مجموعه های اعداد

ابتدایی ترین مجموعه مورد استفاده بشر همان طور که می دانید مجموعه اعداد طبیعی بوده است. مجموعه اعداد طبیعی بصورت زیر است:

\(\mathbb{N} = \{ 1,2,3,...\} \)

لازم است خاصیتی جالب را در مورد مجموعه \(\mathbb{N}\) معرفی کنیم. چنانچه دو عدد دلخواه از اعداد طبیعی را باهم جمع کنیم حاصل باز هم عدد طبیعی است بعنوان مثال :

\(1 + 3 = 4 \in \mathbb{N}\)

در حالت کلی اگر a، b دو عدد طبیعی باشند واضح است که \(a + b\) نیز عددی طبیعی است. این خاصیت را اصطلاحا بسته بودن \(\mathbb{N}\) نسبت به عمل + می نامیم.

خاصیت بسته بودن برای اعداد طبیعی در اعمال ضرب، تقسیم و توان نیز صادق است ولی در عمل تفریق صادق نیست.

حال با توجه به مثال بالا می توان متوجه ضعف مجموعه اعداد طبیعی شد. \(\mathbb{N}\) نسبت به تفریق بسته نیست. این بزرگترین ضعف \(\mathbb{N}\) است. زمانی که بشر برای معاملات خود متوجه شد که مقروض بودن را نمی توان با اعداد طبیعی نمایش داد خلاء اعداد صحیح را حس کرد و مجبور شد اعداد صحیح را بکار بگیرد.

مجموعه اعداد صحیح را که با نماد \(\mathbb{Z}\) نشان می دهیم عبارت است از :

\(\mathbb{Z} = \{ ..., - 2, - 1,0,1,2,...\} \)

اینکه اعداد صحیح را با حرف ​\(\mathbb{Z}\)​ نمایش می دهند به خاطر کلمه Zahlen می باشد که لغتی آلمانی است. اعداد صحیح نیز به نوبه ی خود دارای ضعف بسته نبودن نسبت به عمل تقسیم بود به عنوان مثال دقت کنید که :

\(\frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0/5 \notin \mathbb{Z}\)

برای برطرف کردن این ضعف \(\mathbb{Z}\) مجموعه ای مورد نیاز بود که شامل تمام کسرهای ممکن که می توان به کمک اعداد صحیح ساخت باشد. این مجموعه را اعداد گویا می نامیم و بصورت زیر تعریف می کنیم:

مجموعه اعداد گویا را که با نماد \(\mathbb{Q}\) نشان می دهیم (\(\mathbb{Q}\) حرف اول کلمه Quotient به معنای خارج قست) بصورت زیر تعریف می کنیم:

\(\mathbb{Q} = \left\{ {\frac{a}{b}|a,b \in \mathbb{Z},b \ne 0} \right\}\)

مجموعه اعداد گویا کوچکترین مجموعه ای است که نسبت به هر چهار عمل اصلی بسته است، با این حال همین مجموعه هم بی نقص نیست.

می دانیم که قطر مربعی به ضلع یک عددی غیر گویا یا اصم است. این عدد عددی نیست جز \(\sqrt 2 \).

می توان ثابت کرد که \(\sqrt 2 \) را نمی توان بصورت یک کسر نوشت به عبارت بهتر به ازای هر دو عدد صحیح دلخواه a و b همواره داریم: \(a,b \ne \sqrt 2 \)

مجموعه اعداد گنگ را با نماد \(\mathbb{Q}'\) نشان می دهیم. یکی دیگر از اعداد گنگی، که قدمت زیادی دارد عدد  است. نسبت محیط دایره به قطر آن عدد \(\pi \) است. (داستان پیدایش عدد پی با مسأله تربیع دایره در ارتباط تنگاتنگ است.)

تاکنون با مجموعه های \(\mathbb{Q}',\mathbb{Q},\mathbb{Z},\mathbb{N}\) آشنا شده اید. رابطه بین سه مجموعه اول به صورت زیر است:

\(\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}\)

در این رابطه مجموعه \(\mathbb{Q}'\) چه جایگاهی دارد؟ حال می توان مجموعه اعداد حقیقی را هم تعریف کرد.

مجموعه اعداد حقیقی را که با نماد \(\mathbb{R}\) نشان می دهیم برابر است با :

\(\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q}'\)

(علامت \( \cup \) به معنای اجتماع است.)

رابطه ی بین مجموعه اعداد

متناظر به هر عدد حقیقی نقطه ای روی محور اعداد حقیقی وجود دارد. در اشکال زیر موقعیت برخی از اعداد روی محور نشان داده شده است.

نمایش اعداد گویا و گنگ روی محور اعداد

اگر به شکل با دقت نگاه کنید متوجه خواهید شد که این شکل راه حل بسیار زیبایی را به شما معرفی کرده است و ارزش آن بیش از یک شکل ساده است. سرانجام آخرین مجموعه از اعداد را که بزرگتر از \(\mathbb{N}\) و کوچکتر از \(\mathbb{Z}\) است را معرفی می کنیم. مجموعه اعداد حسابی که با نماد W نشان می دهیم عبارتست از:

\(W = \{ 0,2,3,...\} \)