شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | دامنه توابع لُگاریتمی](https://dl.my-dars.com/upload/image/021733990066.jpg)
همانطور که در تعریف اشاره شد، \({\log _b}a\) وقتی تعریف شده است که a>0 و b>0 و \(b \ne 1\) باشد.
مثال
دامنه توابع زیر را تعیین کنید.
\(f(x) = lo{g_{(3 - x)}}(x + 2)\) الف
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2 > 0 \Rightarrow x > - 2\\\\3 - x > 0 \Rightarrow x < 3\\\\3 - x \ne 1 \Rightarrow x \ne 2\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop \Rightarrow \limits^ \cap \,\,\,\,\,{D_f} = ( - 2\,,\,3) - \{ 2\} \)
\(g(x) = {\log _3}(2 - |x|)\) ب
می دانیم که 0<3 و \(3 \ne 1\) است، لذا کافی است \(2 - |x| > 0\) باشد:
\( \Rightarrow |x|\, < 2 \Rightarrow - 2 < x < 2 \Rightarrow {D_f} = ( - 2\,,\,2)\)
نکات مقدماتی از لگاریتم
1 از تساوی های \({a^0} = 1\) و \({a^1} = a\) می توان نتیجه گرفت:
لگاریتم 1 در هر مبنای تعریف شده ای برابر صفر است؛ یعنی:
\({\log _a}1 = 0\)
و لگاریتم هر عدد در مبنای خودش برابر یک است؛ یعنی:
\({\log _a}a = 1\)
2 قرارداد می شود به جای \({\log _{10}}a\) می نویسیم \(\log \,\,a\)
3 اگر مبنای لگاریتم e (عدد نپر که تقریبا برابر 2/7 است) باشد، آن را با نماد Ln نمایش می دهیم. به عبارت دیگر به جای \({\log _e}a\) می نویسیم \(Ln\,\,a\)
4 اگر ab=1 ، آنگاه \({\log _b}a = - 1\) است؛ زیرا ab=1 نتیجه می دهد \(a = \frac{1}{b}\) یعنی \(a = {b^{ - 1}}\)
مثال
حاصل هر عبارت را بنویسید.
\(\log \,\,100 = \) الف
2
\(Ln\,\,1 = \) ب
0
\(Ln\,\,e = \) پ
1
\(\log \,\,0/1 = \) ت
-1
\({\log _{\cot \theta }}\,\,\tan \theta = \) ث
-1
زیرا \(\tan \theta .\cot \theta = 1\) بوده و طبق نکته 4 جواب برابر 1- است.
\({\log _{(\sqrt 3 + \sqrt 2 )}}\,\,(\sqrt 3 - \sqrt 2 ) = \) ج
-1
زیرا \((\sqrt 3 - \sqrt 2 )(\sqrt 3 + \sqrt 2 ) = 1\) است.
معادلات زیر را حل کنید.
\(\log \,\,(2x - 1) = 2\) الف
\( \Rightarrow 2x - 1 = {10^2} = 100 \Rightarrow 2x = 101 \Rightarrow x = \frac{{101}}{2}\)
\(Ln\,\,(x - 2) = 3\) ب
\( \Rightarrow x - 2 = {e^3} \Rightarrow x = {e^3} + 2\)
\(Ln\,\left( {\,\log \,\,(x + 7)} \right) = 0\) پ
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \,\log \,\,(x + 7) = {e^0} = 1\\\\ \Rightarrow x + 7 = {10^1}\\\\ \Rightarrow x = 3\end{array}\)
مثال
نشان دهید توابع زیر وارون پذیرند، سپس تابع وارون آن ها را بنویسید.
\(f(x) = \log \,\,(3x + 1)\) الف
\(\begin{array}{l}f(a) = f(b) \Rightarrow \log \,\,(3a + 1) = \log \,\,(3b + 1) \Rightarrow 3a + 1 = 3b + 1\\\\ \Rightarrow 3a = 3b \Rightarrow a = b\end{array}\)
بنابراین تابع f یک به یک است و در نتیجه وارون پذیر می باشد. وارون تابع f برابر است با:
\(\begin{array}{l}\log \,\,(3x + 1) = y \Rightarrow 3x + 1 = {10^y} \Rightarrow 3x = {10^y} - 1\\\\ \Rightarrow x = \frac{{{{10}^y} - 1}}{3}\,\,\,\,\,\mathop \Rightarrow \limits^{f \to {f^{ - 1}}} \,\,\,\,\,y = \frac{{{{10}^x} - 1}}{3} \Rightarrow {f^{ - 1}}(x) = \frac{{{{10}^x} - 1}}{3}\end{array}\)
\(g\,\,(x) = {e^{2x}} - 5\) ب
\(g(a) = g(b) \Rightarrow {e^{2a}} - 5 = {e^{2b}} - 5 \Rightarrow {e^{2a}} = {e^{2b}} \Rightarrow 2a = 2b \Rightarrow a = b\)
بنابراین تابع g یک به یک است و در نتیجه وارون پذیر می باشد. وارون تابع g برابر است با:
\(\begin{array}{l}{e^{2x}} - 5 = y \Rightarrow {e^{2x}} = y + 5 \Rightarrow 2x = Ln\,\,(y + 5)\\\\ \Rightarrow x = \frac{1}{2}Ln\,\,(y + 5)\,\,\,\,\,\mathop \Rightarrow \limits^{g \to {g^{ - 1}}} \,\,\,\,\,y = \frac{1}{2}Ln\,\,(x + 5)\end{array}\)
حاصل هر یک از عبارات زیر را بنویسید.
\({\log _2}16 = \) الف
4
\({\log _7}49 = \) ب
2
\({\log _5}125 = \) پ
3
\(\log \,\,10 = \) ت
1
\(Ln\,\,{e^2} = \) ث
2
\(Ln\,\,\,\sqrt[3]{e} = \) ج
\(\frac{1}{3}\)
\({\log _{(\sqrt 3 - \sqrt 2 )}}(5 - 2\sqrt 5 ) = \) چ
\({\log _{(\sqrt 3 - \sqrt 2 )}}{(\sqrt 3 - \sqrt 2 )^2} = 2\)
\({\log _{\frac{1}{{\sqrt 2 - 1}}}}(\sqrt 2 + 1) = \) ح
می دانیم که \(\frac{1}{{\sqrt 2 - 1}} = \frac{1}{{\sqrt 2 - 1}} \times \frac{{\sqrt 2 + 1}}{{\sqrt 2 + 1}} = \frac{{\sqrt 2 + 1}}{{2 - 1}} = \sqrt 2 + 1\) ؛ بنابراین:
\({\log _{\frac{1}{{\sqrt 2 - 1}}}}(\sqrt 2 + 1) = {\log _{(\sqrt 2 + 1)}}(\sqrt 2 + 1) = 1\)
با فرض \({\log _2}\,\,({x^2} - x) = 1\) و x<0 ، مقدار \({3^x} + {x^3}\) را محاسبه نمایید.
\(\begin{array}{l}{\log _2}\,\,({x^2} - x) = 1 \Rightarrow \,({x^2} - x) = 2 \Rightarrow {x^2} - x - 2 = 0\\\\ \Rightarrow (x - 2)(x + 1) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\\\x = - 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\mathop \Rightarrow \limits^{x < 0} \,\,\,\,\,x = - 1\\\\ \Rightarrow {3^x} + {x^3} = {3^{ - 1}} + {( - 1)^3} = \frac{1}{3} - 1 = - \frac{2}{3}\end{array}\)
حاصل \(A = {\log _4}\,\,\left( {{{\log }_3}\,\,\left( {{{\log }_2}\,\,512} \right)} \right)\) را بیابید.
می دانیم \({2^9} = 512\) است، بنابراین \({\log _2}\,\,512 = 9\) و در نتیجه \(A = {\log _4}\,\,\left( {{{\log }_3}\,\,9} \right)\) است.
از طرفی \({3^2} = 9\) ، پس \({\log _3}\,\,9 = 2\) بوده و داریم \(A = {\log _4}\,\,2\) . حال مقدار A به راحتی بدست می آید:
\(A = {\log _4}\,\,2 = \frac{1}{2}\)
ثابت کنید \({\log _2}\,\,3 + {\log _2}\,\,5 = {\log _2}\,\,15\)
این تساوی به صورت زیر اثبات می شود:
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}{\log _2}\,\,3 = x \Rightarrow {2^x} = 3\\\\{\log _2}\,\,5 = y \Rightarrow {2^y} = 5\end{array} \right\}\,\,\,\mathop \Rightarrow \limits^ \times \,\,\,15 = {2^{x + y}} \Rightarrow x + y = {\log _2}\,\,15\\\\ \Rightarrow {\log _2}\,\,3 + {\log _2}\,\,5 = {\log _2}\,\,15\end{array}\)
تهیه کننده: استاد ملاسعیدی
1736019749.png)
