شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | بیضی](https://dl2.my-dars.com/upload/image/071744018223.jpg)
بیضی مکان هندسی نقاطی است مانند M که مجموع فواصل نقطه M از دو نقطه ثابت F و \(F'\) داخل بیضی مقدار ثابت \(2a\) است که این مقدار ثابت را قطر بزرگ بیضی می نامند.
اجزاء بیضی
1) دو نقطه F و \(F'\) داخل بیضی را کانون های بیضی می نامند و فاصله آنها را فاصله کانونی نامیده و با \(FF' = 2c\) نشان می دهیم.
2) \(AA' = 2a\) را قطر بزرگی بیضی و \(BB' = 2b\) را قطر کوچک بیضی نامیده که همان دو محور تقارن بیضی است و محل برخورد آنها یعنی O را مرکز بیضی می نامند که همان مرکز تقارن بیضی است.
3) به مقدار ثابت \(e = \frac{c}{a}\) که \(0 < e < 1\) است که خروج از مرکز بیضی می گوییم، که همواره مثبت است. اگر e به عدد 1 نزدیک شود، بیضی کشیده تر و هر قدر e به 0 نزدیکتر شود، بیضی به دایره نزدیک تر می شود.
اگر قطر بزرگ بیضی هم راستا با محور x ها و قطر کوچک آن هم راستا با محور y ها باشد، بیضی را افقی می نامند.
قطر بزرگ = \(AA' = 2a\)
قطر کوچک = \(BB' = 2b\)
فاصله کانونی = \(FF' = 2c\)
مرکز بیضی = \(O\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\alpha \\\beta \end{array}} \right]\)
خروج از مرکز بیضی = \(e = \frac{c}{a}\)
رابطه بین (\(a\;,\;b\;,\;c\) ) = \({c^2} = {a^2} - {b^2}\)
A و \(A'\) را رئوس کانونی (در امتداد کانون ها هستند.) و B و \(B'\) را رئوس غیر کانونی (در امتداد کانون ها نیستند.) می نامند.
فاصله یک راس کانونی از یک راس غیر کانونی = \(AB = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
مختصات کانونی : \(\begin{array}{l}F\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha + c}\\\beta \end{array}} \right]\\\\F'\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha - c}\\\beta \end{array}} \right]\end{array}\)
معادله بیضی افقی: \(\frac{{{{\left( {x - \alpha } \right)}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{\left( {y - \beta } \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
در بیضی افقی A و \(A'\) و F و \(F'\) با O هم عرض و B و \(B'\) با O هم طول هستند.
مثال
فاصله یک راس کانونی بیضی از مرکز و راس ناکانونی به ترتیب 2 و \(\sqrt 5 \) است. بیشترین فاصله نقطه M روی بیضی از یکی از کانون های بیضی چقدر است؟
\(\begin{array}{l}a = 2\\\\AB = \sqrt 5 \Rightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt 5 \\\\ \Rightarrow \sqrt {{2^2} + {b^2}} = \sqrt 5 \Rightarrow 4 + {b^2} = 5\\\\{b^2} = 1 \Rightarrow b = 1\\\\{c^2} = {a^2} - {b^2} = {2^2} - {1^2} = 3 \Rightarrow c = \sqrt 3 \end{array}\)
بیشترین فاصله یکی از نقاط بیضی از کانون فاصله A تا \(F'\) تا \(A'\) تا F است.
\(AF' = A'F = a + c = 2 + \sqrt 3 \)
قطر بزرگ = \(AA' = 2a\)
قطر کوچک = \(BB' = 2b\)
فاصله کانونی = \(FF' = 2c\)
مرکز بیضی = \(O\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\alpha \\\beta \end{array}} \right]\)
خروج از مرکز بیضی = \(e = \frac{c}{a}\)
رابطه بین (\(a\;,\;b\;,\;c\) ) = \({c^2} = {a^2} - {b^2}\)
A و \(A'\) را رئوس کانونی (در امتداد کانون ها هستند.) و B و \(B'\) را رئوس غیر کانونی (در امتداد کانون ها نیستند.) می نامند.
\(\begin{array}{l}A\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\alpha \\{\beta + a}\end{array}} \right]\;\;,\;\;A'\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\alpha \\{\beta - a}\end{array}} \right]\\\\B\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha + b}\\\beta \end{array}} \right]\;\;,\;\;B'\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha - b}\\\beta \end{array}} \right]\end{array}\)
فاصله یک راس کانونی از یک راس غیر کانونی = \(AB = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
مختصات کانون ها: \(\begin{array}{l}F\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\alpha \\{\beta + c}\end{array}} \right]\\\\F'\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\alpha \\{\beta - c}\end{array}} \right]\end{array}\)
معادله بیضی قائم: \(\frac{{{{\left( {x - \alpha } \right)}^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{{\left( {y - \beta } \right)}^2}}}{{{a^2}}} = 1\)
مخرج \({y^2}\) بزرگ تر باشد، قائم در بیضی قائم A و \(A'\) و O و F و \(F'\) هم طول و B و \(B'\) و O هم عرض هستند.
1 معادله یک بیضی به صورت \(2{x^2} + {y^2} = 10\) است، نوع بیضی را مشخص کرده سپس مختصات رئوس کانون ها، مرکز و اندازه قطر ها را بیابید.
\(\begin{array}{l}2{x^2} + {y^2} = 10 \Rightarrow \frac{{2{x^2}}}{{10}} + \frac{{{y^2}}}{{10}} = \frac{{10}}{{10}}\\\\ \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{5} + \frac{{{y^2}}}{{10}} = 1 \Rightarrow \frac{{{{\left( {x - 0} \right)}^2}}}{5} + \frac{{{{\left( {y - 0} \right)}^2}}}{{10}} = 1\end{array}\)
بیضی قائم است. (مخرج \({y^2}\) بزرگتر است.)
\(O\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\end{array}} \right]\)
\({a^2} = 10 \Rightarrow a = \pm \sqrt {10} \Rightarrow A\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{\sqrt {10} }\end{array}} \right]\;,\;A'\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{ - \sqrt {10} }\end{array}} \right]\)
قطر بزرگ = \(2a = 2\sqrt {10} \)
\({b^2} = 5 \Rightarrow a = \pm \sqrt 5 \Rightarrow B\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt 5 }\\0\end{array}} \right]\;,\;B'\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \sqrt 5 }\\0\end{array}} \right]\)
قطر کوچک = \(2b = 2\sqrt 5 \)
\(\begin{array}{l}{c^2} = {a^2} - {b^2} = 10 - 5 = 5 \Rightarrow c = \pm \sqrt 5 \\\\ \Rightarrow F\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{\sqrt 5 }\end{array}} \right]\;\;,\;\;F'\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{ - \sqrt 5 }\end{array}} \right]\end{array}\)
2 اگر در بیضی طول قطر بزرگ دو برابر طول قطر کوچک باشد اندازه زاویه \(F\hat BF'\) چند درجه است؟
\(\begin{array}{l}2a = 2\left( {2b} \right) \Rightarrow a = 2b\\\\{c^2} = {a^2} - {b^2} = 4{b^2} - {b^2} = 3{b^2} \Rightarrow c = \sqrt 3 b\\\\\tan {{\hat B}_1} = \frac{{OF}}{{OB}} = \frac{c}{b} = \frac{{\sqrt 3 b}}{b} = \sqrt 3 \\\\ \Rightarrow {{\hat B}_1} = {60^0} \Rightarrow F\hat BF' = 2 \times 60 = {120^0}\end{array}\)
تهیه کننده: امیرحسین مطلبی
1736019749.png)
