رابطه ی فیثاغورس

$\left. \begin{array}{l}{6^2} = 36\\\\{5^2} + {(\sqrt {11} )^2} = 11 + 25 = 36\end{array} \right\} \Rightarrow {6^2} = {5^2} + {(\sqrt {11} )^2}$  

بنابراین مثلث مورد نظر قائم الزاویه است.

با توجه به شکل زیر مثلث قائم الزاویه ای به وتر ۱۱ و ضلع قائمه ی ۲ واحد به وجود می آید و بنا به رابطه ی فیثاغورس داریم:

$\begin{array}{l}{b^2} = {11^2} - {2^2} = 121 - 4 = 117\\ \Rightarrow b = \sqrt {117} \end{array}$

برای محاسبه ی محیط باید مقدار z را به دست آورد بنابراین باید به ترتیب مقادیر x و y و z را محاسبه کنیم.

طبق شکل شماره ۱, X وتر مثلث قائم الزاویه ی متساوی الساقین است.بنابراین داریم:

${x^2} = {1^2} + {1^2} = 1 + 1 = 2 \Rightarrow x = \sqrt 2$

با جایگذاری مقدار x در شکل شماره ۲ داریم:

${y^2} = {1^2} + {(\sqrt 2 )^2} = 1 + 2 = 3 \Rightarrow y + \sqrt 3$

و با جایگذاری مقدار ۷ در شکل شماره ۳ داریم:

${z^2} = {1^2} + {(\sqrt 3 )^2} = 1 + 3 = 4 \Rightarrow z = \sqrt 4 = 2$

بنابراین مقدار محیط شکل عبارت است از:

$p = 1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 6$

به کمک رابطه ی فیثاغورس به دو مربع نیاز داریم که مجموع مساحت آنها ۱۰ باشد. به طور مثال با انتخاب مربع هایی به مساحت های ۱ و ۹ (به ضلع ۱ و ۳ سانتیمتر) برای اضلاع مثلث قائم الزاويه طبق رابطه ی فیثاغورس مساحت مربعی که روی وتر ساخته می شود ۱۰ سانتیمتر مربع است پس ضلع این مربع $\sqrt {10}$  خواهد بود.

${x^2} = {1^2} + {3^2} = 1 + 9 = 10 \Rightarrow x = \sqrt {10}$

بنابراین کافی است به کمک خط کش و گونیا مثلثی قائم الزاویه که اضلاع زاویه ی قائمه ی آن ۱ و ۳ سانتی متر هستند، ترسیم کنیم. وتر مثلث ترسیم شده همان پاره خط موردنظر به اندازه ی $\sqrt {10}$ خواهد بود.

$\begin{array}{l}{x^2} = {6^2} + {6^2} = 36 + 36 = 72\\ \Rightarrow x = \sqrt {72} \end{array}$