شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | پیوستگی](https://dl.my-dars.com/upload/image/0421726425548.jpg)
اگر \(a \in {D_f}\)و\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = f(a)\)گوییم تابع در x=aپیوسته است.
مثال
نمودار تابعF به صورت زیر رسم شده است باتوجه به نمودار پیوستگی تابعF را در نقاط مشخص شده بررسی کنید.
الف)X=0 ب)X=1 ج)X=2 د)X=3
الف)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0\)
پس تابع در x=0پیوسته است.
توجه:در اصطلاح باتوجه به این که در واقع \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = f(0)\)میگویند تابع fدر x=0تنهااز راست پیوسته است.
ب)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) = 1\)
پس تابع fدرx=1 پیوسته است.
ج)
\(f(2) = 2\)ولی \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \frac{1}{2}\)پس\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) \ne f(2)\) بنابراین تابعf درx=2 پیوسته نیست
د)
تابع fدر x=3حدندارد پس دراین نقطه پیوسته نیست.
توجه:در اصطلاح می گویند تابع fدر x=3تنها پیوستگی چپ دارد.
مثال
تابع \(y = \left| x \right|\)در چه نقاطی ناپیوسته است.
نمودارتابع \(y = \left| x \right|\) به صورت زیر می باشد باتوجه به نمودار تابع در zناپیوسته است (البته میتوان ثابت کرد تابع\(y = \left| x \right|\) در \(x \in z\)ناپیوسته ودر \(\)پیوسته است.)
مثال
پیوستگی هریک از توابع زیر رادر نقطه یا نقاط داده شده در صورت بامعنی بودن بررسی کنید.
الف)\(f(x) = \sqrt {x - 1,x = 0} \) ب)\(f(x) = {x^2} - 3x + 5,x = 2\)
ج)\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1,x < 1\\\\2.x = 1,x = 1\\\\\frac{{{x^2}1}}{{x - 1}},x > 1\end{array} \right.\) د)\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1,x < 1\\\\3,x = 1,x = 1\\\\\frac{{{x^2}1}}{{x - 1}},x > 1\end{array} \right.\)
ه) \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sin x}}{x},x \ne 0\\\\1,x = 0\end{array} \right.,x = 0\)
و) \(\begin{array}{l}f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2,x < - 1\\\\ - 3x, - 1 < x < 1\\\\x - 4,x > 1\end{array} \right.,x = - 1,x = 1\\\end{array}\)
الف)
میدانیم \({D_f} = \left[ {1, + \infty )} \right.\)و \(0 \notin {D_f}\)بنابراین بحث از پیوستگی این تابع در x=0بی معنا است.
ب)
تابعf در x=2پیوسته است زیرا :\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2) = 3\)
توجه :توابع چند جمله ای در هر نقطه ای ازR پیوسته هستند.
ج)
\(\left. \begin{array}{l}f(1) = 2\\\\f( - 1) = 3\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f({x^2} + 1) = 2\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = 2\\\end{array} \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = 2\)
تابع f در x=1پيوسته است زيرا\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1)\)
د)
\(\left. \begin{array}{l}f(1) = 3\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f({x^2} + 1) = 2\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{(x - 1)(x + 1)}}{{x - 1}} = 2\\\end{array} \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = 2\)
تابع f در پيوسته نيست زيرا\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) \ne f(1)\)
ه)
\(\begin{array}{l}f(1) = - 3\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f( - 3x) = 3\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} ({x^2} + 1) = 2\end{array}\)
تابع f درx=0پيوسته است زيرا\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = f(0)\)
و)
\(\begin{array}{l}f( - 1) = 3\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f( - 3x) = - 3\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f({x^2} + 1) = 2\end{array}\)
تابع f در X=-1حد ندارد. بنابراين تابع f در X=-1 پيوسته نيست، زيرا در اين نقطه حد ندارد ( همانگونه كه بيان شد تابع f در X=-1تنها پيوستگي راست دارد)
\(\left. \begin{array}{l}f(1) = - 3\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f( - 3x) = - 3\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x - 4) = - 3\end{array} \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = - 3\)
تابع f درx=1پيوسته است زيرا \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1)\)
مثال
مقدار a را طوري بيابيد تا تابع \(f(x) = (x + a)\left[ {2x - 5)} \right.\) در x=2پيوسته باشد.
\(\begin{array}{l}f(2) = \left[ {2 + a)} \right.\left[ {4 - 5) = - a - 2} \right.\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} (x + a)\left[ {2x - 5)} \right. = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} (x + a)( - 2) = - 4 - 2a\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x + a)\left[ {2x - \left. 5 \right]} \right. = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x + a)( - 1) = 2 - a\end{array}\)
با توجه به اينكه بايد داشته باشيم \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = f(2)\)پس لازم است\( - a - 2 = - 4 - 2a\) بنابراينa=-2 ميباشد.
مثال
اگرتابع\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sin x}}{{\sqrt {1 - \cos 2x} }},x < 0\\\\a,x = 0\\\\\left[ x \right] + b,x > 0\end{array} \right.\) در x=0 پیوسته باشد مقدار aو bرابدست آورید.
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sin x}}{{\sqrt {1 - \cos 2x} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sin x}}{{\sqrt {2{{\sin }^2}x} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sin x}}{{\sqrt {2\left| {\sin x} \right|} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sin x}}{{ - \sqrt {2\sin x} }} = \\\\\sqrt 2 \frac{{\sin x}}{{ - \sqrt {2\sin x} }} = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (\left| x \right| + b) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (0 + b) = b\end{array}\)
براي اينكه تابع f در x=0 پيوسته باشد بايد\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = f(0)\) بنابراین داریم:
\(b = a = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
اگر تابعي در تمام نقاط دامنه ي خود پيوسته باشد، آن را تابعي پيوسته مي نامند.
مثال
كدام يك از توابع زير، تابع پيوسته ميباشند.
الف) \(f(x) = \sqrt {2x - {x^2}} \)ب)\(g(x) = \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 4}}\)
ج) \(h(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\tan x}}{x},x \ne 0\\\\2,x = 0\end{array} \right.\)
الف(
دامنه ي تابع f ، بازه ي \(\left[ {0,2} \right]\)ميباشد. اگر \(0 < x < 2\) ، آنگاه:
\(\)\(\)
اگر x=0 و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} = f(x) = 0 = f(0)\)واگر x=2، آنگاه. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} = f(x) = 0 = f(2)\) پس تابع f ، تابعي پيوسته ميباشد.
ب)
دلخواه
بنابراين g تابعي پيوسته است.
ج)
\(\begin{array}{l}{D_h} = R\\0 \in {D_h} = \left\{ \begin{array}{l}h(0) = 2\\\\\mathop {\lim h(x) = 1}\limits_{x \to 0} \end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim h(x) \ne h(0)}\limits_{x \to 0} \end{array}\)
بنابراين h تابعي پيوسته نيست
توابع چندجمله ای \(y = {\tan ^{ - 1}}x,y = {\cos ^{ - 1}}x,y = {\sin ^{ - 1}}x\)و \(y = {\cot ^{ - 1}}x\)روی پیوسته اند
توابع \(y = {\sin ^{ - 1}}x,y = \cot x,y = \tan x\)و \(y = {\cos ^{ - 1}}x\)در دامنه ی خود که زيرمجموعه اي از ℜ ميباشد تابعي پيوسته هستند.
اگر تابع h از جمع يا تفريق يا ضرب يا تقسيم چند تابع پيوسته تشكيل شده باشد روي دامنه خود تابعي پيوسته است.
اگر f تابعي پيوسته باشد، تابع باشد، تابع \(^n\sqrt f \)روي دامنه ي تعريف خود پيوسته است.
مثال
پيوستگي توابع زير را روي دامنه ي تعريف بررسي كنيد.
الف(\(f(x) = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 4}}\)
ب)\(g(x) = \sqrt {{x^2} - 4} \)
ج)\(h(x) = \tan x\cot x\)
الف)
صورت و مخرج توابع چند جمله اي هستند و در هر نقطه اي پيوسته، پس تابع f روي \({D_f} = R - \left\{ { - 2} \right\}\)پيوسته است.
ب) تابع \(y = {x^2} - 4\)چند جمله اي است و در هر نقطهاي پيوسته، پس تابع g در دامنه تعريف خود يعني \(\left( { - \infty ,2} \right) \cup \left[ {2, + \infty )} \right.\) تابع پيوسته است.
ج) تابع \(y = \tan x\)روی \(D = \left\{ {\left. x \right|} \right.x \ne k\pi + \left. {\frac{\pi }{2}} \right\}\)و تابع\(y = \cot x\) روی \({D_f} = \left\{ {\left. x \right|} \right.x \ne k\left. \pi \right\}\)پيوسته اند پس تابع h روي\({D_f} = \left\{ {\left. x \right|} \right.x \ne \left. {\frac{{k\pi }}{2}} \right\}\) است پيوسته است.
مثال
فاصله ي پيوستگي تابع\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{x + 1}}{{x - 2}},x > 3\\\\\frac{{x + 1}}{{x + 2}},x \le 3\end{array} \right.\) را تعيين كنيد.
میدانیم \({D_f} = R - \left\{ { - 2} \right\}\)و هر يك از رابطه ها روي دامنه ي تعريف خود پيوسته اند. پس كافي است ض ميدانيم \(x = R - \left\{ 2 \right\}\)پيوستگي تابع در x=3را بررسي كنيم .
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{x + 1}}{{x - 2}} = 4\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{x + 1}}{{x + 2}} = \frac{4}{5}\end{array}\)
تابع در x=3پیوسته نیست بنابراین تابع f روي\(\left( { - \infty , - 2} \right) \cup \left( { - 2,3} \right) \cup \left( {3, + \infty } \right)\) پيوسته است.
مثال
حدود k را طوري تعيين كنيد تا تابع\(f(x) = \frac{{{x^2} + x + 7}}{{{x^2} + kx + 1}}\) در ℜ پيوسته باشد
صورت و مخرج توابع چند جمله اي هستند و در هر نقطهاي از ℜ پيوسته ميباشند. پس كافي است دامنه تعریف تابع برابرR باشد.یعنی باید معادله \({x^2} + kx + 1 = 0\)فاقد ريشه باشد بنابراين لازم است:
\(\Delta < 0 \Rightarrow {k^2} - 4 < 0 \Rightarrow \left| k \right| < 2 \Rightarrow - 2 < k < 2\)
اگر ترکیبfog امکان پذیر باشد و\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = l\) و تابعی پیوسته در\(\) باشد،انگاه داریم:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(g(x)) = f\left( {\mathop {\lim g(x)}\limits_{x \to a} } \right)\)
مثال
الف)\(y = \sqrt x \)زیراتابعی پیوسته است\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \sqrt {{x^2} + 3} = \sqrt {\mathop {\lim ({x^2} + 3)}\limits_{x \to 1} } = \sqrt 4 = 2\)
ب)زیرا تابع \(y = \left| x \right|\)در 
پیوسته نیست \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left| x \right| \ne \left| {\mathop {\lim x}\limits_{x \to 2} } \right|\)
ج)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left| {{x^2}} \right| = \left| {\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} {x^2}} \right| = \frac{1}{4} = 0\)
د)زیرا تابع \(y = \left| {\frac{{2x + 1}}{x}} \right|\)در 
پیوسته نیست\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left| {\frac{{2x + 1}}{x}} \right| \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left| {\frac{{2x + 1}}{x}} \right|\)
ه)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left| {\frac{{2x + 1}}{x}} \right| = \left| {\mathop {\lim \frac{{2x + 1}}{x}}\limits_{x \to 2} } \right| = \frac{5}{2} = 2\)
اگر تابع gدر x=aپیوسته و تابع fدر g(a)پیوسته باشد،تابع fogدر x=aپیوسته است.
مثال
ثابت کنید تابع\(f(x) = {\sin ^3}\sqrt x \) تابعی پیوسته است.
حل روش اول :
تابع y=xتابع چند جمله ای است ودر 
دلخواه پیوسته است پس تابع \(g(x){ = ^3}\sqrt x \)در
پیوسته است و تابع \(h(x) = \sin x\)در هر نقطه ای از جمله
پیوسته است پس تابع
\(f(x) = h(g(x)) = {\sin ^3}\sqrt x \)
در \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \sqrt {{x^2} + 3} = \sqrt {\mathop {\lim ({x^2} + 3)}\limits_{x \to 1} } = \sqrt 4 = 2\)پیوسته است.
روش دوم :
بنابراین تابع fروی \({D_f} = R\) تابعی پیوسته است.
تهیه کننده: حامد دلیجه
