همسايگي يك نقطه

 عدد 3 نقطه ي وسط بازه است، پس

\(3 = \frac{{(3k - 2) + (k + 4)}}{2} \Rightarrow 4k + 2 = 6 \Rightarrow k = 1\)

بنابراين همسايگي به صورت \((1,5)\)در مي آيد و \(a = \frac{{1 + 5}}{2} = 3\) و\(\delta = 3 - 1 = 2\)

 ابتدا طوري دو بازه را مينويسيم كه اعداد از كوچك به بزرگ مرتب شوند و داريم \(y = 2\) چون همسايگي محذوف 2 است، بايد:

\(2 = \frac{{ - 2 + {x^2} + 1}}{2} \Rightarrow {x^2} - 2 = 4 \Rightarrow x = \pm \sqrt 6 \)

بنابراين داريم:

\(3{x^2} + y = 3( \pm \sqrt 6 ) + 2 = 20\)

الف)

\(\begin{array}{l}0 < \left| {x - a} \right| < \delta \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {x - a} \right| < \delta \\\\\left| {x - a} \right| \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \delta < x - a < a + \delta \\\\x \ne a\end{array} \right.\\\\x \in (a - \delta ,a + \delta ) - \left\{ a \right\}\end{array}\)

بنابراين يك همسايگي محذوف a را نمايش ميدهد.

ب)

\(\left| {x - a} \right| < \delta \Rightarrow - \delta < x - a < \delta \Rightarrow a - \delta < x < a + \delta \)

بنابراین یک همسايگي هست ولی همسایگی محذوف نیست.

می دانیم پس داريم :

الف) \(\left( {2,3} \right) \subseteq {D_f}\)پس تابع در همسايگي \(\left( {2,3} \right)\) تعريف شده است.

ب)\(\left( {0,2} \right) \subseteq {D_f}\) پس تابع در همسايگي \(\left( {0,4} \right)\)تعريف نشده است.

ج)\(\left( { - 2,1} \right) \not\subset {D_f}\) پس تابع در همسايگي \(\left( { - 2,1} \right)\) تعريف نشده است

د) \(\left( { - 1, - 3} \right) \not\subset {D_f}\)پس تابع در همسایگی \(\left( { - 1, - 3} \right)\)تعریف نشده است.

می دانیم\({D_f} = \left[ {1, + \infty )} \right.\) پس \(\delta \)هر عدد مثبتي كه باشد تابع در همسايگي\((1,1 + \delta )\) تعريف شده است . ولي به ازاي هيچ مقدار مثبتي از δ در همسايگي هاي \((1 - \delta ,1 + \delta )\)و \((1 - \delta ,1)\) تعريف نشده است.

با توجه به شكل داريم:

\({D_f} = \left( { - \infty ,0} \right) \cup \left( {0,3} \right) \cup \left( {4, + \infty } \right)\)

بنابراين تابع در همسايگي هاي\(\left( {0,3} \right),\left( {1,2} \right),\left( { - 3, - 1} \right)\) و \(\left( {2,3} \right)\) تعريف شده ولي در همسايگي هاي \(\left( {0,7} \right),\left( { - 2,2} \right)\)و \(\left( {3,4} \right)\)تعريف نشده است.

همانگونه که از جدول مشاهده می شود بانزدیک شدن مقادیر متغیر x  به عدد 5 مقادیر تابعf  به عدد 13 نزدیک می شوند و داریم :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} (2x + 3) = 13\)

توجه:تابع fدر\(x = 5\) تعریف شده است و \(f(5) = 13\)می باشد.

همانگونه که از جدول مشاهده می شود با نزدیک شدن مقادیر متغیر x به عدد 2مقادیر تابع f به عدد 4 نزدیک می شوندو داریم:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}\)

توجه:تابعf در x=2 تعریف نشده است ولی حد دارد.

همانگونه که از جدول مشاهده می شود وقتی متغیر به عدد یک نزدیک می شودمقادیر تابع به هیچ عددی نزدیک نمی شوندو از نظر قدر مطلق مرتبا افزایش می یابند.بنابراین میگوییم تابع fدرx=1 حد ندارد.

توجه:تابع fدرx=1 نه تعریف شده است و نه حد دارد.

الف)

باتوجه به اینکه\({D_f} = ( - \infty ,0) \cup \left[ {1, + \infty )} \right.\) پس تابع f در هیچ همسایگی\(\frac{1}{2}\) تعریف نشده است.یعنی نمیتوان از حدتابع fدر\(x = \frac{1}{2}\) صحبت کرد.

ب)

با توجه به اين كه \({D_f} = R\)پس میتوان درمورد حد تابع در  x=2صحبت کرد

ج)

با توجه به اين كه \({D_f} = R - \left\{ 1 \right\}\)پس میتوان درمورد حد تابع در x=2 را بررسي کرد

همانگونه كه از جدول مشاهده ميشود داريم:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = 0\)

توجه: تابع f در x=1تعريف نشده است ولي حد دارد.

بنابراین داریم:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left| x \right|}}{x} = 1\)

نمودار تابع f در فاصله ی \((1, + \infty )\)به صورت زیر است.

بنابراين داريم:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left| x \right|}}{x} = 1\)

نمودار تابع f در فاصله ي \(\left( { - \infty ,1} \right)\)به صورت زير است.

همانگونه كه از نمودار مشاهده مي شود با نزديك شدن مقادير x از طرف چپ ( مقادير كوچكتر از يك) به يك، مقادير f(x)به عدد 2 نزديك ميشوند. بنابراين داريم:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = 2\)

نمودار تابع به صورت زير است.

با توجه به نمودار داريم

\(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = 0\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = 1\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x)\)

وجود ندارد

نمودار تابع به صورت زير است.

با توجه به نمودار داريم:

\(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = - 1\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = - 1\)

ج)نمودار تابع به صورت زير است.

 با توجه به نمودار داريم:

\(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = 1\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = 2\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = 1\)

وجود ندارد

الف

 با توجه به نمودار تابع در x=2از چپ حد ندارد و از راست نيز حد ندارد. بنابراين تابع در x=2حد ندارد .

ب)تابع g در  x=2از چپ حد ندارد ولي \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = 0\) بنابراين g در x=2حد ندارد.

ج)به دليل عدم تعريف تابع h در يك همسايگي چپ ،2 بحث از وجود حد چپ در اين نقطه معنادار نيست. ازدر واقع منظور حد تابع h در x=2همان حد راست تابع h در x=2است. يعني:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} h(x) = 1\)

\(\left. \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} ({x^2} + x) = 6\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} (ax + b) = 2a + b\end{array} \right\}\)

با توجه به اين كه f تابعي زوج است، نمودار آن نسبت به محور y ها متقارن است. بنابراين داريم:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = 3\)(الف

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = 0\)(ب

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x) = 1\)(ج

با توجه به اين كه f تابعي زوج است، نمودار آن نسبت به محور y ها متقارن است. بنابراين داريم:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = 3\)(الف

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = 0\)(ب

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = 1\)(ج

الف)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} (2x + 3) = 1 \times 4 + 3 = 11\)

ب)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} ({x^2} - 3x + 5) = {1^2} - 3(1) + 5 = 3\)

ج)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } ({x^3} - 2{x^2} + x) = {\left( {\sqrt 2 } \right)^3} + 2{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + \sqrt 2 = 3\sqrt 2 + 4\)

د)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{1 - 5x}}{3} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} ( - \frac{5}{3}x + \frac{1}{3}) = - \frac{5}{3}(7) + \frac{1}{3} = - \frac{{34}}{3}\)

الف)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sqrt x = \sqrt 0 = 0\)

توجه: منظور از\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sqrt x \)درواقع\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt x \) است . زيرا تابع\(y = \sqrt x \) تنها در همسايگي راست صفر تعريف شده است.

ب(

\({\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} ^3}\sqrt x { = ^3}\sqrt 0 = 0\)

ج)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 8} (\sqrt x { + ^3}\sqrt x - 2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 8} \sqrt {x + } {\mathop {\lim }\limits_{x \to 8} ^3}\sqrt x - \mathop {\lim }\limits_{x \to 8} 2 = \sqrt 8 { + ^3}\sqrt 8 - 2 = 2\sqrt 2 + 2 - 2 = 2\sqrt 2 \)

د)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \sin x = \sin x\frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

هـ)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} {\sin ^2}x = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} (\sin x\sin x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \sin x \times \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \sin x = 1 \times 1 = 1\)

و)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} (2\sin x - 3\cos x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} 2\sin x - \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} 3\cos x\\\\2\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \sin x - 3\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \cos x\\\\2\sin x\frac{\pi }{4} - 3\cos \frac{\pi }{4}\\\\\sqrt 2 - 3\frac{{\sqrt 2 }}{2} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)

ز)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {3^x} = {3^{ - 2}} = \frac{1}{9}\)

ح)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} {2^x} = {2^4} = 16\)

الف )

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{2x - 1}} = \frac{{4 + 8 + 3}}{{4 - 1}} = \frac{{15}}{3} = 5\)

ب)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\cos x + \sin x}}{{2\sin x - \cos x}} = \frac{{0 + 1}}{{2 - 0}} = \frac{1}{2}\)

ج)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt x + 2x}}{{{x^2} - 3}} = \frac{{2 + 4}}{{16 - 3}} = \frac{6}{{13}}\)

د)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x - 1) = 0\)پس وقتي x به 1 نزديك ميشود، قدرمطلق مقادير  \(\frac{1}{{x - 1}}\)به طور نامحدود افزايش  مييابد و به عدد خاصي نزديك نميشوند. بنابراين \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{x - 1}}\) وجود ندارد.

هـ)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \tan x = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{{\sin \frac{\pi }{4}}}{{\cos \frac{\pi }{4}}} = 1\)

الف)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 - \sin x}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - {{\sin }^2}x}}{{1 - \sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 - {{\sin }^2}x)(1 + {{\sin }^2}x)}}{{1 - \sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (1 + \sin x) = 1\)

ب)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x}}{{1 - {{\cos }^2}x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x}}{{(1 - \cos )(1 + \cos )}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{1 + \cos }} = \frac{1}{2}\)

ج)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{1 - \sin 2x}}{{\sin x - \cos x}}\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\sin 2x + {{\cos }^2}x - 2\sin x\cos x}}{{\sin x - \cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{{{(\sin x - \cos x)}^2}}}{{\sin x - \cos x}}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} (\sin x - \cos x) = \sin \frac{\pi }{4} - \cos \frac{\pi }{4} = 0\end{array}\)

د)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\tan (x - \frac{\pi }{4})}}{{2\sin (\frac{\pi }{4} - x)}}\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\frac{{\sin (x - \frac{\pi }{4})}}{{\cos (x - \frac{\pi }{4})}}}}{{ - 2\sin (x - \frac{\pi }{4})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{1}{{ - 2\sin (x - \frac{\pi }{4})}} = - \frac{1}{2}\)

ه)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\sin }^2}x - {{\sin }^3}x}}{{{{\cos }^2}x - {{\cos }^3}x}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\sin }^2}x(1 - \sin x)}}{{{{\cos }^2}x(1 - \cos x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 - {{\cos }^2}x)(1 - \sin x)}}{{{{\cos }^2}x(1 - \cos x)}}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 - {{\cos }^2}x)(1 + \cos x)(1 - \sin x)}}{{{{\cos }^2}x}}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 + \cos x)(1 - \sin x)}}{{{{\cos }^2}x}} = 2\end{array}\)

و)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{1 - \tan x}}{{\sin x - \cos x}}\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{1 - \frac{{\sin x}}{{\cos x}}}}{{\sin x - \cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{1 - \frac{{\cos x - \sin x}}{{\cos x}}}}{{\sin x - \cos x}}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{1 - \frac{{(\sin x - \cos x)}}{{\cos x}}}}{{\sin x - \cos x}}\end{array}\)

ز)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{{2\pi }}{3}} \frac{{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}}{{2\cos x + 1}}\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{{2\pi }}{3}} \frac{{(\sin x + \sin 3x) + \sin 2x}}{{2\cos x + 1}}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{{2\pi }}{3}} \frac{{2\sin x2x\cos x + \sin 2x}}{{2\cos x + 1}}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{{2\pi }}{3}} \frac{{\sin x(2x\cos x + 1)}}{{2\cos x + 1}}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{{2\pi }}{3}} \sin 2x = \sin \frac{{4\pi }}{3} = - \frac{{\sqrt 2 }}{3}\\\end{array}\)

الف)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 9}}{{{x^3} - 27}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{(x - 3)(x + 3)}}{{(x - 3)({x^2} + 3x + 9)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x + 3}}{{{x^2} + 3x + 9}} = \frac{6}{{27}} = \frac{2}{9}\)

 با توجه به اينكه x=3صورت و مخرج را صفر ميكند. صورت و مخرج بر x-3 بخشپذير هستند.

ب)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^5} + 32}}{{{x^3} + 8}}\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^5} + {2^5}}}{{{x^3} + {2^3}}}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{(x + 2)({x^4}\_2{x^3} + 4{x^2} - 8x + 16)}}{{(x + 2)({x^2} - 2x + 4)}}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^4}\_2{x^3} + 4{x^2} - 8x + 16)}}{{{x^2} - 2x + 4}} = \frac{{80}}{{12}} = \frac{{20}}{3}\end{array}\)

ج)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3}2x - 3}}{{{x^4} - 1}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x - 1)({x^2} + x + 3)}}{{(x - 1)(x + 1)({x^2} + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + x + 3}}{{(x + 1)({x^2} + 1)}} = \frac{5}{4}\)

عدد يك، صورت را صفر ميكند. با توجه به اينكه جواب حد عدد 2 است. لازم است  x=1ريشه ي چندجمله اي مخرج نيز باشد. يعني  \(1 + a + b = 0\)بنابراين صورت و مخرج هر دو عامل x-1دارند. پس داريم:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + ax + b}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + ax + ( - a - 1)}}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x - 1)(x - 5)}}{{(x - 1)(x + a + 1)}}\\\\ = \frac{{ - 4}}{{2 + a}}\\\\ \Rightarrow \frac{{ - 4}}{{2 + a}} = 2 \Rightarrow 4 + 2a = - 4 \Rightarrow a = - 4\\\\1 + a + b = 0b = 3\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^n} - {2^n}}}{{x - 2}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x - 2)({x^{n - 1}} + 2{x^{n - 2}} + 4{x^{n - 3}} + ... + {2^{n - 1}})}}{{x - 2}}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} ({x^{n - 1}} + 2{x^{n - 2}} + 4{x^{n - 3}} + ... + {2^{n - 1}})\\\\ = {2^{n - 1}} + {2^{n - 1}} + {2^{n - 1}} + ... + {2^{n - 1}}\\\\ = n \times {2^{n - 1}}\\\\ = 80\\\\ \Rightarrow n = 5\end{array}\)

الف)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{x - 1}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{x - 1}} \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{\sqrt {x + 3} - 2}}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {x + 3} + 2} \right)}}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} = \frac{1}{4}\end{array}\)

ب)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 - \sqrt x }}{{{x^2} + x - 2}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 - \sqrt x }}{{{x^2} + x - 2}} \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 + \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 - x}}{{(x - 1)(x + 2)(1 + \sqrt x )}}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - 1}}{{(x + 2)(1 + \sqrt x )}} = \frac{{ - 1}}{6}\end{array}\)

ج)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 2} - \sqrt 3 }}{{\sqrt {x + 3} - 2}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 2} - \sqrt 3 }}{{\sqrt {x + 3} - 2}} \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 2} + \sqrt 3 }}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt 3 }} \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 2} + 2}}{{\sqrt {x + 3} + 2}}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x - 1) - (\sqrt {x + 3} - 2)}}{{(x - 1) - (\sqrt {x + 3} - 2)}}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3} + 2}}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt 3 )}} = \frac{4}{{2\sqrt 3 }} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\end{array}\)

د)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{^3\sqrt {x + 3} - 2}}{{{x^2} - 25}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{^3\sqrt {x + 3} - 2}}{{{x^2} - 25}} \times \frac{{{(^3}\sqrt {x + 3} ) + {2^3}\sqrt {x + 3} + 4}}{{{(^3}\sqrt {x + 3} ) + {2^3}\sqrt {x + 3} + 4}}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{x - 5}}{{(x - 5)(x + 5)({{{(^3}\sqrt {x + 3} )}^2} + {2^3}\sqrt x + 4}} = \frac{1}{{10 \times 12}} = \frac{1}{{120}}\end{array}\)

ه)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 27} \frac{{^3\sqrt {x\_3} }}{{\sqrt {x + 3} - 5}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 27} \frac{{^3\sqrt {x - 3} }}{{\sqrt {x + 2} - 5}} \times \frac{{{{{(^3}\sqrt x )}^2} + {3^3}\sqrt x + 9}}{{{(^3}\sqrt x ) + {3^3}\sqrt x + 9}} \times \frac{{\sqrt {x - 2} + 5}}{{\sqrt {x - 2} + 5}}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 27} \frac{{(x - 27)(\sqrt {x - 2} + 5)}}{{(x - 27)({(^3}\sqrt {x{)^2}} + {3^3}\sqrt x + 9}} = \frac{{10}}{{27}}\end{array}\)

و)با توجه به اتحاد \({a^4} - {b^4} = (a - b)({a^3} + {a^2}b + a{b^2} + {b^3})\)داریم:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 16} \frac{{^4\sqrt {x - 2} }}{{\sqrt {x - 4} }}\mathop {\lim }\limits_{x \to 16} \frac{{^4\sqrt {x - 2} }}{{\sqrt {x - 4} }} \times \frac{{{(^4}{{\sqrt {x)} }^3} + 2{(^4}{{\sqrt {x)} }^2} + {4^4}\sqrt {x + 8} }}{{{(^4}{{\sqrt {x)} }^3} + 2{(^4}{{\sqrt {x)} }^2} + {3^3}\sqrt x + 9}} \times \frac{{\sqrt {x + 4} }}{{\sqrt {x + 4} }}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 16} \frac{{(x - 16)(\sqrt x + 4)}}{{(x - 16)({(^4}{{\sqrt {x)} }^3} + 2{(^4}{{\sqrt {x)} }^{^2}} + {4^4}\sqrt x + 8}} = \frac{8}{{32}} = \frac{1}{4}\end{array}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} \times \frac{1}{{\cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\cos x}} = 1 \times 1 = 1\)

الف)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 3x}}{x}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 3x}}{{3x}} \times 3 = 1 \times 3 = 3\)

ب)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x + \sin 3x}}{{5x}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sin x}}{x} + \frac{{\sin 3x}}{x}}}{{\frac{{5x}}{x}}} = \frac{{1 + 3}}{5} = \frac{4}{5}\)

ج)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\sin 2x}}{{\tan {x^2}}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x \times \frac{{\sin 2}}{{2x}} \times 2x}}{{\frac{{\tan {x^2}}}{{{x^2}}} \times {x^2}}} = 2\)

د)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos 2x}}{{3{x^2}}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{{\sin }^2}x}}{{3{x^2}}} = \mathop {\frac{2}{3}\lim }\limits_{x \to 0} {(\frac{{\sin x}}{x})^2} = \frac{2}{3} \times 1 = \frac{2}{3}\)

ه)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos 7x}}{{1 - \cos 4x}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{{\sin }^2}(\frac{{7x}}{2})}}{{2{{\sin }^2}x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(\frac{{2{{\sin }^2}\frac{{7x}}{2}}}{{\frac{{7x}}{2}}}) \times {{(\frac{{7x}}{2})}^2}}}{{(\frac{{2{{\sin }^2}x}}{{2x}}) \times {{(2x)}^2}}} = \frac{{1 \times \frac{{49}}{4}}}{{1 \times 4}} = \frac{{49}}{{16}}\)

و)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x - \sin x}}{{4{x^3}}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - \sin x}}{{4{x^3}}}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x - \cos x\sin x}}{{4{x^3}\cos x}}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x(1 - \cos x)}}{{4{x^3}\cos x}}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x(2{{\sin }^2}x\frac{x}{2})}}{{4{x^3}\cos x}}\\\\\mathop {\frac{1}{2}\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sin x}}{x} \times x \times {{(\frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\frac{x}{2}}})}^2} \times {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}}}{{{x^3}\cos x}} = \frac{1}{2} \times \frac{{1 \times \frac{1}{4}}}{1} = \frac{1}{8}\end{array}\)

ز)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x - \cos 2x}}{{\cos 2x - \cos 3x}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 2\frac{{x - 2x}}{x}\sin \frac{{x + 2x}}{x}}}{{ - 2\frac{{x - 3x}}{2}\sin \frac{{x + 3x}}{2}}}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \frac{x}{2}\sin \frac{{3x}}{2}}}{{\sin \frac{x}{2}\sin \frac{{5x}}{2}}}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sin \frac{{3x}}{2}}}{{\frac{{3x}}{2}}} \times \frac{{3x}}{2}}}{{\frac{{\sin \frac{{5x}}{2}}}{{\frac{{5x}}{2}}} \times \frac{{5x}}{2}}} = \frac{3}{5}\end{array}\)

ح)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sin (x - 2)}}{{\tan ({x^2} - 3x + 2)}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\frac{{\sin (x - 2)}}{{(x - 2)}} \times (x - 2)}}{{\frac{{\tan ({x^2} - 3x + 2)}}{{({x^2} - 3x + 2)}} \times (x - 2)(x - 1)}} = 1\)

ط)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\cos x}}{{2x - \pi }}\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\sin (\frac{\pi }{2} - x)}}{{ - 2(\frac{\pi }{2} - x)}} = - \frac{1}{2}\sin \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\sin (\frac{\pi }{2} - x)}}{{(\frac{\pi }{2} - x)}} = - \frac{1}{2} \times 1 = - \frac{1}{2}\)

الف)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\sin x} \right]\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{3}{2}} x = \frac{3}{2} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{3}{2}} \left[ x \right] = \left[ {\frac{3}{2}} \right] = 1\)

ب)

\(\left\{ \begin{array}{l}x \to {2^ - } \Rightarrow 1 < x < 2 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left[ x \right] = 1\\\\x \to {2^ + } \Rightarrow 2 < x < 3 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left[ x \right] = 2\end{array} \right.\)

پس تابع \(\left[ x \right]\) در  x=2حد ندارد.

 ج)

\(x \to 0 \Rightarrow 0 < {x^2} < 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {{x^2}} \right] = 0\)

د)

\(\left\{ \begin{array}{l}x \to - {2^ - } \Rightarrow 3x \to - {6^ - } \Rightarrow 3x - 1 \to - {7^ - } \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \left[ {3x - 1} \right] = - 8\\\\x \to - {2^ + } \Rightarrow 3x \to - {6^ + } \Rightarrow 3x - 1 \to - {7^ + } \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \left[ {3x - 1} \right] = - 7\end{array} \right.\)

ه)

\(\left\{ \begin{array}{l}x \to {0^ - } \Rightarrow - 1 < \sin x < 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left[ {\sin x} \right] = - 1\\\\x \to {0^ + } \Rightarrow 0 < \sin x < 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left[ {\sin x} \right] = 0\end{array} \right.\)

پس تابع\(\left[ {\sin x} \right]\) در x=0حد ندارد

و)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2x + 4}}{{x + 1}} = \frac{8}{3} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2x + 4}}{{x + 1}} = \left[ {\frac{8}{3}} \right] = 2\)

ز)

\(\begin{array}{l}\frac{{2x + 4}}{{x + 1}} = \frac{{2x + 2 + 2}}{{x + 1}} = 2 + \frac{2}{{x + 1}}\\\\\\x > 1 \Rightarrow x + 1 > 2 \Rightarrow 0 < \frac{1}{{x + 1}} < \frac{1}{2} \Rightarrow 0 < \frac{2}{{x + 1}} < 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {\frac{2}{{x + 1}}} \right] = 0\\\\0 < x < 1 \Rightarrow 1 < x + 1 < 2 \Rightarrow \frac{1}{2} < \frac{1}{{x + 1}} < 1 \Rightarrow 1 < \frac{2}{{x + 1}} < 2 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left[ {\frac{2}{{x + 1}}} \right] = 1\end{array}\)

بنابراین

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {\frac{{2x + 4}}{{x + 1}}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {2 + \frac{2}{{x + 1}}} \right]\\\\\mathop {\lim (2 + }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {\frac{2}{{x + 1}}} \right])\\\\2 + \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^\_}} \left[ {\frac{{2x + 4}}{{x + 1}}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left[ {2 + \frac{2}{{x + 1}}} \right])\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left[ {\frac{{2x + 4}}{{x + 1}}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left[ {2 + \frac{2}{{x + 1}}} \right]\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (2 + \left[ {\frac{2}{{x + 1}}} \right])\\\\2 + \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left[ {\frac{2}{{x + 1}}} \right] = 3\end{array}\)

لذا تابع \(\left[ {\sqrt 2 \cos x} \right]\)در \(x = \frac{{3\pi }}{4}\)حد ندارد

ح)

\(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{3{\pi ^ - }}}{4} \Rightarrow - \frac{{\sqrt 2 }}{2} < \cos x < 0 \Rightarrow - 1 < \sqrt 2 \cos x < 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{{3{\pi ^ - }}}{4}} \left[ {\sqrt 2 \cos x} \right] = - 1\\\\x = \frac{{3{\pi ^ + }}}{4} \Rightarrow - 1 < \cos x < - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow - \sqrt 2 < \sqrt 2 \cos x < - 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{{3{\pi ^ + }}}{4}} \left[ {\sqrt 2 \cos x} \right] = - 2\end{array} \right.\)

لذا تابع \(\left[ {\sqrt 2 \cos x} \right]\)در \(x = \frac{{3\pi }}{4}\)حد ندارد

ط)وقتی\(x > 1\)میدانیم\(\sin x < x\)پس\(0 < \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left[ {\frac{{\sin x}}{x}} \right] < 1\)بنابراین \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left[ {\frac{{\sin x}}{x}} \right] = 0\)همچنین با توجه به زوج بودن تابع \(\frac{{\sin x}}{x}\)داریم \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left[ {\frac{{\sin x}}{x}} \right] = 0\)و لذا\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{{\sin x}}{x}} \right] = 0\)

ی)اگر \(x \to {1^ - }\)داریم

\(\left\{ \begin{array}{l}\left[ x \right] = 0\\\\1 < x + \frac{1}{2} < \frac{3}{2} \Rightarrow \left[ {x + \frac{1}{2}} \right] = 1\\\\ - 2 < - 2x < - 1 \Rightarrow \left[ { - 2x} \right] = - 2\end{array} \right.\)

پس حد چپ به صورت زیر محاسبه می شود

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left[ x \right] + 3 + x}}{{\left[ {x + \frac{1}{2}} \right] + \left[ { - 2x} \right] + 4 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{0 + 3 + x}}{{1 - 2 + 4 - x}} = \frac{4}{2} = 2\\\end{array}\)

و اگر\(x \to {1^ + }\) داریم :

\(\left\{ \begin{array}{l}\left[ x \right] = 1\\\\\frac{3}{2} < x + \frac{1}{2} < 2 \Rightarrow \left[ {x + \frac{1}{2}} \right] = 1\\\\ - 3 < - 2x < - 2 \Rightarrow \left[ { - 2x} \right] = - 3\end{array} \right.\)

پس حد راست به صورت زیر محاسبه میشود

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left[ x \right] + 3 + x}}{{\left[ {x + \frac{1}{2}} \right] + \left[ { - 2x} \right] + 4 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{1 + 3 + x}}{{1 - 3 + 4 - x}} = \frac{5}{1} = 5\)

لذا تابع در x=1حد ندارد

الف)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left| {x - 2} \right| = \left| {2 - 2} \right| = 0\)

ب)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left| {x - 2} \right| = \left| {1 - 2} \right| = 1\)

ج)

تابع در اینجا حد ندارد \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left| {x - 2} \right|}}{{x - 2}}\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{ - (x - 2)}}{{x - 2}} = - 1\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - x - 2}}{{x - 2}} = 1\end{array} \right. \Rightarrow x = 2\)

د)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left| {x - 2} \right| - 3}}{{\left| {x - 2} \right| + 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left| {1 - 2} \right| - 3}}{{\left| {1 - 3} \right| + 4}} = \frac{{ - 3}}{6} = - \frac{1}{2}\)

ه)

تابع در \(x = \frac{\pi }{2}\)حد ندارد\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\left| {\cos x} \right|}}{{x - \frac{\pi }{2}}}\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{2}}^ - }} \frac{{\cos x}}{{x - \frac{\pi }{2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{2}}^ - }} \frac{{\sin (\frac{\pi }{2} - x)}}{{ - (\frac{\pi }{2} - x)}} = - 1\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{2}}^ + }} \frac{{ - \cos x}}{{x - \frac{\pi }{2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{2}}^ + }} \frac{{ - \sin (\frac{\pi }{2} - x)}}{{ - (\frac{\pi }{2} - x)}} = 1\\\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} - 1 \le \cos \frac{1}{{x - 1}} \le 1 \Rightarrow - \left| {x - 1} \right| \le \left| {x - 1} \right|cos\frac{1}{{x - 1}} \le \left| {x - 1} \right|\\\\\\\mathop {\lim - }\limits_{x \to 1} \left| {x - 1} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left| {x - 1} \right| = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left| {x - 1} \right|\cos \frac{1}{{x - 1}} = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left| {f(x) - 2} \right| \le {(x - 1)^2} \Rightarrow - {(x - 1)^2} \le f(x) - 2 \le {(x - 1)^2} \Rightarrow \\\\2 - {(x - 1)^2} \le f(x) \le 2 + {(x - 1)^2}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (2 + {(x - 1)^2}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (2 - {(x - 1)^2}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{f(x)}} = \frac{1}{2}\end{array}\)