تابع تانژانت

دایره ی مثلثاتی بالا را در نظر بگیرید. در این دایره خط\(T'AT\)در نقطه ی A بر محور کسینوس ها عمود است. اگر نقطه ی A مبدأ این محور و جهت آن از پایین به بالا فرض شود طبق تعریف تانژانت می دانیم که \(tan\left( \alpha \right){\rm{ }} = {\rm{ }}AM'\) و با توجه به مختصات نقطه ی \(M'\) میتوان نوشت \(tan\left( \alpha \right){\rm{ }} = {\rm{ b}}\)

با این دید میتوان گفت که با تغییر زاویه ی\(\alpha \)مقدار \(tan\left( \alpha \right)\) نیز تغییر میکند لذا می توان گفت که \(f(x) = tan\left( \alpha \right)\) تابعی از زاویه ی \(\alpha \)است. این تابع را تابع تانژانت مینامند تابع تانژانت دارای ویژگی های زیر است.

الف : اگر زاویه ی \(\alpha \)در ربع اول یا سوم باشد، مقدار تابع مثبت است.

ب : اگر زاویه ی\(\alpha \) در ربع دوم یا چهارم باشد مقدار تابع منفی است.

ج : اگر زاویه ی\(\alpha \) برابر صفر یا رادیان باشد مقدار تابع صفر است.

د : تابع در نقاط\(\frac{\pi }{2}\)  و \(\frac{{3\pi }}{2}\) تعریف نمی شود. به طور کلی د دامنه و برد تابع تانژانت به شکل زیر است.

\(\begin{array}{l}{D_f} = \left\{ {x \in \left. R \right|} \right.x \ne k\pi + \frac{\pi }{2},k \in \left. z \right\}\\\\{R_f} = R\end{array}\)

و : چون \(\tan (\pi + x) = \tan (x)\) پس این تابع متناوب است و دوره ی تناوب آن \(T = \pi \) می باشد.

به طور کلی دوره ی تناوب تابع \(f(x) = a\tan (bx) + c\) برابر \(T = \frac{\pi }{{\left| b \right|}}\) است.

با افزایش مقدار \(\alpha \)در ربع اول مقدار تابع افزایش می یابد. بانزدیک شدن مقدار\(\alpha \) به\(\frac{\pi }{2}\) مقدار تابع ز زیاد و زیادتر می شود.

تانژانت مجموع و تفاضل دو زاویه

در این قسمت در پی آن هستیم رابطه هایی برای محاسبه ی تانژانت مجموع و تفاضل دو زاویه بیان کنیم به کمک روابطی که در سال گذشته برای سینوس و کسینوس مجموع و تفاضل دو زاویه داشتیم می توان نوشت:

\(\begin{array}{l}\tan (\alpha + \beta ) = \frac{{sin(\alpha + \beta )}}{{cos(\alpha + \beta )}}\\\\\frac{{sin\alpha .cos\alpha + cos\alpha .\sin \beta }}{{sin\alpha .cos\alpha - cos\alpha .\sin \beta }} = \frac{{\frac{{sin\alpha .cos\alpha + cos\alpha .\sin \beta }}{{cos\alpha .cos\beta }}}}{{\frac{{cos\alpha .cos\beta - \sin \alpha .\sin \beta }}{{cos\alpha .cos\beta }}}}\\\\\frac{{\frac{{sin\alpha .cos\beta }}{{cos\alpha .cos\beta }} + \frac{{cos\alpha .\sin \beta }}{{cos\alpha .cos\beta }}}}{{\frac{{cos\alpha .cos\beta }}{{cos\alpha .cos\beta }} - \frac{{\sin \alpha .\sin \beta }}{{cos\alpha .cos\beta }}}} = \frac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha .\tan \beta }}\\\\\tan (\alpha - \beta ) = \tan (\alpha + ( - \beta )) = \frac{{\tan \alpha + \tan ( - \beta )}}{{1 - \tan \alpha .\tan ( - \beta )}} = \frac{{\tan \alpha - \tan \beta }}{{1 + \tan \alpha .\tan \beta }}\end{array}\)

لذا خواهیم داشت:

\(\tan (\alpha - \beta ) = \frac{{\tan \alpha - \tan \beta }}{{1 + \tan \alpha .\tan \beta }}\)  (ب

          \(\tan (\alpha + \beta ) = \frac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha .\tan \beta }}\)  (الف