کاربرد های تشابه

در هر مثلث، نیم ساز داخلی هر زاویه، ضلع مقابلش را به نسبت اضلاع زاویه تقسیم می کند:

حکم: \(\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AC}}\)

برهان خلف: از C خطی موازی AD رسم می کنیم تا امتداد AB را در E قطع کند:

\(\begin{array}{l}1)AD\parallel CE \Rightarrow {{\hat A}_1} = \hat E \ ,{{\hat A}_2} = {{\hat C}_1}\\\\ \Rightarrow {{\hat A}_1} = {{\hat A}_2} \Rightarrow {{\hat C}_1} = \hat E \Rightarrow AC = AE\\\\B\mathop C\limits^\Delta E:AD\parallel CE \Rightarrow \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{AE}} \Rightarrow \frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AC}}\end{array}\)

در دو مثلث متشابه، نسبت ارتفاع های نظیر برابر با نسبت تشابه است.

فرض: \(A\mathop B\limits^\Delta C \sim A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\)

حکم: \(\frac{{AH}}{{A'H'}} = k\)

\(\begin{array}{l}\hat H = \hat H' = {90^0}\\\hat C = \hat C'\\ \to \Delta ACH \sim \Delta A'C'H' \to \frac{{AH}}{{A'H'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{CH}}{{C'H'}} \to \frac{{AH}}{{A'H'}} = k\end{array}\)

در دو مثلث متشابه، نسبت نیم ساز های نظیر برابر با نسبت تشابه است.

فرض: \(A\mathop B\limits^\Delta C \sim A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\)

حکم: \(\frac{{AD}}{{A'D'}} = k\)

طبق فرض: \(\hat A = \hat A' \Rightarrow {\hat A_2} = {\hat A'_2}\)

\(\begin{array}{l}{{\hat A}_2} = {{\hat A'}_2}\\\\\hat C = \hat C'\\\\ \Rightarrow A\mathop C\limits^\Delta D \sim A'\mathop {C'}\limits^\Delta D' \Rightarrow \frac{{AD}}{{A'D'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{CD}}{{C'D'}}\\\\ \Rightarrow \frac{{AD}}{{A'D'}} = k\end{array}\)

در دو مثلث متشابه، نسبت میانه های نظیر برابر با نسبت تشابه است.

فرض: \(A\mathop B\limits^\Delta C \sim A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\)

حکم: \(\frac{{AM}}{{A'M'}} = k\)

طبق فرض: \(\frac{{BC}}{{B'C'}} = k \Rightarrow \frac{{CM}}{{C'M'}} = k\)

\(\begin{array}{l}\frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{CM}}{{C'M'}} = k\\\\\hat C = \hat C'\\\\ \Rightarrow A\mathop C\limits^\Delta M \sim A'\mathop {C'}\limits^\Delta M' \Rightarrow \frac{{AM}}{{A'M'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{CM}}{{C'M'}} \Rightarrow \frac{{AM}}{{A'M'}} = k\end{array}\)

در دو مثلث متشابه، نسبت محیط ها برابر با نسبت تشابه است.

فرض: \(A\mathop B\limits^\Delta C \sim A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\)

حکم: \(\frac{P}{{P'}} = k\)

\(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = k \Rightarrow \frac{{AB + AC + BC}}{{A'B' + A'C' + B'C'}} = k \Rightarrow \frac{P}{{P'}} = k\)

در دو مثلث متشابه، نسبت مساحت ها برابر با توان دوم نسبت تشابه است.

فرض: \(A\mathop B\limits^\Delta C \sim A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\)

حکم: \(\frac{S}{{S'}} = {K^2}\)

\(\frac{S}{{S'}} = \frac{{\frac{1}{2} \times a \times h}}{{\frac{1}{2} \times a' \times h'}} = \frac{a}{{a'}} \times \frac{h}{{h'}} = {k^2} \Rightarrow \frac{S}{{S'}} = {k^2}\)

روابطی که در بالا در مورد مثلث های متشابه مطرح شد را می توان در مورد هر دو چند ضلعی متشابه نیز مطرح کرد.