درسنامه کامل حسابان (1) فصل 5 حد و پیوستگی

 عدد 3 نقطه ي وسط بازه است، پس

\(3 = \frac{{(3k - 2) + (k + 4)}}{2} \Rightarrow 4k + 2 = 6 \Rightarrow k = 1\)

بنابراين همسايگي به صورت \((1,5)\)در مي آيد و \(a = \frac{{1 + 5}}{2} = 3\) و\(\delta = 3 - 1 = 2\)

 ابتدا طوري دو بازه را مينويسيم كه اعداد از كوچك به بزرگ مرتب شوند و داريم \(y = 2\) چون همسايگي محذوف 2 است، بايد:

\(2 = \frac{{ - 2 + {x^2} + 1}}{2} \Rightarrow {x^2} - 2 = 4 \Rightarrow x = \pm \sqrt 6 \)

بنابراين داريم:

\(3{x^2} + y = 3( \pm \sqrt 6 ) + 2 = 20\)

الف)

\(\begin{array}{l}0 < \left| {x - a} \right| < \delta \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {x - a} \right| < \delta \\\\\left| {x - a} \right| \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \delta < x - a < a + \delta \\\\x \ne a\end{array} \right.\\\\x \in (a - \delta ,a + \delta ) - \left\{ a \right\}\end{array}\)

بنابراين يك همسايگي محذوف a را نمايش ميدهد.

ب)

\(\left| {x - a} \right| < \delta \Rightarrow - \delta < x - a < \delta \Rightarrow a - \delta < x < a + \delta \)

بنابراین یک همسايگي هست ولی همسایگی محذوف نیست.

می دانیم پس داريم :

الف) \(\left( {2,3} \right) \subseteq {D_f}\)پس تابع در همسايگي \(\left( {2,3} \right)\) تعريف شده است.

ب)\(\left( {0,2} \right) \subseteq {D_f}\) پس تابع در همسايگي \(\left( {0,4} \right)\)تعريف نشده است.

ج)\(\left( { - 2,1} \right) \not\subset {D_f}\) پس تابع در همسايگي \(\left( { - 2,1} \right)\) تعريف نشده است

د) \(\left( { - 1, - 3} \right) \not\subset {D_f}\)پس تابع در همسایگی \(\left( { - 1, - 3} \right)\)تعریف نشده است.

می دانیم\({D_f} = \left[ {1, + \infty )} \right.\) پس \(\delta \)هر عدد مثبتي كه باشد تابع در همسايگي\((1,1 + \delta )\) تعريف شده است . ولي به ازاي هيچ مقدار مثبتي از δ در همسايگي هاي \((1 - \delta ,1 + \delta )\)و \((1 - \delta ,1)\) تعريف نشده است.

با توجه به شكل داريم:

\({D_f} = \left( { - \infty ,0} \right) \cup \left( {0,3} \right) \cup \left( {4, + \infty } \right)\)

بنابراين تابع در همسايگي هاي\(\left( {0,3} \right),\left( {1,2} \right),\left( { - 3, - 1} \right)\) و \(\left( {2,3} \right)\) تعريف شده ولي در همسايگي هاي \(\left( {0,7} \right),\left( { - 2,2} \right)\)و \(\left( {3,4} \right)\)تعريف نشده است.

همانگونه که از جدول مشاهده می شود بانزدیک شدن مقادیر متغیر x  به عدد 5 مقادیر تابعf  به عدد 13 نزدیک می شوند و داریم :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} (2x + 3) = 13\)

توجه:تابع fدر\(x = 5\) تعریف شده است و \(f(5) = 13\)می باشد.

همانگونه که از جدول مشاهده می شود با نزدیک شدن مقادیر متغیر x به عدد 2مقادیر تابع f به عدد 4 نزدیک می شوندو داریم:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}\)

توجه:تابعf در x=2 تعریف نشده است ولی حد دارد.

همانگونه که از جدول مشاهده می شود وقتی متغیر به عدد یک نزدیک می شودمقادیر تابع به هیچ عددی نزدیک نمی شوندو از نظر قدر مطلق مرتبا افزایش می یابند.بنابراین میگوییم تابع fدرx=1 حد ندارد.

توجه:تابع fدرx=1 نه تعریف شده است و نه حد دارد.

الف)

باتوجه به اینکه\({D_f} = ( - \infty ,0) \cup \left[ {1, + \infty )} \right.\) پس تابع f در هیچ همسایگی\(\frac{1}{2}\) تعریف نشده است.یعنی نمیتوان از حدتابع fدر\(x = \frac{1}{2}\) صحبت کرد.

ب)

با توجه به اين كه \({D_f} = R\)پس میتوان درمورد حد تابع در  x=2صحبت کرد

ج)

با توجه به اين كه \({D_f} = R - \left\{ 1 \right\}\)پس میتوان درمورد حد تابع در x=2 را بررسي کرد

همانگونه كه از جدول مشاهده ميشود داريم:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = 0\)

توجه: تابع f در x=1تعريف نشده است ولي حد دارد.

بنابراین داریم:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left| x \right|}}{x} = 1\)

نمودار تابع f در فاصله ی \((1, + \infty )\)به صورت زیر است.

بنابراين داريم:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left| x \right|}}{x} = 1\)

نمودار تابع f در فاصله ي \(\left( { - \infty ,1} \right)\)به صورت زير است.

همانگونه كه از نمودار مشاهده مي شود با نزديك شدن مقادير x از طرف چپ ( مقادير كوچكتر از يك) به يك، مقادير f(x)به عدد 2 نزديك ميشوند. بنابراين داريم:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = 2\)

نمودار تابع به صورت زير است.

با توجه به نمودار داريم

\(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = 0\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = 1\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x)\)

وجود ندارد

نمودار تابع به صورت زير است.

با توجه به نمودار داريم:

\(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = - 1\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = - 1\)

ج)نمودار تابع به صورت زير است.

 با توجه به نمودار داريم:

\(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = 1\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = 2\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = 1\)

وجود ندارد

الف

 با توجه به نمودار تابع در x=2از چپ حد ندارد و از راست نيز حد ندارد. بنابراين تابع در x=2حد ندارد .

ب)تابع g در  x=2از چپ حد ندارد ولي \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = 0\) بنابراين g در x=2حد ندارد.

ج)به دليل عدم تعريف تابع h در يك همسايگي چپ ،2 بحث از وجود حد چپ در اين نقطه معنادار نيست. ازدر واقع منظور حد تابع h در x=2همان حد راست تابع h در x=2است. يعني:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} h(x) = 1\)

\(\left. \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} ({x^2} + x) = 6\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} (ax + b) = 2a + b\end{array} \right\}\)

با توجه به اين كه f تابعي زوج است، نمودار آن نسبت به محور y ها متقارن است. بنابراين داريم:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = 3\)(الف

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = 0\)(ب

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x) = 1\)(ج

با توجه به اين كه f تابعي زوج است، نمودار آن نسبت به محور y ها متقارن است. بنابراين داريم:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = 3\)(الف

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = 0\)(ب

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = 1\)(ج

الف)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} (2x + 3) = 1 \times 4 + 3 = 11\)

ب)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} ({x^2} - 3x + 5) = {1^2} - 3(1) + 5 = 3\)

ج)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } ({x^3} - 2{x^2} + x) = {\left( {\sqrt 2 } \right)^3} + 2{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + \sqrt 2 = 3\sqrt 2 + 4\)

د)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{1 - 5x}}{3} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} ( - \frac{5}{3}x + \frac{1}{3}) = - \frac{5}{3}(7) + \frac{1}{3} = - \frac{{34}}{3}\)

الف)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sqrt x = \sqrt 0 = 0\)

توجه: منظور از\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sqrt x \)درواقع\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt x \) است . زيرا تابع\(y = \sqrt x \) تنها در همسايگي راست صفر تعريف شده است.

ب(

\({\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} ^3}\sqrt x { = ^3}\sqrt 0 = 0\)

ج)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 8} (\sqrt x { + ^3}\sqrt x - 2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 8} \sqrt {x + } {\mathop {\lim }\limits_{x \to 8} ^3}\sqrt x - \mathop {\lim }\limits_{x \to 8} 2 = \sqrt 8 { + ^3}\sqrt 8 - 2 = 2\sqrt 2 + 2 - 2 = 2\sqrt 2 \)

د)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \sin x = \sin x\frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

هـ)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} {\sin ^2}x = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} (\sin x\sin x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \sin x \times \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \sin x = 1 \times 1 = 1\)

و)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} (2\sin x - 3\cos x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} 2\sin x - \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} 3\cos x\\\\2\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \sin x - 3\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \cos x\\\\2\sin x\frac{\pi }{4} - 3\cos \frac{\pi }{4}\\\\\sqrt 2 - 3\frac{{\sqrt 2 }}{2} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)

ز)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {3^x} = {3^{ - 2}} = \frac{1}{9}\)

ح)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} {2^x} = {2^4} = 16\)

الف )

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{2x - 1}} = \frac{{4 + 8 + 3}}{{4 - 1}} = \frac{{15}}{3} = 5\)

ب)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\cos x + \sin x}}{{2\sin x - \cos x}} = \frac{{0 + 1}}{{2 - 0}} = \frac{1}{2}\)

ج)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt x + 2x}}{{{x^2} - 3}} = \frac{{2 + 4}}{{16 - 3}} = \frac{6}{{13}}\)

د)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x - 1) = 0\)پس وقتي x به 1 نزديك ميشود، قدرمطلق مقادير  \(\frac{1}{{x - 1}}\)به طور نامحدود افزايش  مييابد و به عدد خاصي نزديك نميشوند. بنابراين \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{x - 1}}\) وجود ندارد.

هـ)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \tan x = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{{\sin \frac{\pi }{4}}}{{\cos \frac{\pi }{4}}} = 1\)

الف)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 - \sin x}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - {{\sin }^2}x}}{{1 - \sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 - {{\sin }^2}x)(1 + {{\sin }^2}x)}}{{1 - \sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (1 + \sin x) = 1\)

ب)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x}}{{1 - {{\cos }^2}x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x}}{{(1 - \cos )(1 + \cos )}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{1 + \cos }} = \frac{1}{2}\)

ج)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{1 - \sin 2x}}{{\sin x - \cos x}}\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\sin 2x + {{\cos }^2}x - 2\sin x\cos x}}{{\sin x - \cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{{{(\sin x - \cos x)}^2}}}{{\sin x - \cos x}}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} (\sin x - \cos x) = \sin \frac{\pi }{4} - \cos \frac{\pi }{4} = 0\end{array}\)

د)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\tan (x - \frac{\pi }{4})}}{{2\sin (\frac{\pi }{4} - x)}}\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\frac{{\sin (x - \frac{\pi }{4})}}{{\cos (x - \frac{\pi }{4})}}}}{{ - 2\sin (x - \frac{\pi }{4})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{1}{{ - 2\sin (x - \frac{\pi }{4})}} = - \frac{1}{2}\)

ه)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\sin }^2}x - {{\sin }^3}x}}{{{{\cos }^2}x - {{\cos }^3}x}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\sin }^2}x(1 - \sin x)}}{{{{\cos }^2}x(1 - \cos x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 - {{\cos }^2}x)(1 - \sin x)}}{{{{\cos }^2}x(1 - \cos x)}}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 - {{\cos }^2}x)(1 + \cos x)(1 - \sin x)}}{{{{\cos }^2}x}}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 + \cos x)(1 - \sin x)}}{{{{\cos }^2}x}} = 2\end{array}\)

و)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{1 - \tan x}}{{\sin x - \cos x}}\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{1 - \frac{{\sin x}}{{\cos x}}}}{{\sin x - \cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{1 - \frac{{\cos x - \sin x}}{{\cos x}}}}{{\sin x - \cos x}}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{1 - \frac{{(\sin x - \cos x)}}{{\cos x}}}}{{\sin x - \cos x}}\end{array}\)

ز)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{{2\pi }}{3}} \frac{{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}}{{2\cos x + 1}}\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{{2\pi }}{3}} \frac{{(\sin x + \sin 3x) + \sin 2x}}{{2\cos x + 1}}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{{2\pi }}{3}} \frac{{2\sin x2x\cos x + \sin 2x}}{{2\cos x + 1}}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{{2\pi }}{3}} \frac{{\sin x(2x\cos x + 1)}}{{2\cos x + 1}}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{{2\pi }}{3}} \sin 2x = \sin \frac{{4\pi }}{3} = - \frac{{\sqrt 2 }}{3}\\\end{array}\)

الف)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 9}}{{{x^3} - 27}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{(x - 3)(x + 3)}}{{(x - 3)({x^2} + 3x + 9)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x + 3}}{{{x^2} + 3x + 9}} = \frac{6}{{27}} = \frac{2}{9}\)

 با توجه به اينكه x=3صورت و مخرج را صفر ميكند. صورت و مخرج بر x-3 بخشپذير هستند.

ب)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^5} + 32}}{{{x^3} + 8}}\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^5} + {2^5}}}{{{x^3} + {2^3}}}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{(x + 2)({x^4}\_2{x^3} + 4{x^2} - 8x + 16)}}{{(x + 2)({x^2} - 2x + 4)}}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^4}\_2{x^3} + 4{x^2} - 8x + 16)}}{{{x^2} - 2x + 4}} = \frac{{80}}{{12}} = \frac{{20}}{3}\end{array}\)

ج)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3}2x - 3}}{{{x^4} - 1}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x - 1)({x^2} + x + 3)}}{{(x - 1)(x + 1)({x^2} + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + x + 3}}{{(x + 1)({x^2} + 1)}} = \frac{5}{4}\)

عدد يك، صورت را صفر ميكند. با توجه به اينكه جواب حد عدد 2 است. لازم است  x=1ريشه ي چندجمله اي مخرج نيز باشد. يعني  \(1 + a + b = 0\)بنابراين صورت و مخرج هر دو عامل x-1دارند. پس داريم:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + ax + b}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + ax + ( - a - 1)}}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x - 1)(x - 5)}}{{(x - 1)(x + a + 1)}}\\\\ = \frac{{ - 4}}{{2 + a}}\\\\ \Rightarrow \frac{{ - 4}}{{2 + a}} = 2 \Rightarrow 4 + 2a = - 4 \Rightarrow a = - 4\\\\1 + a + b = 0b = 3\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^n} - {2^n}}}{{x - 2}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x - 2)({x^{n - 1}} + 2{x^{n - 2}} + 4{x^{n - 3}} + ... + {2^{n - 1}})}}{{x - 2}}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} ({x^{n - 1}} + 2{x^{n - 2}} + 4{x^{n - 3}} + ... + {2^{n - 1}})\\\\ = {2^{n - 1}} + {2^{n - 1}} + {2^{n - 1}} + ... + {2^{n - 1}}\\\\ = n \times {2^{n - 1}}\\\\ = 80\\\\ \Rightarrow n = 5\end{array}\)

الف)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{x - 1}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{x - 1}} \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{\sqrt {x + 3} - 2}}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {x + 3} + 2} \right)}}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} = \frac{1}{4}\end{array}\)

ب)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 - \sqrt x }}{{{x^2} + x - 2}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 - \sqrt x }}{{{x^2} + x - 2}} \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 + \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 - x}}{{(x - 1)(x + 2)(1 + \sqrt x )}}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - 1}}{{(x + 2)(1 + \sqrt x )}} = \frac{{ - 1}}{6}\end{array}\)

ج)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 2} - \sqrt 3 }}{{\sqrt {x + 3} - 2}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 2} - \sqrt 3 }}{{\sqrt {x + 3} - 2}} \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 2} + \sqrt 3 }}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt 3 }} \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 2} + 2}}{{\sqrt {x + 3} + 2}}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x - 1) - (\sqrt {x + 3} - 2)}}{{(x - 1) - (\sqrt {x + 3} - 2)}}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3} + 2}}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt 3 )}} = \frac{4}{{2\sqrt 3 }} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\end{array}\)

د)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{^3\sqrt {x + 3} - 2}}{{{x^2} - 25}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{^3\sqrt {x + 3} - 2}}{{{x^2} - 25}} \times \frac{{{(^3}\sqrt {x + 3} ) + {2^3}\sqrt {x + 3} + 4}}{{{(^3}\sqrt {x + 3} ) + {2^3}\sqrt {x + 3} + 4}}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{x - 5}}{{(x - 5)(x + 5)({{{(^3}\sqrt {x + 3} )}^2} + {2^3}\sqrt x + 4}} = \frac{1}{{10 \times 12}} = \frac{1}{{120}}\end{array}\)

ه)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 27} \frac{{^3\sqrt {x\_3} }}{{\sqrt {x + 3} - 5}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 27} \frac{{^3\sqrt {x - 3} }}{{\sqrt {x + 2} - 5}} \times \frac{{{{{(^3}\sqrt x )}^2} + {3^3}\sqrt x + 9}}{{{(^3}\sqrt x ) + {3^3}\sqrt x + 9}} \times \frac{{\sqrt {x - 2} + 5}}{{\sqrt {x - 2} + 5}}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 27} \frac{{(x - 27)(\sqrt {x - 2} + 5)}}{{(x - 27)({(^3}\sqrt {x{)^2}} + {3^3}\sqrt x + 9}} = \frac{{10}}{{27}}\end{array}\)

و)با توجه به اتحاد \({a^4} - {b^4} = (a - b)({a^3} + {a^2}b + a{b^2} + {b^3})\)داریم:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 16} \frac{{^4\sqrt {x - 2} }}{{\sqrt {x - 4} }}\mathop {\lim }\limits_{x \to 16} \frac{{^4\sqrt {x - 2} }}{{\sqrt {x - 4} }} \times \frac{{{(^4}{{\sqrt {x)} }^3} + 2{(^4}{{\sqrt {x)} }^2} + {4^4}\sqrt {x + 8} }}{{{(^4}{{\sqrt {x)} }^3} + 2{(^4}{{\sqrt {x)} }^2} + {3^3}\sqrt x + 9}} \times \frac{{\sqrt {x + 4} }}{{\sqrt {x + 4} }}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 16} \frac{{(x - 16)(\sqrt x + 4)}}{{(x - 16)({(^4}{{\sqrt {x)} }^3} + 2{(^4}{{\sqrt {x)} }^{^2}} + {4^4}\sqrt x + 8}} = \frac{8}{{32}} = \frac{1}{4}\end{array}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} \times \frac{1}{{\cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\cos x}} = 1 \times 1 = 1\)

الف)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 3x}}{x}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 3x}}{{3x}} \times 3 = 1 \times 3 = 3\)

ب)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x + \sin 3x}}{{5x}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sin x}}{x} + \frac{{\sin 3x}}{x}}}{{\frac{{5x}}{x}}} = \frac{{1 + 3}}{5} = \frac{4}{5}\)

ج)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\sin 2x}}{{\tan {x^2}}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x \times \frac{{\sin 2}}{{2x}} \times 2x}}{{\frac{{\tan {x^2}}}{{{x^2}}} \times {x^2}}} = 2\)

د)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos 2x}}{{3{x^2}}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{{\sin }^2}x}}{{3{x^2}}} = \mathop {\frac{2}{3}\lim }\limits_{x \to 0} {(\frac{{\sin x}}{x})^2} = \frac{2}{3} \times 1 = \frac{2}{3}\)

ه)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos 7x}}{{1 - \cos 4x}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{{\sin }^2}(\frac{{7x}}{2})}}{{2{{\sin }^2}x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(\frac{{2{{\sin }^2}\frac{{7x}}{2}}}{{\frac{{7x}}{2}}}) \times {{(\frac{{7x}}{2})}^2}}}{{(\frac{{2{{\sin }^2}x}}{{2x}}) \times {{(2x)}^2}}} = \frac{{1 \times \frac{{49}}{4}}}{{1 \times 4}} = \frac{{49}}{{16}}\)

و)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x - \sin x}}{{4{x^3}}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - \sin x}}{{4{x^3}}}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x - \cos x\sin x}}{{4{x^3}\cos x}}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x(1 - \cos x)}}{{4{x^3}\cos x}}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x(2{{\sin }^2}x\frac{x}{2})}}{{4{x^3}\cos x}}\\\\\mathop {\frac{1}{2}\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sin x}}{x} \times x \times {{(\frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\frac{x}{2}}})}^2} \times {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}}}{{{x^3}\cos x}} = \frac{1}{2} \times \frac{{1 \times \frac{1}{4}}}{1} = \frac{1}{8}\end{array}\)

ز)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x - \cos 2x}}{{\cos 2x - \cos 3x}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 2\frac{{x - 2x}}{x}\sin \frac{{x + 2x}}{x}}}{{ - 2\frac{{x - 3x}}{2}\sin \frac{{x + 3x}}{2}}}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \frac{x}{2}\sin \frac{{3x}}{2}}}{{\sin \frac{x}{2}\sin \frac{{5x}}{2}}}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sin \frac{{3x}}{2}}}{{\frac{{3x}}{2}}} \times \frac{{3x}}{2}}}{{\frac{{\sin \frac{{5x}}{2}}}{{\frac{{5x}}{2}}} \times \frac{{5x}}{2}}} = \frac{3}{5}\end{array}\)

ح)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sin (x - 2)}}{{\tan ({x^2} - 3x + 2)}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\frac{{\sin (x - 2)}}{{(x - 2)}} \times (x - 2)}}{{\frac{{\tan ({x^2} - 3x + 2)}}{{({x^2} - 3x + 2)}} \times (x - 2)(x - 1)}} = 1\)

ط)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\cos x}}{{2x - \pi }}\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\sin (\frac{\pi }{2} - x)}}{{ - 2(\frac{\pi }{2} - x)}} = - \frac{1}{2}\sin \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\sin (\frac{\pi }{2} - x)}}{{(\frac{\pi }{2} - x)}} = - \frac{1}{2} \times 1 = - \frac{1}{2}\)

الف)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\sin x} \right]\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{3}{2}} x = \frac{3}{2} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{3}{2}} \left[ x \right] = \left[ {\frac{3}{2}} \right] = 1\)

ب)

\(\left\{ \begin{array}{l}x \to {2^ - } \Rightarrow 1 < x < 2 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left[ x \right] = 1\\\\x \to {2^ + } \Rightarrow 2 < x < 3 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left[ x \right] = 2\end{array} \right.\)

پس تابع \(\left[ x \right]\) در  x=2حد ندارد.

 ج)

\(x \to 0 \Rightarrow 0 < {x^2} < 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {{x^2}} \right] = 0\)

د)

\(\left\{ \begin{array}{l}x \to - {2^ - } \Rightarrow 3x \to - {6^ - } \Rightarrow 3x - 1 \to - {7^ - } \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \left[ {3x - 1} \right] = - 8\\\\x \to - {2^ + } \Rightarrow 3x \to - {6^ + } \Rightarrow 3x - 1 \to - {7^ + } \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \left[ {3x - 1} \right] = - 7\end{array} \right.\)

ه)

\(\left\{ \begin{array}{l}x \to {0^ - } \Rightarrow - 1 < \sin x < 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left[ {\sin x} \right] = - 1\\\\x \to {0^ + } \Rightarrow 0 < \sin x < 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left[ {\sin x} \right] = 0\end{array} \right.\)

پس تابع\(\left[ {\sin x} \right]\) در x=0حد ندارد

و)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2x + 4}}{{x + 1}} = \frac{8}{3} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2x + 4}}{{x + 1}} = \left[ {\frac{8}{3}} \right] = 2\)

ز)

\(\begin{array}{l}\frac{{2x + 4}}{{x + 1}} = \frac{{2x + 2 + 2}}{{x + 1}} = 2 + \frac{2}{{x + 1}}\\\\\\x > 1 \Rightarrow x + 1 > 2 \Rightarrow 0 < \frac{1}{{x + 1}} < \frac{1}{2} \Rightarrow 0 < \frac{2}{{x + 1}} < 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {\frac{2}{{x + 1}}} \right] = 0\\\\0 < x < 1 \Rightarrow 1 < x + 1 < 2 \Rightarrow \frac{1}{2} < \frac{1}{{x + 1}} < 1 \Rightarrow 1 < \frac{2}{{x + 1}} < 2 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left[ {\frac{2}{{x + 1}}} \right] = 1\end{array}\)

بنابراین

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {\frac{{2x + 4}}{{x + 1}}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {2 + \frac{2}{{x + 1}}} \right]\\\\\mathop {\lim (2 + }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {\frac{2}{{x + 1}}} \right])\\\\2 + \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^\_}} \left[ {\frac{{2x + 4}}{{x + 1}}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left[ {2 + \frac{2}{{x + 1}}} \right])\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left[ {\frac{{2x + 4}}{{x + 1}}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left[ {2 + \frac{2}{{x + 1}}} \right]\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (2 + \left[ {\frac{2}{{x + 1}}} \right])\\\\2 + \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left[ {\frac{2}{{x + 1}}} \right] = 3\end{array}\)

لذا تابع \(\left[ {\sqrt 2 \cos x} \right]\)در \(x = \frac{{3\pi }}{4}\)حد ندارد

ح)

\(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{3{\pi ^ - }}}{4} \Rightarrow - \frac{{\sqrt 2 }}{2} < \cos x < 0 \Rightarrow - 1 < \sqrt 2 \cos x < 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{{3{\pi ^ - }}}{4}} \left[ {\sqrt 2 \cos x} \right] = - 1\\\\x = \frac{{3{\pi ^ + }}}{4} \Rightarrow - 1 < \cos x < - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow - \sqrt 2 < \sqrt 2 \cos x < - 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{{3{\pi ^ + }}}{4}} \left[ {\sqrt 2 \cos x} \right] = - 2\end{array} \right.\)

لذا تابع \(\left[ {\sqrt 2 \cos x} \right]\)در \(x = \frac{{3\pi }}{4}\)حد ندارد

ط)وقتی\(x > 1\)میدانیم\(\sin x < x\)پس\(0 < \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left[ {\frac{{\sin x}}{x}} \right] < 1\)بنابراین \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left[ {\frac{{\sin x}}{x}} \right] = 0\)همچنین با توجه به زوج بودن تابع \(\frac{{\sin x}}{x}\)داریم \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left[ {\frac{{\sin x}}{x}} \right] = 0\)و لذا\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{{\sin x}}{x}} \right] = 0\)

ی)اگر \(x \to {1^ - }\)داریم

\(\left\{ \begin{array}{l}\left[ x \right] = 0\\\\1 < x + \frac{1}{2} < \frac{3}{2} \Rightarrow \left[ {x + \frac{1}{2}} \right] = 1\\\\ - 2 < - 2x < - 1 \Rightarrow \left[ { - 2x} \right] = - 2\end{array} \right.\)

پس حد چپ به صورت زیر محاسبه می شود

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left[ x \right] + 3 + x}}{{\left[ {x + \frac{1}{2}} \right] + \left[ { - 2x} \right] + 4 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{0 + 3 + x}}{{1 - 2 + 4 - x}} = \frac{4}{2} = 2\\\end{array}\)

و اگر\(x \to {1^ + }\) داریم :

\(\left\{ \begin{array}{l}\left[ x \right] = 1\\\\\frac{3}{2} < x + \frac{1}{2} < 2 \Rightarrow \left[ {x + \frac{1}{2}} \right] = 1\\\\ - 3 < - 2x < - 2 \Rightarrow \left[ { - 2x} \right] = - 3\end{array} \right.\)

پس حد راست به صورت زیر محاسبه میشود

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left[ x \right] + 3 + x}}{{\left[ {x + \frac{1}{2}} \right] + \left[ { - 2x} \right] + 4 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{1 + 3 + x}}{{1 - 3 + 4 - x}} = \frac{5}{1} = 5\)

لذا تابع در x=1حد ندارد

الف)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left| {x - 2} \right| = \left| {2 - 2} \right| = 0\)

ب)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left| {x - 2} \right| = \left| {1 - 2} \right| = 1\)

ج)

تابع در اینجا حد ندارد \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left| {x - 2} \right|}}{{x - 2}}\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{ - (x - 2)}}{{x - 2}} = - 1\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - x - 2}}{{x - 2}} = 1\end{array} \right. \Rightarrow x = 2\)

د)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left| {x - 2} \right| - 3}}{{\left| {x - 2} \right| + 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left| {1 - 2} \right| - 3}}{{\left| {1 - 3} \right| + 4}} = \frac{{ - 3}}{6} = - \frac{1}{2}\)

ه)

تابع در \(x = \frac{\pi }{2}\)حد ندارد\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\left| {\cos x} \right|}}{{x - \frac{\pi }{2}}}\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{2}}^ - }} \frac{{\cos x}}{{x - \frac{\pi }{2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{2}}^ - }} \frac{{\sin (\frac{\pi }{2} - x)}}{{ - (\frac{\pi }{2} - x)}} = - 1\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{2}}^ + }} \frac{{ - \cos x}}{{x - \frac{\pi }{2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{2}}^ + }} \frac{{ - \sin (\frac{\pi }{2} - x)}}{{ - (\frac{\pi }{2} - x)}} = 1\\\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} - 1 \le \cos \frac{1}{{x - 1}} \le 1 \Rightarrow - \left| {x - 1} \right| \le \left| {x - 1} \right|cos\frac{1}{{x - 1}} \le \left| {x - 1} \right|\\\\\\\mathop {\lim - }\limits_{x \to 1} \left| {x - 1} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left| {x - 1} \right| = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left| {x - 1} \right|\cos \frac{1}{{x - 1}} = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left| {f(x) - 2} \right| \le {(x - 1)^2} \Rightarrow - {(x - 1)^2} \le f(x) - 2 \le {(x - 1)^2} \Rightarrow \\\\2 - {(x - 1)^2} \le f(x) \le 2 + {(x - 1)^2}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (2 + {(x - 1)^2}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (2 - {(x - 1)^2}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{f(x)}} = \frac{1}{2}\end{array}\)

الف)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0\)

پس تابع در  x=0پیوسته است.

توجه:در اصطلاح باتوجه به این که در واقع \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = f(0)\)میگویند تابع  fدر x=0تنهااز راست پیوسته است.

ب)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) = 1\)

پس تابع fدرx=1 پیوسته است.

ج)

\(f(2) = 2\)ولی \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \frac{1}{2}\)پس\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) \ne f(2)\) بنابراین تابعf درx=2  پیوسته نیست

د)

تابع fدر x=3حدندارد پس دراین نقطه پیوسته نیست.

توجه:در اصطلاح می گویند تابع  fدر  x=3تنها پیوستگی چپ دارد.

نمودارتابع \(y = \left| x \right|\) به صورت زیر می باشد باتوجه به نمودار تابع در zناپیوسته است (البته میتوان ثابت کرد تابع\(y = \left| x \right|\) در \(x \in z\)ناپیوسته ودر \(\)پیوسته است.)

الف)

میدانیم \({D_f} = \left[ {1, + \infty )} \right.\)و \(0 \notin {D_f}\)بنابراین بحث از پیوستگی این تابع در x=0بی معنا است.

ب)

تابعf  در  x=2پیوسته است زیرا :\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2) = 3\)

توجه :توابع چند جمله ای در هر نقطه ای ازR پیوسته هستند.

ج)

\(\left. \begin{array}{l}f(1) = 2\\\\f( - 1) = 3\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f({x^2} + 1) = 2\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = 2\\\end{array} \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = 2\)

تابع f در x=1پيوسته است زيرا\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1)\)

د)

\(\left. \begin{array}{l}f(1) = 3\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f({x^2} + 1) = 2\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{(x - 1)(x + 1)}}{{x - 1}} = 2\\\end{array} \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = 2\)

تابع f در پيوسته نيست زيرا\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) \ne f(1)\)

ه)

\(\begin{array}{l}f(1) = - 3\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f( - 3x) = 3\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} ({x^2} + 1) = 2\end{array}\)

تابع f درx=0پيوسته است زيرا\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = f(0)\)

و)

\(\begin{array}{l}f( - 1) = 3\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f( - 3x) = - 3\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f({x^2} + 1) = 2\end{array}\)

تابع f در X=-1حد ندارد. بنابراين تابع f در X=-1 پيوسته نيست، زيرا در اين نقطه حد ندارد ( همانگونه كه بيان شد تابع f در X=-1تنها پيوستگي راست دارد)

\(\left. \begin{array}{l}f(1) = - 3\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f( - 3x) = - 3\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x - 4) = - 3\end{array} \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = - 3\)

تابع f درx=1پيوسته است زيرا \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1)\)

\(\begin{array}{l}f(2) = \left[ {2 + a)} \right.\left[ {4 - 5) = - a - 2} \right.\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} (x + a)\left[ {2x - 5)} \right. = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} (x + a)( - 2) = - 4 - 2a\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x + a)\left[ {2x - \left. 5 \right]} \right. = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x + a)( - 1) = 2 - a\end{array}\)

با توجه به اينكه بايد داشته باشيم \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = f(2)\)پس لازم است\( - a - 2 = - 4 - 2a\) بنابراينa=-2   ميباشد.

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sin x}}{{\sqrt {1 - \cos 2x} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sin x}}{{\sqrt {2{{\sin }^2}x} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sin x}}{{\sqrt {2\left| {\sin x} \right|} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sin x}}{{ - \sqrt {2\sin x} }} = \\\\\sqrt 2 \frac{{\sin x}}{{ - \sqrt {2\sin x} }} = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (\left| x \right| + b) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (0 + b) = b\end{array}\)

الف(

 دامنه ي تابع f ، بازه ي \(\left[ {0,2} \right]\)ميباشد. اگر \(0 < x < 2\) ، آنگاه:

\(\)\(\)

 اگر  x=0 و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} = f(x) = 0 = f(0)\)واگر x=2، آنگاه. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} = f(x) = 0 = f(2)\) پس تابع f ، تابعي پيوسته ميباشد.

ب)

دلخواه

بنابراين g تابعي پيوسته است.

ج)

\(\begin{array}{l}{D_h} = R\\0 \in {D_h} = \left\{ \begin{array}{l}h(0) = 2\\\\\mathop {\lim h(x) = 1}\limits_{x \to 0} \end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim h(x) \ne h(0)}\limits_{x \to 0} \end{array}\)

بنابراين h تابعي پيوسته نيست

الف)

صورت و مخرج توابع چند جمله اي هستند و در هر نقطه اي پيوسته، پس تابع f روي \({D_f} = R - \left\{ { - 2} \right\}\)پيوسته است.

ب) تابع \(y = {x^2} - 4\)چند جمله اي است و در هر نقطهاي پيوسته، پس تابع g در دامنه تعريف خود يعني \(\left( { - \infty ,2} \right) \cup \left[ {2, + \infty )} \right.\) تابع پيوسته است.

ج) تابع \(y = \tan x\)روی \(D = \left\{ {\left. x \right|} \right.x \ne k\pi + \left. {\frac{\pi }{2}} \right\}\)و تابع\(y = \cot x\) روی  \({D_f} = \left\{ {\left. x \right|} \right.x \ne k\left. \pi \right\}\)پيوسته اند  پس تابع h روي\({D_f} = \left\{ {\left. x \right|} \right.x \ne \left. {\frac{{k\pi }}{2}} \right\}\) است پيوسته است.

میدانیم \({D_f} = R - \left\{ { - 2} \right\}\)و هر يك از رابطه ها روي دامنه ي تعريف خود پيوسته اند. پس كافي است ض ميدانيم \(x = R - \left\{ 2 \right\}\)پيوستگي تابع در  x=3را بررسي كنيم .

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{x + 1}}{{x - 2}} = 4\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{x + 1}}{{x + 2}} = \frac{4}{5}\end{array}\)

تابع در  x=3پیوسته نیست بنابراین تابع f روي\(\left( { - \infty , - 2} \right) \cup \left( { - 2,3} \right) \cup \left( {3, + \infty } \right)\) پيوسته است.

 صورت و مخرج توابع چند جمله اي هستند و در هر نقطهاي از ℜ پيوسته ميباشند. پس كافي است دامنه تعریف تابع برابرR باشد.یعنی باید معادله \({x^2} + kx + 1 = 0\)فاقد ريشه باشد بنابراين لازم است:

\(\Delta < 0 \Rightarrow {k^2} - 4 < 0 \Rightarrow \left| k \right| < 2 \Rightarrow - 2 < k < 2\)

حل روش اول :

تابع  y=xتابع چند جمله ای است ودر دلخواه پیوسته است پس تابع \(g(x){ = ^3}\sqrt x \)در پیوسته است و تابع \(h(x) = \sin x\)در هر نقطه ای از جمله پیوسته است پس تابع

\(f(x) = h(g(x)) = {\sin ^3}\sqrt x \)

در \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \sqrt {{x^2} + 3} = \sqrt {\mathop {\lim ({x^2} + 3)}\limits_{x \to 1} } = \sqrt 4 = 2\)پیوسته است.

روش دوم :

بنابراین تابع fروی \({D_f} = R\) تابعی پیوسته است.

\(\begin{array}{l}v(x) = {x^3}\\\\\frac{{v}}{{x}} = \frac{{v(5) - v(2)}}{{5 - 2}} = \frac{{125 - 8}}{3} = 39\end{array}\)

\(\begin{array}{l}s(r) = \pi {r^2} \to {s^`}(r) = 2\pi r\\\\{s^`}(5) = 2\pi r\left( 5 \right) = 10\pi \end{array}\)

\(\begin{array}{l}f(t) = 30 + 10{t^2}\\\\f(2) = 30 + 10{(2)^2} = 70\\\\f(7) = 30 + 10{(7)^2} = 520\\\\\frac{{f}}{{x}} = \frac{{f(7) - f(2)}}{{7 - 2}} = \frac{{520 - 70}}{5} = 90\end{array}\)

\(\begin{array}{l}l = (1) + (2) - 2(1)(2)\cos \alpha \to l(\alpha ) = \sqrt {5 - 4\cos \alpha } \\\\{l^`}(\alpha ) = \frac{{4\cos \alpha }}{{2\sqrt {5 - 4\cos \alpha } }} = \frac{{2\sin \alpha }}{{\sqrt {5 - 4\cos \alpha } }}\\\\{l^`}(\frac{\pi }{4}) = \frac{{2\sin (\frac{\pi }{4})}}{{\sqrt {5 - 4\cos (\frac{\pi }{4})} }} = \frac{{2\sqrt {\frac{2}{2}} }}{{\sqrt {5 - 4(\frac{{\sqrt 2 }}{2})} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {5 - 2\sqrt 2 } }}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}s(r) = \pi {r^2}s(p) = \pi {(\frac{p}{{2\pi }})^2} = {\frac{p}{{4\pi }}^2}\\\\s(p) = {\frac{p}{{4\pi }}^2} \to {s^`}(p) = \frac{{2p}}{{4\pi }} = \frac{p}{{2\pi }}\\\\s(5\pi ) = \frac{{5\pi }}{2} = 2/5\end{array}\)

تابع تخلیه آب

\(\begin{array}{l}v(t) = 60 - 60{(1 - \frac{t}{{200}})^2} = 60(1 - (1 - \frac{t}{{100}} + \frac{{{t^2}}}{{4000}}))\\\\ = 60(\frac{t}{{100}} - \frac{{{t^2}}}{{4000}})60 \times \frac{{400t - {t^2}}}{{4000}} = \frac{3}{{2000}}(400t - {t^2})\end{array}\)

الف

\(\begin{array}{l}v(t) = \frac{3}{{2000}}(400t - {t^2})\\\\v(0) = \frac{3}{{2000}}(400(0) - {(0)^2}) = 0\\\\v(60) = \frac{3}{{2000}}(400(60) - {(60)^2}) = 30/6\\\\\frac{{v}}{{t}} = \frac{{v(60) - v(0)}}{{60 - 0}} = \frac{{30/6 - 0}}{{60}} = 0/51\end{array}\)

ب

\(\begin{array}{l}v(t) = \frac{3}{{2000}}(400t - {t^2}) \to v(t) = \frac{3}{{2000}}(400 - 2t) = \frac{3}{{1000}} = (200 - t)\\\\{v^`}(100) = \frac{3}{{1000}}(200 - 100) = \frac{3}{{10}} = 0/3\end{array}\)

\(x(t) = {t^2} - t + 6\)

الف

\(\begin{array}{l}x(3) = {(3)^2} - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\\\\x(5) = {(5)^2}\_5(5) + 6 = 25 - 25 + 6 = 6\\\\v = \frac{{x}}{{t}} = \frac{{{x_2} - {x_1}}}{{{t_2} - {t_1}}} = \frac{{6 - 0}}{{5 - 3}} = 3\frac{m}{s}\end{array}\)

ب

\({x^`}(t) = 2t - 5 \to {x^`}(2) = 2(2) - 5 = - 1\frac{m}{s}\)

1 معادله ی داده شده یک سهمی و چون در آن \(a = - 5\)پس نمودار سهمی رو به پایین بوده و دارای نقطه یmax است.

2 چون بعد از 4 ثانیه توپ مجددا به زمین بر میگردد .لذا دامنه ی تابع \(D = \left[ {0,4} \right]\)می شود.

3 

\(\begin{array}{l}y(t) = - 5{t^2} + 20t\\\\y(0) = - 5{(0)^2} + 20(0) = 0\\\\y(2) = - 5{(2)^2} + 20(2) = - 20 + 4\\\\y(t) = - 5{t^2} + 20t\\\\\frac{{y}}{{t}} = \frac{{y(2) - y(0)}}{{2 - 0}} = \frac{{20 + 0}}{2} = 10\end{array}\)

4 

\(\begin{array}{l}y(t) = - 5{t^2} + 20t \to {y^`}(t) = - 10t + 20t\\\\{y^`}(1) = - 10(1) + 20 = 10\frac{m}{s}\end{array}\)

5 

\({y^`}(4) = - 10(4) + 20 = - 20\frac{m}{s}\)

6  بالاترین ارتفاع توپ زمانی است که\(t = 2\) باشد.لذا

\({y^`}(2) = - 10(2) + 20 = 0\frac{m}{s}\)

یعنی سرعت لحظه ای توپ در این لحظه برابر صفر است.(ایست لحظه ای )