شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | اعمال جبری روی ماتریس ها](https://dl2.my-dars.com/upload/image/031744015382.jpg)
در جمع دو ماتریس تک تک درایه ها را با هم جمع می کنیم، یعنی درایه \({a_{11}}\) ماتریس A را با درایه \({b_{11}}\) ماتریس B جمع می کنیم و حاصل را در ماتریس جدید در درایه \({c_{11}}\) می نویسیم.
مثال
حاصل جمع دو ماتریس زیر را بدست آورید.
\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}6&3\\2&1\end{array}} \right]\;\;,\;\;B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\4&6\end{array}} \right]\)
\(A + B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\3&4\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}5&6\\7&8\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}6&8\\{10}&{12}\end{array}} \right]\)
در تفریق دو ماتریس نیز مانند جمع دو ماتریس عمل می کنیم.
مثال
حاصل تفریق دو ماتریس زیر را بدست آورید.
\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&5\\9&8\end{array}} \right]\;\;,\;\;B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}6&3\\5&7\end{array}} \right]\)
\(A - B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&5\\9&8\end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}6&3\\5&7\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5}&2\\4&1\end{array}} \right]\)
دو ماتریس \({A_{m \times p}}\) و \({B_{p \times n}}\) را در نظر می گیریم؛ حاصل ضرب \(A \times B\) زمانی قابل تعریف است که تعداد ستون های ماتریس اول با تعداد سطر های ماتریس دوم برابر باشد.
\({A_{m \times p}} \times {B_{p \times n}} = {C_{m \times n}}\)
ضرب یک عدد حقیقی در ماتریس به صورت ضرب آن عدد در تک تک درایه های ماتریس مورد نظر می باشد.
برای ضرب دو ماتریس کافی است سطر های ماتریس اول در ستون های ماتریس دوم ضرب شود.
مثال
اگر A و B دو ماتریس زیر باشند در این صورت حاصل \(A \times B\) را بدست آورید.
\(A = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2&3\\4&0&1\\0&5&2\end{array}} \right]_{3 \times 3}}\;\;,\;\;B = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5}\\1\\{ - 2}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}4\\2\\3\end{array}}\end{array}} \right]_{3 \times 2}}\)
\(\begin{array}{l}{A_{3 \times 3}} \times {B_{3 \times 2}} = {C_{3 \times 2}}\\\\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2&3\\4&0&1\\0&5&2\end{array}} \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5}\\1\\{ - 2}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}4\\2\\3\end{array}}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}1\\{ - 22}\\1\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}9\\{19}\\{16}\end{array}}\end{array}} \right]\end{array}\)
اگر ماتریس A به توان عددی رسیده باشد، ابتدا توان دو ماتریس A را به دست می آوریم و سپس شروع به حل می کنیم.
مثال
اگر ماتریس A به صورت زیر باشد، در این صورت حاصل \({A^{51}}\) و \({A^{100}}\) را بدست آورید.
\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{ - 1}\end{array}} \right]\)
\(\begin{array}{l}{A^2} = A \times A\\\\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{ - 1}\end{array}} \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{ - 1}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right] = I\\\\{A^{51}} = {A^{50}} \times {A^1} = {\left( {{A^2}} \right)^{25}} \times A\\\\ \Rightarrow {I^{25}} \times A = I \times A = A\\\\ \Rightarrow {A^{51}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{ - 1}\end{array}} \right]\\\\{A^{100}} = {\left( {{A^2}} \right)^{50}} = {I^{50}} = I\\\\ \Rightarrow {A^{100}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right]\end{array}\)
اگر ماتریس A یک ماتریس قطری باشد یعنی به صورت زیر باشد:
\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{array}} \right]\)
در این صورت داریم:
\({A^n} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^n}}&0&0\\0&{{b^n}}&0\\0&0&{{c^n}}\end{array}} \right]\)
1 اگر ماتریس A و B به صورت زیر باشند، در این صورت مقادیر a و b را طوری بیابید که حاصل ضرب \(A \times B\) این دو ماتریس قطری باشد.
\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}4&a\\b&{ - 1}\end{array}} \right]\;\;,\;\;B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\3&2\end{array}} \right]\)
\(\begin{array}{l}{A_{2 \times 2}} \times {B_{2 \times 2}} = {C_{2 \times 2}}\\\\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}4&a\\b&{ - 1}\end{array}} \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\3&2\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 + 3a}&{ - 8 + 2a}\\{b - 2}&{ - 2b - 2}\end{array}} \right]\\\\ \Rightarrow b - 3 = 0 \Rightarrow b = 3\\\\ \Rightarrow - 8 + 2a = 0 \Rightarrow a = 4\end{array}\)
2 با فرض \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\1&0\end{array}} \right]\) ماتریس \({A^{49}}\) را بدست آورید.
\(\begin{array}{l}{A^2} = A \times A\\\\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\1&0\end{array}} \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\1&0\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&0\\0&{ - 1}\end{array}} \right] = - I\\\\{A^{49}} = {A^{48}} \times A = {\left( {{A^2}} \right)^{24}} \times A\\\\ \Rightarrow {\left( { - I} \right)^{24}} \times A = I \times A = A\\\\ \Rightarrow {A^{49}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&0\\0&{ - 1}\end{array}} \right]\end{array}\)
1736019749.png)
