بازه های اعداد حقیقی

برای ورود به مطلب و آشنایی با بازه ها دو نامعادله زیر را در نظر بگیرید:

1)

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} - 1 \le \frac{{2x + 1}}{3}\langle 3\)

2)

\(3x + 1\langle 7\)

با حل این دو نامعادله مجموعه جواب معادله شماره ١ عبارتست از \(\{ x \in \mathbb{R}| - 2 \le x\langle 4\} \) و مجموعه جواب معادله شماره ٢ عبارت است از \(\{ x \in \mathbb{R}|x\langle 2\} \).

آیا می توان مجموعه جواب را با نمادی ساده تر از مجموعه های فوق نوشت؟ جواب مثبت است. بازه ها جواب گوی ما برای این ساده نویسی هستند. مجموعه جواب نامعادله ١ بازه ی \([ - 2,4)\) است و مجموعه جواب نامعادله شماره ٢ بازه ی بی کران \(\left( { - \infty ,2} \right)\) است. حال به سراغ تعریف بازه ها می رویم.

یک بازه، زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی است که بصورت های زیر تعریف می شود:

بازه ی باز:

\(\left( {a,b} \right) = \{ x \in \mathbb{R}|a\langle x\langle b\} \)

بازه ی نیم باز:

\(\left[ {a,b} \right) = \{ x \in \mathbb{R}|a \le x\langle b\} \)

بازه ی بسته:

\(\left[ {a,b} \right] = \{ x \in \mathbb{R}|a \le x \le b\} \)

بازه ی باز بی کران:

\(\left( {a, + \infty } \right) = \{ x \in \mathbb{R}|a\rangle x\} \)

بازه ی نیم باز بی کران:

\(\left[ {a, + \infty } \right) = \{ x \in \mathbb{R}|a\rangle x\} \)

بازه ی باز بی کران:

\(\left( { - \infty ,a} \right) = \{ x \in \mathbb{R}|a\langle x\} \)

بازه ی نیم باز بی کران:

\(\left( { - \infty ,a} \right] = \{ x \in \mathbb{R}|a\langle x\} \)

اغلب بجای اصطلاح نیم باز از اصطلاح نیم بسته هم استفاده می شود. نماد ∞ که بی نهایت خوانده می شود (مثبت بی نهایت یا منفی بی نهایت) یک عدد حقیقی نیست فقط نمادی است برای اینکه نشان دهیم بازه بی کران است. یعنی هر عددی خواه بسیار بزرگ یا خواه بسیار کوچک در این بازه ها می تواند وجود داشته باشد.

در اشکال زیر چند بازه را بعنوان مثال روی محور اعداد حقیقی نمایش داده ایم.