} = {\left( { - 3} \right)^{2 + 4}} = {\left( { - 3} \right)^6}\)
2) در ضرب عددهای توان دار با توان های مساوی، پایه ها را در هم ضرب و یکی از توان ها را می نویسیم:
\({5^4} \times {\left( { - 3} \right)^4} = {\left( {5 \times ( - 3)} \right)^4} = {\left( { - 15} \right)^4}\)
3) اگر ظاهر پایه ها مثل هم نبود، مثلاً یکی عدد و دیگری کسر بود، سعی می کنیم آنها به یک شکل تبدیل کنیم:
\(\begin{array}{l}{(\frac{1}{2})^3} \times {(0/5)^6} = ?\\0/5 = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}\\{(\frac{1}{2})^3} \times {(0/5)^6} = {(\frac{1}{2})^3} \times {(\frac{1}{2})^6} = {(\frac{1}{2})^{3 + 6}} = {(\frac{1}{2})^9}\end{array}\)
4) یک عدد توان دار را در صورت نیاز می توان به صورت ضرب دو یا چند عدد توان دار تبدیل کرد:
\(\begin{array}{l}{3^7} = {3^2} \times 3 \times {3^4}\\{15^4} = {3^4} \times {5^4}\end{array}\)
این خواص کمک به حل بسیاری از سوالات اعداد توان دار می نماید.
مثال
اگر \({2^{10}} = 1024\) باشد، حاصل 212 را به دست آورید.
\({2^{12}} = {2^{10}} \times {2^2} = 1024 \times 4 = 4096\)
مثال
باز شده عدد توان دار زیر را بنویسید.
\({12^7} = ?\)
\(\begin{array}{l}{12^7} = ?\\{12^7} = {(2 \times 6)^7} = {2^7} \times {6^7}\end{array}\)
عبارت توان دار زیر را ساده کنید.
\({5^2} \times {5^7} \times {7^9} = ?\)
\(\begin{array}{l}{5^2} \times {5^7} \times {7^9} = ?\\\underline {{5^2} \times {5^7}} \times {7^9} = {5^{2 + 7}} \times {7^9} = {5^9} \times {7^9} = {(5 \times 7)^9}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {35^9}\end{array}\)
پیش بینی ارقام یک عدد توان دار
مثال
اگر \({4^5} = 1024\) باشد، عدد\({4^{10}}\)چند رقمی است ؟
\({4^{10}} = {4^5} \times {4^5}\)
اگر\({4^5}\)را ۱۰۰۰ فرض کنیم، پس داریم:
\(1000 \times 1000 = 1,000,000\)
در نتیجه\({4^{10}}\)هفت رقمی خواهد بود.
1 استثنای تفریق اعداد توان دار:
\(\begin{array}{l}{10^2} - {6^2} = {4^3}\\{21^2} - {15^2} = {6^3}\end{array}\)
2 استثنای جمع اعداد توان دار:
\({3^9} + {3^9} + {3^9} = {3^9} \times 3 = {3^{10}}\)
محاسبه عبارت توان دار به کمک مقدار داده شده
مثال
اگر \({2^a} = 7\) باشد، مقدار \({2^{a + 1}}\) را بدست آورید.
\({2^{a + 1}} = {2^a} \times {2^1} = 7 \times 2 = 14\)
مثال
حاصل عبارات توان دار زیر را حل کنید.
\(\begin{array}{l}1)\, - {(1 - 2(1 - 2(1 - 2(1 - {2^{ - 1}}))))^{ - 1}}\\\\2)\,\frac{{{4^{a + 2}} - {4^{a + 1}} - {4^a}}}{{{2^a} + {2^a} + {2^a} + {2^a}}}\\\\3)\,\frac{{{2^{101}} + {2^{100}} + {2^{99}} \cdots + {2^{60}}}}{{{2^{51}} + {2^{100}} + {2^{99}} \cdots + {2^{10}}}}\\\\4)\,\frac{{{3^{2a + 2}} \div {3^{2a - 2}}}}{{{9^{2b + 2}} \times {9^{ - 2b}}}}\end{array}\)
1 فقط به اولویت عملیاتی دقت کنید:
\(\begin{array}{l} - {(1 - 2(1 - 2(1 - 2(1 - {2^{ - 1}}))))^{ - 1}}\mathop = \limits^{{2^{ - 1}} = \frac{1}{2}} \\\\ - {(1 - 2(1 - 2(1 - 2(1 - \frac{1}{2}))))^{ - 1}} = \\\\ - {(1 - 2(1 - 2(1 - 2(\frac{1}{2}))))^{ - 1}} = \\\\ - {(1 - 2(1 - 2(1 - 0)))^{ - 1}} = \\\\ - {(1 - 2(1 - 2))^{ - 1}} = \\\\ - {(1 - 2( - 1))^{ - 1}} = - {(1 + 2)^{ - 1}} = - {(3)^{ - 1}} = - \frac{1}{3}\end{array}\)
2
\(\begin{array}{l}\frac{{{4^{a + 2}} - {4^{a + 1}} - {4^a}}}{{{2^a} + {2^a} + {2^a} + {2^a}}} = \frac{{{4^a}({4^2} - 4 - 1)}}{{{2^a} \times 4}} = \\\\\frac{{{4^a}}}{{{2^a}}} \times \frac{{11}}{4} = {(\frac{4}{2})^a} \times \frac{{11}}{4} = {2^a} \times \frac{{11}}{4}\end{array}\)
3
\(\begin{array}{l}\,\frac{{{2^{101}} + {2^{100}} + {2^{99}} \cdots + {2^{60}}}}{{{2^{61}} + {2^{60}} + {2^{59}} \cdots + {2^{10}}}} = \\\\\frac{{{2^{60}}({2^{51}} + {2^{50}} + {2^{49}} \cdots + 2 + 1)}}{{{2^{10}}({2^{51}} + {2^{50}} + {2^{49}} \cdots + 2 + 1)}} = \frac{{{2^{60}}}}{{{2^{10}}}} = {2^{60 - 10}} = {2^{50}}\\\end{array}\)
4
\(\,\frac{{{3^{2a + 2}} \div {3^{2a - 2}}}}{{{9^{2b + 2}} \times {9^{ - 2b}}}} = \frac{{{3^{(2a + 2) - (2a - 2)}}}}{{{9^{(2b + 2 + ( - 2b))}}}} = \frac{{{3^4}}}{{{9^2}}} = \frac{{81}}{{81}} = 1\)
مای درس ، برترین اپلیکیشن کمک درسی ایران
پوشش تمام محتواهای درسی پایه هفتم- آزمون آنلاین تمامی دروس پایه هفتم
- گام به گام تمامی دروس پایه هفتم
- ویدئو های آموزشی تمامی دروس پایه هفتم
- گنجینه ای از جزوات و نمونه سوالات تمامی دروس پایه هفتم
- فلش کارت های آماده دروس پایه هفتم
- گنجینه ای جامع از انشاء های آماده پایه هفتم
- آموزش جامع آرایه های ادبی، دستور زبان، قواعد زبان انگلیسی و ... ویژه پایه هفتم
کاملا رایگان
+500 هزار کاربر
همین حالا نصب کن
جذر(ریشه دوم)
جذر(ریشه دوم)
هر گاه عددی در خودش ضرب شود، این حاصل را مجذور و به عددی که در خوش ضرب شده جذر می گوییم. هر عدد مثبت دارای دو ریشه، یکی مثبت و دیگری منفی می باش . مانند عدد ۲۵ که دو ریشه ۵+ و ۵- را دارد.
1 به ریشه دوم مثبت هر عدد جذر آن عدد گفته می شود.
2 علامت جذر \(\sqrt {} \) است .
3 جذر هر عدد برابر است با دو عدد که قرینه یکدیگرند.
4 به جذر یک عدد ریشه دوم آن نیز گفته می شود.
5 اعداد منفی جذر ندارند. زیرا حاصل ضرب هیچ عددی در خوش، منفی نمی شود. عدد صفر تنها یک ریشه دارد که آن خود عدد صفر است.
انواع جذر
1- جذر کامل:
اعداد طبیعی که جذر کامل دارند، یعنی جذر آنها یک عدد طبیعی می شود را مجذور کامل گویند؛ مانند 1، 4، 9، 16، 25 و … . برای رسیدن به جذر کامل از خود سوال کنید چه عددی در خوش ضرب شده که عدد زیر رادیکال را تشکیل داده است؟ مانند:
\(\sqrt {49} = 7\)
2- جذر تقریبی:
جذرهایی که یک عدد اعشاری شوند. برای رسیدن به جذر تقریبی یک عدد، ابتدا باید معلوم کنید که عدد زیر رادیکال شما بین کدام دو عدد صحیح قرار گرفته است؛ مانند \(\sqrt {18} \) که بین دو رایکال \(\sqrt {16} \) و \(\sqrt {25} \) قرار گرفته یعنی \(\sqrt {16} < \sqrt {18} < \sqrt {25} \) بین دو عدد ۴ و 5 قرار گرفته است. این فاصله را نصف کرده به توان ۲ برسانید.
می توانید اگر به عدد کوچکتر نزدیک بود، 1/0 - 1/0 به عدد کوچکتر اضافه کنید تا به حدود جذر مورد نظر برسید و اگر به عدد بزرگتر نزدیک بود، 1/0 - 1/0 از عدد بزرگتر کم کنید تا به حدود جذر مورد نظر برسید.
پس داریم:
\(\sqrt {18} \simeq 4/2\)
مثال
حاصل عبارت هایی که جذر کامل دارند را بنویسید.
\(\begin{array}{l}1)\,\sqrt {49} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2)\,\sqrt {0/25} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3)\,\sqrt {8/1} \\\\4)\,\sqrt {8 \times 2} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,5)\,\sqrt 3 \times \sqrt {27} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,6)\,\sqrt 1 \\\\7)\sqrt {125} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,8)\sqrt {169} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,9)\,\sqrt {\frac{{10}}{{0/1}}} \end{array}\)
\(\begin{array}{l}1)\,\sqrt {49} = 7\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2)\,\sqrt {0/25} = 0/5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\\3)\,\sqrt {8/1} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,4)\,\sqrt {8 \times 2} \, = \sqrt {16} = 4\\\\5)\,\sqrt 3 \times \sqrt {27} = \sqrt {3 \times 27} = \sqrt {81} = 9\\\\6)\,\sqrt {1\,} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,7)\sqrt {125} \,\\\\8)\sqrt {169} = 13\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,9)\,\sqrt {\frac{{10}}{{0/1}}} = \sqrt {10 \times 10} = 10\end{array}\)
مثال
حاصل عبارت زیر را حساب کنید.
\(\sqrt {\sqrt {\sqrt {\sqrt {{{81}^2}} } } } \)
\(\sqrt {\sqrt {\sqrt {\sqrt {{{81}^2}} } } } = \sqrt {\sqrt {\sqrt {81} } } = \sqrt {\sqrt 9 } = \sqrt 3 \)
مثال
حاصل عبارات زیر را بدست آورید.
\(\begin{array}{l}1)\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {\sqrt {2\sqrt 4 } } } } } } } } \\\\2)\sqrt {\frac{{25}}{{16}}} + \sqrt {\frac{9}{{25}}} - \sqrt {\frac{{16}}{9}} \end{array}\)
\(\begin{array}{l}1)\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2\sqrt 4 } } } } } } } } = \\\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2 \times 2} } } } } } } } = \\\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2\sqrt 4 } } } } } } = \sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2 \times 2} } } } } } = \\\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2 \times 2} } } } } = \sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2 \times 2} } } } = \\\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2 \times 2} } } = \sqrt {2\sqrt {2 \times 2} } = \sqrt {2 \times 2} = 2\\\\2)\sqrt {\frac{{25}}{{16}}} + \sqrt {\frac{9}{{25}}} - \sqrt {\frac{{16}}{9}} = \frac{{\sqrt {25} }}{{\sqrt {16} }} + \frac{{\sqrt 9 }}{{\sqrt {25} }} - \frac{{\sqrt {16} }}{{\sqrt 9 }} = \\\frac{5}{4} + \frac{3}{5} - \frac{4}{3} = \frac{{75 + 36 - 80}}{{60}} = \frac{{31}}{{60}}\end{array}\)