درسنامه کامل حسابان (1) فصل 3 توابع نمایی و لگاریتمی
تعداد بازدید : 3.77Mخلاصه نکات حسابان (1) فصل 3 توابع نمایی و لگاریتمی - درسنامه شب امتحان حسابان (1) فصل 3 توابع نمایی و لگاریتمی - جزوه شب امتحان حسابان (1) نوبت اول فصل 3 توابع نمایی و لگاریتمی
لُگاریتم
لگاریتم
فرض کنید می خواهیم با سه عدد 2، 3، و 8 به همراه یک عمل ریاضی، یک تساوی منطقی بنویسیم. پاسخ شما چیست؟
حدس می زنم شما بنویسید: \({2^3} = 8\)
خُب این پاسخ در سطح بچه های هفتم و هشتم است و من انتظار پاسخ در سطح نُهم و دهُم را دارم!
آفرین درست حدس زدید: \(\sqrt[3]{8} = 2\)
در تساوی \({2^3} = 8\) حاصل عمل، عدد 8 است و در تساوی \(\sqrt[3]{8} = 2\)
حاصل عمل، عدد 2 می باشد. در این درس، عملی را معرفی می کنیم که برای اعداد فوق، حاصل آن عدد 3 باشد.
این عمل لگاریتم نام دارد، به این صورت که می نویسیم: \({\log _2}8 = 3\)
و می خوانیم: «لگارتیم 8 در پایه ی (مبنای) 2 برابر 3 است.
تعریف:
به ازای عداد حقیقی مثبت a و b و با فرض \(b \ne 1\) ، تعریف می کنیم:
\({\log _b}a = x \Leftrightarrow {b^x} = a\)
مثال
تساوی های زیر را به صورت لگاریتمی بنویسید.
\({3^4} = 81\) الف
\({\log _3}81 = 4\)
\(0/{1^3} = 0/001\) ب
\({\log _{0/1}}0/001 = 3\)
\({(\sqrt 2 )^{ - 2}} = \frac{1}{2}\) پ
\({\log _{\sqrt 2 }}\frac{1}{2} = - 2\)
\({5^0} = 1\) ت
\({\log _5}1 = 0\)
مثال
تساوی های لگاریتمی زیر را به صورت نمایی بنویسید.
\({\log _2}32 = 5\) الف
\({2^5} = 32\)
\({\log _2}0/125 = - 3\) ب
\({2^{ - 3}} = 0/125\)
\({\log _5}\sqrt {125} = 1/5\) پ
\({5^{1/5}} = \sqrt {125} \)
\({\log _a}a = 1\) ت
\({a^1} = a\)
اگر \({\log _{50}}A = \frac{1}{2}\) و \({\log _{32}}B = \frac{1}{2}\) باشد، حاصل \(\frac{{A + B}}{{A - B}}\) کدام است؟
- 8
- 4
- 5
- 9
گزینه 4 پاسخ صحیح می باشد:
\(\left. \begin{array}{l}{\log _{50}}A = \frac{1}{2} \Rightarrow A = {50^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {50} = 5\sqrt 2 \\\\{\log _{32}}B = \frac{1}{2} \Rightarrow B = {32^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {32} = 4\sqrt 2 \end{array} \right\} \Rightarrow \frac{{A + B}}{{A - B}} = \frac{{9\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = 9\)
معادله \({\log _3}(x - 1) = 4\) را حل کنید.
\({\log _3}(x - 1) = 4 \Rightarrow {3^4} = x - 1 \Rightarrow x - 1 = 81 \Rightarrow x = 82\)
اگر \({\log _{10}}\left( {98 + {{\log }_5}(x - 1)} \right) = 2\) مقدار \({\log _3}(x + 1)\) کدام است؟
- 3
- 2
- 4
- \(\frac{3}{2}\)
گزینه 1 پاسخ صحیح می باشد:
\( \Rightarrow 98 + {\log _5}(x - 1) = {10^2} = 100 \Rightarrow {\log _5}(x - 1) = 100 - 98 = 2\) فرض
\(\begin{array}{l} \Rightarrow x - 1 = {5^2} \Rightarrow x = 26\\\\ \Rightarrow {\log _3}(x + 1) = {\log _3}27 = 3\end{array}\)
تهیه کننده: استاد ملاسعیدی
مای درس ، برترین اپلیکیشن کمک درسی ایران
پوشش تمام محتواهای درسی پایه (1)- آزمون آنلاین تمامی دروس پایه (1)
- گام به گام تمامی دروس پایه (1)
- ویدئو های آموزشی تمامی دروس پایه (1)
- گنجینه ای از جزوات و نمونه سوالات تمامی دروس پایه (1)
- فلش کارت های آماده دروس پایه (1)
- گنجینه ای جامع از انشاء های آماده پایه (1)
- آموزش جامع آرایه های ادبی، دستور زبان، قواعد زبان انگلیسی و ... ویژه پایه (1)
کاملا رایگان
+500 هزار کاربر
همین حالا نصب کن
دامنه توابع لُگاریتمی
دامنه توابع لُگاریتمی
همانطور که در تعریف اشاره شد، \({\log _b}a\) وقتی تعریف شده است که a>0 و b>0 و \(b \ne 1\) باشد.
مثال
دامنه توابع زیر را تعیین کنید.
\(f(x) = lo{g_{(3 - x)}}(x + 2)\) الف
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2 > 0 \Rightarrow x > - 2\\\\3 - x > 0 \Rightarrow x < 3\\\\3 - x \ne 1 \Rightarrow x \ne 2\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop \Rightarrow \limits^ \cap \,\,\,\,\,{D_f} = ( - 2\,,\,3) - \{ 2\} \)
\(g(x) = {\log _3}(2 - |x|)\) ب
می دانیم که 0<3 و \(3 \ne 1\) است، لذا کافی است \(2 - |x| > 0\) باشد:
\( \Rightarrow |x|\, < 2 \Rightarrow - 2 < x < 2 \Rightarrow {D_f} = ( - 2\,,\,2)\)
نکات مقدماتی از لگاریتم
1 از تساوی های \({a^0} = 1\) و \({a^1} = a\) می توان نتیجه گرفت:
لگاریتم 1 در هر مبنای تعریف شده ای برابر صفر است؛ یعنی:
\({\log _a}1 = 0\)
و لگاریتم هر عدد در مبنای خودش برابر یک است؛ یعنی:
\({\log _a}a = 1\)
2 قرارداد می شود به جای \({\log _{10}}a\) می نویسیم \(\log \,\,a\)
3 اگر مبنای لگاریتم e (عدد نپر که تقریبا برابر 2/7 است) باشد، آن را با نماد Ln نمایش می دهیم. به عبارت دیگر به جای \({\log _e}a\) می نویسیم \(Ln\,\,a\)
4 اگر ab=1 ، آنگاه \({\log _b}a = - 1\) است؛ زیرا ab=1 نتیجه می دهد \(a = \frac{1}{b}\) یعنی \(a = {b^{ - 1}}\)
مثال
حاصل هر عبارت را بنویسید.
\(\log \,\,100 = \) الف
2
\(Ln\,\,1 = \) ب
0
\(Ln\,\,e = \) پ
1
\(\log \,\,0/1 = \) ت
-1
\({\log _{\cot \theta }}\,\,\tan \theta = \) ث
-1
زیرا \(\tan \theta .\cot \theta = 1\) بوده و طبق نکته 4 جواب برابر 1- است.
\({\log _{(\sqrt 3 + \sqrt 2 )}}\,\,(\sqrt 3 - \sqrt 2 ) = \) ج
-1
زیرا \((\sqrt 3 - \sqrt 2 )(\sqrt 3 + \sqrt 2 ) = 1\) است.
معادلات زیر را حل کنید.
\(\log \,\,(2x - 1) = 2\) الف
\( \Rightarrow 2x - 1 = {10^2} = 100 \Rightarrow 2x = 101 \Rightarrow x = \frac{{101}}{2}\)
\(Ln\,\,(x - 2) = 3\) ب
\( \Rightarrow x - 2 = {e^3} \Rightarrow x = {e^3} + 2\)
\(Ln\,\left( {\,\log \,\,(x + 7)} \right) = 0\) پ
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \,\log \,\,(x + 7) = {e^0} = 1\\\\ \Rightarrow x + 7 = {10^1}\\\\ \Rightarrow x = 3\end{array}\)
مثال
نشان دهید توابع زیر وارون پذیرند، سپس تابع وارون آن ها را بنویسید.
\(f(x) = \log \,\,(3x + 1)\) الف
\(\begin{array}{l}f(a) = f(b) \Rightarrow \log \,\,(3a + 1) = \log \,\,(3b + 1) \Rightarrow 3a + 1 = 3b + 1\\\\ \Rightarrow 3a = 3b \Rightarrow a = b\end{array}\)
بنابراین تابع f یک به یک است و در نتیجه وارون پذیر می باشد. وارون تابع f برابر است با:
\(\begin{array}{l}\log \,\,(3x + 1) = y \Rightarrow 3x + 1 = {10^y} \Rightarrow 3x = {10^y} - 1\\\\ \Rightarrow x = \frac{{{{10}^y} - 1}}{3}\,\,\,\,\,\mathop \Rightarrow \limits^{f \to {f^{ - 1}}} \,\,\,\,\,y = \frac{{{{10}^x} - 1}}{3} \Rightarrow {f^{ - 1}}(x) = \frac{{{{10}^x} - 1}}{3}\end{array}\)
\(g\,\,(x) = {e^{2x}} - 5\) ب
\(g(a) = g(b) \Rightarrow {e^{2a}} - 5 = {e^{2b}} - 5 \Rightarrow {e^{2a}} = {e^{2b}} \Rightarrow 2a = 2b \Rightarrow a = b\)
بنابراین تابع g یک به یک است و در نتیجه وارون پذیر می باشد. وارون تابع g برابر است با:
\(\begin{array}{l}{e^{2x}} - 5 = y \Rightarrow {e^{2x}} = y + 5 \Rightarrow 2x = Ln\,\,(y + 5)\\\\ \Rightarrow x = \frac{1}{2}Ln\,\,(y + 5)\,\,\,\,\,\mathop \Rightarrow \limits^{g \to {g^{ - 1}}} \,\,\,\,\,y = \frac{1}{2}Ln\,\,(x + 5)\end{array}\)
حاصل هر یک از عبارات زیر را بنویسید.
\({\log _2}16 = \) الف
4
\({\log _7}49 = \) ب
2
\({\log _5}125 = \) پ
3
\(\log \,\,10 = \) ت
1
\(Ln\,\,{e^2} = \) ث
2
\(Ln\,\,\,\sqrt[3]{e} = \) ج
\(\frac{1}{3}\)
\({\log _{(\sqrt 3 - \sqrt 2 )}}(5 - 2\sqrt 5 ) = \) چ
\({\log _{(\sqrt 3 - \sqrt 2 )}}{(\sqrt 3 - \sqrt 2 )^2} = 2\)
\({\log _{\frac{1}{{\sqrt 2 - 1}}}}(\sqrt 2 + 1) = \) ح
می دانیم که \(\frac{1}{{\sqrt 2 - 1}} = \frac{1}{{\sqrt 2 - 1}} \times \frac{{\sqrt 2 + 1}}{{\sqrt 2 + 1}} = \frac{{\sqrt 2 + 1}}{{2 - 1}} = \sqrt 2 + 1\) ؛ بنابراین:
\({\log _{\frac{1}{{\sqrt 2 - 1}}}}(\sqrt 2 + 1) = {\log _{(\sqrt 2 + 1)}}(\sqrt 2 + 1) = 1\)
با فرض \({\log _2}\,\,({x^2} - x) = 1\) و x<0 ، مقدار \({3^x} + {x^3}\) را محاسبه نمایید.
\(\begin{array}{l}{\log _2}\,\,({x^2} - x) = 1 \Rightarrow \,({x^2} - x) = 2 \Rightarrow {x^2} - x - 2 = 0\\\\ \Rightarrow (x - 2)(x + 1) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\\\x = - 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\mathop \Rightarrow \limits^{x < 0} \,\,\,\,\,x = - 1\\\\ \Rightarrow {3^x} + {x^3} = {3^{ - 1}} + {( - 1)^3} = \frac{1}{3} - 1 = - \frac{2}{3}\end{array}\)
حاصل \(A = {\log _4}\,\,\left( {{{\log }_3}\,\,\left( {{{\log }_2}\,\,512} \right)} \right)\) را بیابید.
می دانیم \({2^9} = 512\) است، بنابراین \({\log _2}\,\,512 = 9\) و در نتیجه \(A = {\log _4}\,\,\left( {{{\log }_3}\,\,9} \right)\) است.
از طرفی \({3^2} = 9\) ، پس \({\log _3}\,\,9 = 2\) بوده و داریم \(A = {\log _4}\,\,2\) . حال مقدار A به راحتی بدست می آید:
\(A = {\log _4}\,\,2 = \frac{1}{2}\)
ثابت کنید \({\log _2}\,\,3 + {\log _2}\,\,5 = {\log _2}\,\,15\)
این تساوی به صورت زیر اثبات می شود:
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}{\log _2}\,\,3 = x \Rightarrow {2^x} = 3\\\\{\log _2}\,\,5 = y \Rightarrow {2^y} = 5\end{array} \right\}\,\,\,\mathop \Rightarrow \limits^ \times \,\,\,15 = {2^{x + y}} \Rightarrow x + y = {\log _2}\,\,15\\\\ \Rightarrow {\log _2}\,\,3 + {\log _2}\,\,5 = {\log _2}\,\,15\end{array}\)
تهیه کننده: استاد ملاسعیدی