شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | حالت های خاص معادلات مثلثاتی](https://dl.my-dars.com/upload/image/0241739029103.jpg)
علاوه بر جدول کلی فوق در حل معادلات مثلثاتی میتوان از حالتهای خاص زیر نیز استفاده نمود.
مثال
معادله ی زیر را حل کنید.
\(\sin 2x - 1 = 0\)
\(\sin 2x = 1\to2x = 2k\pi + \frac{\pi }{2} \to x = k\pi + \frac{\pi }{4}\)
مثال
معادله ی زیر را حل کنید.
\({\sin ^2}x + \sin x = 0\)
\(\sin x(\sin x + 1) = 0 \to \left\{ \begin{array}{l}\sin x = 0 \to x = k\pi \\\\\sin x = - 1 \to x = 2k\pi - \frac{\pi }{2}\end{array} \right.\)
مثال
معادله ی زیر را حل کنید.
\({\sin ^2}x - 3\sin x + 2 = 0\)
\((\sin x - 1)(\sin x + 2) = 0 \to \left\{ \begin{array}{l}\sin x = 1\to x = 2k\pi + \frac{\pi }{2}\\\\\sin x = - 2\end{array} \right.\)
مثال
الف تساوی مقابل را ثابت کنید.
\(\sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin (x + \frac{\pi }{4})\)
\(\begin{array}{l}\sin x + \cos x = 1\\\\\sqrt 2 \sin (x + \frac{\pi }{4}) = 1 \to x + \frac{\pi }{4} = 2k\pi + \frac{\pi }{2} \to x = 2k\pi + \frac{\pi }{4}\end{array}\)
یادآوری : دو تساوی مهم و مفید را به خاطر داشته باشید.
\(\sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin (x + \frac{\pi }{4})\) الف
\(\sin x - \cos x = \sqrt 2 \sin (x - \frac{\pi }{4})\) ب
به کمک جواب عمومی میتوانید مجموعه ی جوابهای معادله را در یک محدوده ی مشخص را نیز تعیین کرد. برای این کار مقدار مختلف برای kاختیار کنید.
مثال
معادله ی زیر را حل کنید و مجموعه ی جواب های آن را در فاصله ی \(\left[ {0,2\pi } \right]\) را تعیین کنید.
\(2\sin 2x - 1 = 0\)
\(\begin{array}{l}2\sin 2x - 1 = 0 \to \sin 2x = \frac{1}{2}\\\\\left\{ \begin{array}{l}2x = 2k\pi + \frac{\pi }{6} \to x = k\pi + \frac{\pi }{{12}}(1)\\\\2x = (2k + 1)\pi - \frac{\pi }{6} \to x = 2k\pi + \frac{{5\pi }}{6} \to x = k\pi + \frac{{5\pi }}{{12}}(2)\end{array} \right.\end{array}\)
اکنون برای هر یک از جوابهای عمومی بدست آمده جدولی مشابه جدول زیر تنظیم می کنیم و با انتخاب مقادیر مختلف برایk ، جوابهای مورد نظر در محدوده داده شده را تعیین می کنیم.
لذا مجموعه ی جواب در فاصله ی داده شده برابر \(\left\{ {\frac{\pi }{{12}}} \right.,\frac{{5\pi }}{{12}},\frac{{13\pi }}{{12}},\left. {\frac{{17\pi }}{{12}}} \right\}\)
مثال
معادله ی زیر را حل کنید و مجموعه ی جواب های آن را در فاصله ی \(\left[ { - 2\pi ,2\pi } \right]\) را تعیین کنید.
\(co{s^2}x - {\mathop{\rm sinx}\nolimits} = \frac{1}{4}\)
\(\begin{array}{l}1 - {\sin ^2}x - {\mathop{\rm sinx}\nolimits} = \frac{1}{4} \to {\sin ^2}x + {\mathop{\rm sinx}\nolimits} = \frac{3}{4} \to 4{\sin ^2}x + 4{\mathop{\rm sinx}\nolimits} - 3 = 0\\\\\left\{ \begin{array}{l}\sin x = \frac{{ - 4 + 8}}{8} = \frac{1}{2}\\\\\sin x = \frac{{ - 4 - 8}}{8} = \frac{{ - 3}}{2}\end{array} \right.\end{array}\)
اکنون معادله ی (۱) را به شکل زیر ادامه می دهیم.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2k\pi + \frac{\pi }{6}\\\\x = (2k + 1)\pi - \frac{\pi }{6}\end{array} \right.\)
لذا مجموعه ی جواب در فاصله ی داده شده برابر \(\left\{ {\frac{\pi }{6}} \right.,\frac{{5\pi }}{6},\frac{{ - 7\pi }}{6},\left. {\frac{{ - 11\pi }}{6}} \right\}\)
حل چند تمرین کاربردی برای معادلات مثلثاتی
آیا میتوان مثلثی رسم کرد که طول دو ضلع آن ۲ و ۶ سانتی متر باشد و مساحت آن ۳ سانتی متر مربع شود. مسئله چند جواب دارد؟
فرض کنیم که چنین مثلثی وجود داشته باشد. لذا
\(\begin{array}{l}s = 3\to\frac{1}{2}(2)(6)sin\theta = 3 \to sin\theta = \frac{1}{2}\\\\\left\{ \begin{array}{l}\theta = 2k\pi + \frac{\pi }{6}\\\\\theta = (2k + 1)\pi - \frac{\pi }{6}\end{array} \right.\end{array}\)
حال مقدار 0 مجاز را تعیین می کنیم.
لذا دو مثلث با چنین شرایطی ) زاویه های داخلی هر مثلث مثبت و کمتر از ۱۸۰ درجه ) وجود دارد.
در مثلثی طول اضلاع آن ۱ و ۳ و \(\sqrt 7 \) است. زاویه ی روبروی ضلع به طول \(\sqrt 7 \) چقدر است؟
\(\begin{array}{l}0 < \theta < \pi \\\\({\sqrt {7)} ^2} = {\left( 1 \right)^2} + {\left( 3 \right)^2} - 2(1)(3)\cos \theta \to \cos \theta = \frac{1}{2}\\\\\left\{ \begin{array}{l}\theta = 2k\pi + \frac{\pi }{3}\\\\\theta = (2k + 1)\pi - \frac{\pi }{3}\end{array} \right.\end{array}\)
حال مقدار مجاز را تعیین می کنیم.
لذا یک مثلث با چنین شرایطی وجود دارد و در آن\(\theta = \frac{\pi }{3}\) می باشد.
یک بازیکن هندبال توپ را با سرعت 16متر بر ثانیه برای هم تیمی خود که در 12/8متری او قرار دارد پرتاب می کند. اگر رابطه ی بین سرعت توپ (vبر حسب متر بر ثانیه (مسافت طی شده افقی (dبرحسب متر) و زاویه ی پرتاب \(\theta \) به صورت زیر باشد. آنگاه زاویه ی پرتاب توپ چقدر بوده است؟
\(d = \frac{{{v^2}\sin 2\theta }}{{10}}\)
\(\begin{array}{l}0 < \theta < \pi \\\\12/8 = \frac{{{{(16)}^2}\sin 2\theta }}{{10}} \to \sin 2\theta = \frac{{12/8 \times 10}}{{256}} = \frac{1}{2} \to \left\{ \begin{array}{l}2\theta = 2k\pi + \frac{\pi }{6}\\\\2\theta = (2k + 1)\pi - \frac{\pi }{3}\end{array} \right.\\\\ \to \left\{ \begin{array}{l}\theta = k\pi + \frac{\pi }{{12}}\\\\\theta = (2k + 1)\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{{12}}\end{array} \right.\end{array}\)
π با توجه به شکل جواب قابل قبول \(\theta = \frac{\pi }{{12}}\) می باشد. ۱۲
شکل زیر زاویه ی دید دوربین \((\beta )\) با فاصله ی افقی آن با تابلو نقاشی را نشان می دهد.
اولاً : نشان دهید که رابطه ی بین زاویه ی دید دوربین \((\beta )\) با فاصله ی افقی آن با تابلو نقاشی به صورت زیر است.
\(\tan \beta = \frac{{5x}}{{2{x^2} + 3}}\)
ثانیاً : زاویه ی دید را در حالتی که فاصله ی افقی برابر یک متر است، به دست آورید.
\(\tan \alpha = \frac{{0/5}}{x}\)
همچنین برای مثلث بزرگ که یک زاویه ی آن \(\theta \) است. داریم :
\(\tan \theta = \frac{3}{x}\)
اکنون با استفاده از رابطه ی تفاضل زوایا برای تانژانت به دست می آید.
\(\begin{array}{l}\tan \beta = \tan (\theta - \alpha ) = \frac{{tan\theta - \tan \alpha }}{{1 + tan\theta - \tan \alpha }} = \frac{{\frac{3}{x} - \frac{{0/5}}{x}}}{{1 + \frac{3}{x} \times \frac{{0/5}}{x}}} = \frac{{\frac{{2/5}}{x}}}{{1 + \frac{{1/5}}{{{x^2}}}}} = \frac{{\frac{{2/5}}{x}}}{{\frac{{{x^2} + 1/5}}{{{x^2}}}}}\\\\\frac{{\frac{5}{{2x}}}}{{\frac{{2{x^2} + 3}}{{2{x^2}}}}} = \frac{{5x}}{{2{x^2} + 3}}\end{array}\)
وقتی فاصله ی افقی برابر یک متر است. آنگاه :
\(\tan \beta = \frac{{5(1)}}{{2{{(1)}^2} + 3}} = 1\to\beta = k\pi + \frac{\pi }{4}\)
لیکن با توجه به شکل تنها جواب منطقی در حالت 0=k است که در آن \(\beta = \frac{\pi }{4}\) را به دست می دهد. قابل قبول است.
تهیه کننده : جابر عامری
1736019749.png)
