شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | لُگاریتم](https://dl.my-dars.com/upload/image/011733988821.jpg)
فرض کنید می خواهیم با سه عدد 2، 3، و 8 به همراه یک عمل ریاضی، یک تساوی منطقی بنویسیم. پاسخ شما چیست؟
حدس می زنم شما بنویسید: \({2^3} = 8\)
خُب این پاسخ در سطح بچه های هفتم و هشتم است و من انتظار پاسخ در سطح نُهم و دهُم را دارم!
آفرین درست حدس زدید: \(\sqrt[3]{8} = 2\)
در تساوی \({2^3} = 8\) حاصل عمل، عدد 8 است و در تساوی \(\sqrt[3]{8} = 2\)
حاصل عمل، عدد 2 می باشد. در این درس، عملی را معرفی می کنیم که برای اعداد فوق، حاصل آن عدد 3 باشد.
این عمل لگاریتم نام دارد، به این صورت که می نویسیم: \({\log _2}8 = 3\)
و می خوانیم: «لگارتیم 8 در پایه ی (مبنای) 2 برابر 3 است.
به ازای عداد حقیقی مثبت a و b و با فرض \(b \ne 1\) ، تعریف می کنیم:
\({\log _b}a = x \Leftrightarrow {b^x} = a\)
مثال
تساوی های زیر را به صورت لگاریتمی بنویسید.
\({3^4} = 81\) الف
\({\log _3}81 = 4\)
\(0/{1^3} = 0/001\) ب
\({\log _{0/1}}0/001 = 3\)
\({(\sqrt 2 )^{ - 2}} = \frac{1}{2}\) پ
\({\log _{\sqrt 2 }}\frac{1}{2} = - 2\)
\({5^0} = 1\) ت
\({\log _5}1 = 0\)
مثال
تساوی های لگاریتمی زیر را به صورت نمایی بنویسید.
\({\log _2}32 = 5\) الف
\({2^5} = 32\)
\({\log _2}0/125 = - 3\) ب
\({2^{ - 3}} = 0/125\)
\({\log _5}\sqrt {125} = 1/5\) پ
\({5^{1/5}} = \sqrt {125} \)
\({\log _a}a = 1\) ت
\({a^1} = a\)
اگر \({\log _{50}}A = \frac{1}{2}\) و \({\log _{32}}B = \frac{1}{2}\) باشد، حاصل \(\frac{{A + B}}{{A - B}}\) کدام است؟
گزینه 4 پاسخ صحیح می باشد:
\(\left. \begin{array}{l}{\log _{50}}A = \frac{1}{2} \Rightarrow A = {50^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {50} = 5\sqrt 2 \\\\{\log _{32}}B = \frac{1}{2} \Rightarrow B = {32^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {32} = 4\sqrt 2 \end{array} \right\} \Rightarrow \frac{{A + B}}{{A - B}} = \frac{{9\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = 9\)
معادله \({\log _3}(x - 1) = 4\) را حل کنید.
\({\log _3}(x - 1) = 4 \Rightarrow {3^4} = x - 1 \Rightarrow x - 1 = 81 \Rightarrow x = 82\)
اگر \({\log _{10}}\left( {98 + {{\log }_5}(x - 1)} \right) = 2\) مقدار \({\log _3}(x + 1)\) کدام است؟
گزینه 1 پاسخ صحیح می باشد:
\( \Rightarrow 98 + {\log _5}(x - 1) = {10^2} = 100 \Rightarrow {\log _5}(x - 1) = 100 - 98 = 2\) فرض
\(\begin{array}{l} \Rightarrow x - 1 = {5^2} \Rightarrow x = 26\\\\ \Rightarrow {\log _3}(x + 1) = {\log _3}27 = 3\end{array}\)
تهیه کننده: استاد ملاسعیدی
1736019749.png)
