برابری وتر و یک ضلع زاویه ی قائمه ( و ض )

با توجه به این که دو مثلث قائم الزاویه هستند و وتر هر دوی آن ها BC است داریم:

$\left. \begin{array}{l}\widehat A = \widehat D = 90^\circ \\\overline {BC} = \overline {BC} \\\overline {AB} = \overline {DB} \end{array} \right\} \Rightarrow A\mathop B\limits^\Delta C \cong D\mathop B\limits^\Delta C$  بنا به حالت (وتر و یک ضلع)

ابتدا توجه کنیم چون AH ارتفاع است پس دو مثلث ABH و ACH قائم الزاویه هستند و AB و AC در دو مثلث وتر هستند.

$\overline {AH}$  :ضلع مشترک دو مثلث است

$\left. \begin{array}{l}\widehat {{H_1}} = {\widehat H_2} = 90^\circ \\\overline {AB} = \overline {AC} \\\overline {AH} \end{array} \right\} \Rightarrow A\mathop B\limits^\Delta C \cong D\mathop B\limits^\Delta C$ بنا به حالت (وتر و یک ضلع)

الف) دو مثلث وتر مشترک دارند و یک ضلع زاویه ی قائمه در هر دو مثلث با هم برابرند.

 بنابراین به حالت وتر و یک ضلع که برای خلاصه تر شدن به صورت )و ض) نوشته می شود،هم نهشتند.

ب) وتر دو مثلث قائم الزاویه در هر دو برابر است ولی در مورد تساوی اضلاع دیگر اطلاعات مساله کافی نیست.

پس در این حالت دو مثلث هم نهشت نیستند.

ج) دو مثلث قائم الزاویه هستند و یک ضلع زاویهی قائمه در هر دو مشترک است ولی اضلاعی که با هم مساوی هستند و تساوی آنها با علامت مشخص شده در یکی از مثلثها وتر و در دیگری ضلع زاویه ی قائمه است. پس دو مثلث هم نهشت نیستند.

در شکل زیر وتر و یک زاویه ی تند از دو مثلث با هم برابرند با توجه به اندازه های داده شده اندازه ی a و b را در هر مثلث محاسبه کنید. پاسخ در مثلث قائم الزاویه دو زاویه تند متمم یکدیگرند( یعنی مجموع دو زاویه ی تند ۹۰ درجه است.) بنابراین برای محاسبه ی a یا b کافی است اندازه ی زاویه ی تند دیگر را از ۹۰ درجه کم کنیم. پس:

$a = b = 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ$

دقت کنیم که دو مثلث هم نهشتند(به دلیل داشتن دو زاویه و ضلع بین آن ها)