شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | دترمینان](https://dl2.my-dars.com/upload/image/041744015412.jpg)
برای هر ماتریس مربعی یک عدد به نام دترمینان نسبت می دهیم (عدد حقیقی) و آن را با نماد \(\det \left( A \right)\) یا \(\left| A \right|\) نشان می دهیم.
\(\begin{array}{l}A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\c&d\end{array}} \right]\\\\\det \left( A \right) = ad - bc\end{array}\)
مثال
دترمینان ماتریس \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 4}\\3&5\end{array}} \right]\) را حساب کنید.
\(\left| A \right| = \left( {2 \times 5} \right) - \left( { - 4 \times 3} \right) = 10 + 12 = 22\)
در این روش ما ابتدا دو ستون اول مارتیس مورد نظرمان را ادامه داده و سپس همانند محاسبه دترمینان ماتریس \(2 \times 2\) عمل می کنیم.
\(\begin{array}{l}A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k\end{array}} \right]\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}a\\d\\g\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}b\\e\\h\end{array}}\end{array}\\\\\left| A \right| = \left( {aek + bfg + cdh} \right) - \left( {bdk + afh + ceg} \right)\end{array}\)
مثال
دترمینان ماتریس زیر را بدست آورید.
\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&3&4\\1&2&3\\{ - 1}&{ - 2}&1\end{array}} \right]\)
\(\begin{array}{l}A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&3&4\\1&2&3\\{ - 1}&{ - 2}&1\end{array}} \right]\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\\{ - 1}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}3\\2\\{ - 2}\end{array}}\end{array}\\\\\left| A \right| = \left( {4 - 9 - 8} \right) - \left( {3 - 12 - 8} \right)\\\\ \Rightarrow \left| A \right| = - 13 + 17 \Rightarrow \left| A \right| = 4\end{array}\)
در روش بسط ما یک سطر و یا ستون را انتخاب کرده و سپس کار خود را ادامه می دهیم.
بسط نسبت به سطر اول:
\(\begin{array}{l}A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k\end{array}} \right]\\\\\left| A \right| = a\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}e&f\\h&k\end{array}} \right] - b\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}d&f\\g&k\end{array}} \right] + c\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}d&e\\g&h\end{array}} \right]\\\\\left| A \right| = a\left( {ek - fh} \right) - b\left( {dk - fg} \right) + c\left( {dh - eg} \right)\end{array}\)
اگر جمع اندیس ها زوج باشد آنگاه پشت درایه + می گذاریم ولی اگر جمع اندیس ها فرد باشد پشت درایه – می گذاریم.
\(\begin{array}{l}{a_{11}} \Rightarrow 1 + 1 = 2 \Rightarrow + \\\\{a_{12}} \Rightarrow 1 + 2 = 3 \Rightarrow - \end{array}\)
دترمینان هر ماتریس قطری برابر است با ضرب درایه های قطر اصلی و دترمینان ماتریس مربعی صفر، صفر است.
1 دترمینان ماتریس \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}&{ - 2}\\0&0&4\\{ - 3}&4&1\end{array}} \right]\) را بر حسب ستون اول بدست آورید.
\(\begin{array}{l}\left| A \right| = + 2\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&4\\4&1\end{array}} \right] - 3\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 2}\\0&4\end{array}} \right]\\\\\left| A \right| = 2\left( {0 - 16} \right) - 3\left( { - 4 + 0} \right)\\\\ \Rightarrow \left| A \right| = - 20\end{array}\)
2 دترمینان ماتریس \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&3&4\\1&2&3\\{ - 1}&{ - 2}&1\end{array}} \right]\) را با روش ساروس بدست آورید.
\(\begin{array}{l}A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}5&3&4\\7&2&3\\0&{ - 4}&6\end{array}} \right]\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}5\\7\\0\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}3\\2\\{ - 4}\end{array}}\end{array}\\\\\left| A \right| = \left( {60 + 0 - 112} \right) - \left( {126 - 60 + 0} \right)\\\\\left| A \right| = - 52 - 66 = - 118\end{array}\)
1736019749.png)
