شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | تقسيم چند جمله اي ها و بخش پذيري](https://dl.my-dars.com/upload/image/031725462731.jpg)
اگر چند جمله اي درجه n ام\(p(x)\) را بر چند جمله اي درجه mام\(k(x)\)که\(m \le n\)تقسيم كنيم؛ خارج قسمت تقسيم، چند جمله اي است مانند\(Q(x)\) از درجه\(n - m\)و باقي مانده صفر و يا چند جمله اي مانند \(R(x)\)ميباشد كه درجه آن از m كمتر است وميتوان نوشت :
\(P(x) = K(x)Q(x) + R(x)\)
كه آن را تساوي تقسيم ميناميم.
مثال
اگر چند جمله اي درجه هفتم را بريك چند جمله اي درجه پنجم تقسيم كنيم خارج قسمت چند جمله اي از درجه 2 و باقي مانده صفر و يا چند جمله اي است كه درجة آن حداكثر 4 ميباشد.
مثال
در تقسيم چند جمله اي \(P(x)\) بر \({x^2} - 3x + 2\) باقی مانده برابر با \(3x + 1\) می باشد \(P(2)\) رابیابید.
بنا به تساوي تقسيم داريم
\(P(x) = ({x^2} - 3x + 2)Q(x)(3x - 1)\)
و در نتيجه
P(2) = (4 - 6 + 2)Q(2) + (6 - 1)
بنابراین
\(P(2) = 5\)
اگر \(P(x)\) و \(q(x)\)دو چند جمله اي باشند براي اينكه تساوي \(P(x) = q(x)\)به ازاي هر مقدار x برقرار باشد، بايد P و q هم درجه باشند و ضرايب هم درجه P و q با هم برابر باشند و براي اينكه تساوي \(P(x) = 0\) به ازاي هر مقدار x برقرار باشد بايد ضرايب كليه جملات P صفر باشد.
مثال
a و b راچنان بيابيد تا تساوي \(\frac{a}{{3x - 1}} + \frac{b}{{3x + 1}} = \frac{1}{{9{x^2} - 1}}\)به ازاي هر مقدار \((x \ne \pm \frac{1}{3})\)برقرار باشد.
\(\begin{array}{l}\frac{a}{{3x - 1}} + \frac{b}{{3x + 1}} = \frac{1}{{9{x^2} - 1}} \Rightarrow \frac{{a(3x + 1) + b(3x - 1)}}{{(3x - 1)(3x + 1)}} = \frac{1}{{9{x^2} - 1}} \Rightarrow a(3x + 1) + b(3x - 1) = 1 \Rightarrow \\\\3(a + b)x + a - b = 0\\\\a - B = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2}\\\\b = - \frac{1}{2}\end{array}\)
مثال
a و b را چنان بيابيد تا تساوي \(({a^2} - 4){x^2} + (a - b)x + b = 0\)به ازاي هر مقدارx برقرار باشد.
بايد \({a^2} - 4 = 0\) و \(a - b = 0\)باشد كه از اينجا داريم \(a = b = 2\).
مثال
بدون انجام عمل تقسيم، باقي مانده و خارج قسمت تقسيم \({x^2} - 2{x^2} + 5x - 1\) را بر \({x^2} + 1\) بيابيد
ميدانيم خارج قسمت و باقي مانده به ترتيب به صورت \(Q(x) = ax + b\)و\(R(x) = cx + d\) ميباشند بنابراين داريم:
\({x^2} - 2{x^2} + 5x - 1 = ({x^2} + 1)(ax + b) + (cx + d)\)
درنتيجه:
\({x^2} - 2{x^2} + 5x - 1 = a{x^3} + b{x^2} + (a + c)x + b + d\)
بنابراين:
\(\begin{array}{l}a = 1,b = - 2,a + c = 5,b + d = - 1 \Rightarrow a = 1,b = - 2,c = 4,d = 1\\\\Q(x) = x - 2,R(x)=4x + 1\end{array}\)
اگر در تقسيم P بر K باقيمانده صفر شود گوئيم P بر K بخشپذير است و K را يك مقسوم عليه ( يك عامل يا يك فاكتور) Q گوييم.
مثال
\(x - 2\) يك فاكتور \({x^2} - 5x + 6\) ميباشد زيرا \({x^2} - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\)
در تقسيم چند جمله اي \(P(x)\) بر \(x - a\) داريم:
\(P(x) = (x - a)Q(x) + R\)
باقيمانده تقسيم چندجمله اي \(P(x)\) بر \(x - a\) می شود\(P(a)\).
چند جمله اي \(P(x)\) بر \(x - a\) بخش پذير است اگر و تنها اگر \(P(a) = 0\).
مثال
باقيمانده تقسيم \({x^7} - 3{x^2} + 4x - 5\) را بر \(x + 1\)بدست آوريد.
\(\begin{array}{l}R = P( - 1) \Rightarrow R = {( - 1)^7} - 3{( - 1)^2} + 4( - 1) - 5 \Rightarrow R = - 12\\\\P(x) = {x^7} - 3{x^2} + 4x - 5\end{array}\)
مثال
aوb را طوري بيابيد تا \({x^3} - 2{x^2} + ax + b\) بر \({x^2} + x - 2\)بخش پذير باشد.
چون \({x^2} + x - 2 = (x + 2)(x - 1)\) و \(P(x) = {x^3} - 2{x^2} + ax + b\) ميباشد، بايد \(P( - 2) = 0\) ,\(P(1) = 0\)در نتيجه:
\(( - 2) - 2{( - 2)^2} + a( - 2) + b = .\)
\(\begin{array}{l}{(1)^2} - 2{(1)^2} + a(1) + b = 0 \Rightarrow - 2a + b = 16\\\\a + b = 1 \Rightarrow a = - 5,b = 6\end{array}\)
مثال
اگر باقيمانده تقسيم چند جمله اي \(P(x)\) بر \(x - 2\) به ترتيب 2 و 7 باشد، باقي مانده \(P(x)\) را بر \({x^2} - 5x + 6\)بیابید.
باتوجه به فرض داريم \(P(2) = 2\) و \(P(3) = 7\) و طبق تساوي تقسيم \(P(x) = ({x^2} - 5x + 6)Q(x) + (ax + b)\) بنابراین \(P(2) = 2a + b\) و \(P(3) = 3a + b\) در نتیجه
\(\left\{ \begin{array}{l}2a + b = 2\\3a + b = 7\end{array} \right. \Rightarrow a = 5,b = - 8,R = 5x - 8\)
باقيمانده تقسيم چند جمله اي \(P(x)\) بر \(ax + b\left( {a \ne 0} \right)\)برابر است با \(P\left( { - \frac{b}{a}} \right)\).
مثال
نشان دهيد \(2x + 3\) يك فاكتور ميباشد سپس نشان دهيد دوفاكتور درجه اول ديگر نيز دارد..
بايد نشان دهيم عبارت \(g(x) = 2{x^3} + 3{x^2} - 8x - 12\) به ازای \(x = - \frac{3}{2}\)
صفر است.
براي بدست آوردن فاكتورهاي ديگر \(g(x)\)را بر \(2x + 3\)تقسيم ميكنيم.
\(\begin{array}{l}2{x^3} + 3{x^2} - 8x - 12\\\\2{x^3} + 3{x^2}\end{array}\)
بنابراين:
\(\begin{array}{l}2{x^3} - 3{x^2} - 8x - 12 = (2x + 3)({x^2} - 4) \Rightarrow \\\\2{x^3} + 3{x^2} - 8x - 12 = (2x + 3)(x - 2)(x + 2)\end{array}\)
در نتيجه فاكتورهاي مورد نظر \(x = 2,x - 2\) ميباشد.
براي بدست آوردن باقيمانده تقسيم چند جمله اي \(P(x)\) بر\((a \ne 0,n \in N)\) \(a{x^{^n}} + b\) مي توان در عبارت \(P(x)\) به جاي همه \({x^n}\) ها عدد \( - \frac{b}{a}\) را قرار داد و حاصل را ساده نمود.
مثال
باقيمانده تقسيم \({x^{1389}} + 3{x^7} - 4x + 1\) را بر \({x^3} + 1\) بيابيد.
چون \( - \frac{b}{a} = - 1\)
و\({x^{1389}} + 3{x^7} - 4x + 1 = {({x^3})^{463}} + 3(x)x - 4x + 1\) ميباشد پس:
\(R(x) = {( - 1)^{463}} + 3{( - 1)^2}x - 4x + 1 \Rightarrow R = - x\)
اگر \(n \in R\) باشد \({(a + b)^n}\) به دو جمله اي كاشاني معروف ميباشد كه بسط آن به صورت زير است:
\({(a + b)^n} = {a^n} + n{a^{n - 1}}b + \frac{{n(n - 1)}}{2}{a^{n - 2}}{b^2} + ... + {b^n}\)
اين بسط:
داراي \(n + 1\) جمله است
مجموع توان هايa,b در هر جمله n است.
اگر آن را بر حسب توان هاي نزولي n مرتب كنيم ضـريب اولـين جملـه 1 و ضريب جملات بعدي برابر است با ضريب جمله قبلي ضربدر توان a تقسـيم بر تعداد جملات قبل از آن.
ضريب جملات در جدول زير موسوم به مثلث خيام پاسكال آمده است
\(\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}&{}&{}&1&{}&{}&{}&{}&{}\\{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\{}&{}&{}&1&{}&2&{}&1&{}&{}&{}\\{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\{}&{}&1&{}&3&{}&3&{}&1&{}&{}\\{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\{}&1&{}&4&{}&6&{}&4&{}&1&{}\\{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\1&{}&5&{}&{10}&{}&{10}&{}&5&{}&1\end{array}\)
مثال
بسط \({(x + y)^3}\) را بنويسيد.
\({(x + y)^3} = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^3} + {y^3}\)
مثال
بسط \({(2x - 3)^4}\)را بنويسيد.
\(\begin{array}{l}{(2x - 3)^4} = {(2x)^4} + 4{(2x)^3}( - 3) + 6{(2x)^2}{( - 3)^2} + 4(2x){( - 3)^3} + {( - 3)^4}\\\\ = 16{x^4} - 96{x^3} + 216{x^2} - 216x + 81\end{array}\)
براي بدست آوردن مجموع ضرايب يك چند جمله اي كافي است به جاي متغيرها عدد يك قرار داده و حاصل را بدست آوريم.
مثال
مجموع ضرايب \(3{x^4} - 2{x^3} + x{y^2} + 7y - 2\) را بيابيد.
حاصل عبارت را به ازاي \(x = 1,y = 1\) بدست مي آوريم در نتيجه داريم :
یب\(\)\( = 3 - 2 + 1 + 7 - 2 = - 1\)مجموع ضرا
مثال
مجموع ضرايب بسط \({(2{x^3} + 3{x^2} - 6)^{71}}\) را بيابيد.
مجموع ضرایب\( = {(2 + 3 - 6)^{71}} = {( - 1)^{71}} = - 1\)
بسط دو جمله اي كاشاني را ميتوان به صورت زير نيز نوشت:
\({(a + b)^n} = \left( \begin{array}{l}n\\0\end{array} \right){a^n} + \left( \begin{array}{l}n\\1\end{array} \right){a^{n - }}^1b + \left( \begin{array}{l}n\\2\end{array} \right){a^{n - 2}}{b^2} + ... + \left( \begin{array}{l}n\\n\end{array} \right){b^n}\)
كه جمله \((k + 1)\) ام آن به صورت \(\left( \begin{array}{l}n\\k\end{array} \right){a^{n - k}}{b^k}\) ميباشد.
مثال
جمله سوم بسط \({(2X - y)^7}\) را بيابيد.
\(\left( \begin{array}{l}7\\2\end{array} \right){(2x)^2}{( - y)^5} = \frac{{7!}}{{2! \times 5!}}(4{x^2})( - {y^5}) = - 60{x^2}{y^5}\)
تهیه کننده: حامد دلیجه
