شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | رابطه ی فیثاغورس](https://dl.my-dars.com/upload/image/رابطه ی فیثاغورس1703631782.png)
همانطور که می دانید یکی از انواع مثلث ها مثلث قائم الزاویه است در مثلث قائم الزاویه ضلع مقابل به زاویه ی قائمه که بزرگترین ضلع مثلث است را وتر می نامیم در شکل زیر مثلث ABC قائم الزاویه و \(\hat A = 90^\circ \) این مثلث دو ضلع AB و AC اضلاع زاویه ی قائمه و ضلع BC وتر مثلث است.
فيثاغورس ( فیلسوف و ریاضیدان یونانی ) با تحقیق بر روی مثلث قائم الزاویه به این نتیجه رسید:
(مساحت مربعی که با وتر مثلث قائم الزاویه ساخته میشود برابر است با مجموع مساحت دو مربعی که با اضلاع زاویه ی قائمه ساخته می شود.)
این رابطه بعدها رابطه ی فیثاغورس نامیده شد. طبق شکل زیر مساحت هر شکل کنار آن نوشته شده است . بنابراین :
\(c = 5 \Rightarrow \) مساحت مربع روی وتر:\({c^2} = 25\)
\(\left. \begin{array}{l}a = 3 \Rightarrow {a^2} = 9\\\\b = 4 \Rightarrow {b^2} = 16\end{array} \right\} \Rightarrow \) مجموع مساحت ها :9+16=25
با مقایسه ی دو عبارت داریم:
\({c^2} = {a^2} + {b^2}\)
در هر مثلث قائم الزاويه مجذور وتر برابر است با مجموع مجذور دو ضلع زاویه ی قائمه.
(توضیح: به توان دوم یک عدد مربع یا مجذور آن عدد می گویند به طور مثال مربع یا مجذور ۷ برابر است با \({7^2}\) یا 49)
برعکس این رابطه نیز برقرار است یعنی اگر در مثلثی رابطه ی فیثاغورس برقرار باشد ( مجذور وتر با مجموع مجذور دو ضلع زاویه ی قائمه برابر باشد) آن مثلث حتما قائم الزاویه است.
از این ویژگی برای تعیین اندازه ی اضلاع مثلث قائم الزاویه یا تشخیص نوع مثلث استفاده می کنیم.
برای مثلث ABC را در نظر بگیرید.
۶۴=۸×۸ : مساحت مربعی به ضلع AB
۳۶=۶×۶ : مساحت مربعی به ضلع BC
بنابراین طبق رابطه ی فیثاغورس داریم64+36=100 : مساحت مربعی به ضلع AC پس \(AC = \sqrt {100} = 10\)
مثال
با توجه به اندازه های داده شده در شکل مقابل مقدار x را به دست آورید.
طبق رابطه فیثاغورس داریم :
\(\begin{array}{l}{x^2} = {2^2} + {5^2} = 4 + 25 = 29\\ \Rightarrow \sqrt {29} \end{array}\)
با توجه به این مثال که \({(\sqrt 3 )^2} = \sqrt 3 \times \sqrt 3 = \sqrt 9 = 3\) ؛ اگر a عددی مثبت باشد همواره رابطه ی\({(\sqrt a )^2} = a\) برقرار است.
آیا مثلثی با اضلاع \(\sqrt {11} ,6,5\) قائم الزاویه است؟
\(\left. \begin{array}{l}{6^2} = 36\\\\{5^2} + {(\sqrt {11} )^2} = 11 + 25 = 36\end{array} \right\} \Rightarrow {6^2} = {5^2} + {(\sqrt {11} )^2}\)
بنابراین مثلث مورد نظر قائم الزاویه است.
دقت کنیم در شکل هایی که مجهول ، ضلع زاویه ی قائمه است از معادل های دیگر رابطه ی فیثاغورس
استفاده کنیم.
\({c^2} = {a^2} + {b^2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {c^2} - {b^2}\\{b^2} = {c^2} - {a^2}\end{array} \right.\)
در شکل مقابل مقدار b را به دست آورید.
با توجه به شکل زیر مثلث قائم الزاویه ای به وتر ۱۱ و ضلع قائمه ی ۲ واحد به وجود می آید و بنا به رابطه ی فیثاغورس داریم:
\(\begin{array}{l}{b^2} = {11^2} - {2^2} = 121 - 4 = 117\\ \Rightarrow b = \sqrt {117} \end{array}\)
به کمک رابطه ی فیثاغورس محیط شکل زیر را به دست آورید.
برای محاسبه ی محیط باید مقدار z را به دست آورد بنابراین باید به ترتیب مقادیر x و y و z را محاسبه کنیم.
طبق شکل شماره ۱, X وتر مثلث قائم الزاویه ی متساوی الساقین است.بنابراین داریم:
\({x^2} = {1^2} + {1^2} = 1 + 1 = 2 \Rightarrow x = \sqrt 2 \)
با جایگذاری مقدار x در شکل شماره ۲ داریم:
\({y^2} = {1^2} + {(\sqrt 2 )^2} = 1 + 2 = 3 \Rightarrow y + \sqrt 3 \)
و با جایگذاری مقدار ۷ در شکل شماره ۳ داریم:
\({z^2} = {1^2} + {(\sqrt 3 )^2} = 1 + 3 = 4 \Rightarrow z = \sqrt 4 = 2\)
بنابراین مقدار محیط شکل عبارت است از:
\(p = 1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 6\)
با استفاده از رابطه ی فیثاغورس پاره خطی به طول \(\sqrt {10} \) رسم کنید.
به کمک رابطه ی فیثاغورس به دو مربع نیاز داریم که مجموع مساحت آنها ۱۰ باشد. به طور مثال با انتخاب مربع هایی به مساحت های ۱ و ۹ (به ضلع ۱ و ۳ سانتیمتر) برای اضلاع مثلث قائم الزاويه طبق رابطه ی فیثاغورس مساحت مربعی که روی وتر ساخته می شود ۱۰ سانتیمتر مربع است پس ضلع این مربع \(\sqrt {10} \) خواهد بود.
\({x^2} = {1^2} + {3^2} = 1 + 9 = 10 \Rightarrow x = \sqrt {10} \)
بنابراین کافی است به کمک خط کش و گونیا مثلثی قائم الزاویه که اضلاع زاویه ی قائمه ی آن ۱ و ۳ سانتی متر هستند، ترسیم کنیم. وتر مثلث ترسیم شده همان پاره خط موردنظر به اندازه ی \(\sqrt {10} \) خواهد بود.
در شکل مقدار xرا به کمک رابطه فیثاغورس به دست اورید.
\(\begin{array}{l}{x^2} = {6^2} + {6^2} = 36 + 36 = 72\\ \Rightarrow x = \sqrt {72} \end{array}\)
تهیه کنندگان: شهریار ارم و ندا بهرامی نیا
