شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | دنباله حسابی](https://dl.my-dars.com/upload/image/0111725462654.jpg)
دنباله اي است كه به جز جمله اول آن، هر جمله اش برابر است با جمله قبلي آن به اضافه يك مقدار ثابت . اين مقدار ثابت را قدر نسبت دنباله ناميده با d نشان ميدهيم به عبارت ديگر دنباله ي حسابي دنبالهاي است كه تفاضل هر دو جمله متوالي آن مقدار ثابتي است.
مثال
\({a_n} = 3n - 2\) جمله عمومي يك دنباله حسابي است، زيرا:
\({a_{n + 1}} - {a_n} = (3(n + 1) - 2) - (3n - 2) = 3\)
مثال
\({b_n} = {n^2}\)جمله عمومي يك دنباله حسابي نيست، زيرا:
\({b_{n + 1}} - {b_n} = {(n + 1)^2} - {n^2} = 2n + 1\)
به n وابسته است
جمله عمومي دنباله حسابي كه قدر نسبت آن d و جمله اول آن a باشد برابر است با:
\({a_n} = a + (n - 1)d\)
مثال
جمله چندم دنباله ....1،4،7 برابر با 100 است؟
چون\(a = 1\) و \(d = 3\) و\({a_n} = 100\) بنابراين:
\(100 = 1 + (n - 1)(3) \to 100 = 1 + 3n - 3 \to 3n = 102 \to n = 34\)
بنابراين جمله سي و چهارم برابر با 100 ميباشد.
مثال
در يك دنباله حسابي داريم\({a_4} - {a_2} = 10\)\({a_5} + {a_7} = 54\)\({a_{81}}\)را بيابيد.
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a_4} - {a_2} = 10\\{a_4} + {a_7} = 54\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}(a + 3d) - (a + d) = 10\\(a + 4d) + (a + 6d) = 54\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2d = 10\\2a + 10d = 54\end{array} \right. \Rightarrow d = 5,a = 2\\\\ \Rightarrow {a_{81}} = a + 80d \Rightarrow {a_{81}} = 2 + 80 \times 5 = 402\end{array}\)
مجموعn جمله اول دنباله حسابي برابر است با :
\({s_n} = \frac{n}{2}(2a + (n - 1)d)\)
مجموع n جمله اول دنباله حسابي كه جمله اول آن \({a_1}\) و جمله nام آن \({a_n}\) باشد برابر است با:
\({s_n} = \frac{n}{2}({a_1} + {a_n})\)
مثال
در يك دنباله حسابي داريم\({s_n} = 4{n^2} - n\) جمله هفتم اين دنباله را بيابيد.
با كمي دقت متوجه ميشويم كه\({a_7} = {s_7} - {s_6}\) پس :
\({a_7} = (4({7^2}) - 7) - (4({6^2}) - 6) = 51\)
اگر\({a_n} \) و\({a_m}\)دو جمله از يك دنباله حسابي باشد آنگاه\(d = \frac{{{a_m} - {a_n}}}{{m - n}}\).
اگر\({a_l}\)\({a_p}\)\({a_n}\)\({a_m}\) چهار جمله از يك دنباله حسابي و\(m + n = p + l\)آنگاه\({a_m} + {a_n} = {a_p} + {a_l}\).
در هر دنباله حسابي متناهي مجموع هر دو جمله متساوي الفاصله از طرفين باهم برابر است.
اگر در يك دنباله حسابي متناهي تعداد جملات فرد باشد مجموع هر دو جمله متساوي الفاصله از طرفين مساوي دو برابر جمله وسط آن است و مجموع همه جملات آن برابر است با:
مقدار جمله وسط ضربدر تعداد آنها
مثال
در يك دنباله حسابي داريم\({a_3} + {a_7} + {a_{11}} + {a_{15}} = 20\)را بيابيد.
\(\begin{array}{l}{a_3} + {a_7} + {a_{11}} + {a_{15}} = 20 \Rightarrow ({a_3} + {a_{15}}) + ({a_7} + {a_{11}}) = 20\\\\ \to 2({a_1} + {a_{17}}) = 20 \to {a_1} + {a_{17}} = 10\\\\{s_{17}} = \frac{{17}}{2}({a_1} + {a_{17}}) \Rightarrow {s_{17}} = \frac{{17}}{2} \times 10 = 85\end{array}\)
\(\)
مثال
در دنباله حسابي...7 ،3 ، 1-مجموع جملات بيست و يكم تا سي ام را بيابيد.
روش اول: چون\(d = 4\)\(a = - 1\)پس:
مجموع جملات بيست ويكم تا سي ام \( = {S_{30}} - {S_{20}} = \frac{{30}}{2}( - 2 + 29 \times 4) - \frac{{20}}{2}( - 2 + 20 \times 4) = 970\)
روش دوم : چون\({a_{21}} = - 1 + 20 \times 4 = 79\)پس مجموع خواسته شده برابراست بامجموع ده جمله اول دنباله حسابي كه جمله اول آن 79 و قدر نسبت آن 4 ميباشد، بنابراين:
\({S_{10}} = \frac{{10}}{2}(158 + 36) = 970\)
تهیه کننده: حامد دلیجه
