تابع متناوب

الف واضح است که برای هر عدد صحیح k تساوی \(\sin (2k\pi + x) = \sin x\)برقرار است. لذا می توان \(f(2k\pi + x) = f(x)\) نوشت

پس طبق تعریف این تابع متناوب است و دوره ی تناوب آن به ازای ۱ k=برابر \(t = 2\pi \)  است.

ب واضح است که برای هر عدد صحیح k تساوی \(cos(2k\pi + x) = \sin x\) برقرار است. لذا می توان \(f(2k\pi + x) = f(x)\) نوشت

پس طبق تعریف این تابع متناوب است و دوره ی تناوب آن به ازای ۱ k=برابر \(t = 2\pi \)  است.

‏\(\left| a \right| + c = \left| { - 3} \right| + 5 = 8\)  مقدار ماگزیمم

‏ \( - \left| a \right| + c = - \left| 3 \right| + 5 = 2\) مقدار مینیمم

\(T = \frac{{2\pi }}{{\left| b \right|}} = \frac{{2\pi }}{{\left| 2 \right|}} = \pi \)  دوره ی تناوب

\( - \left| a \right| + c = - 7\) مقدار مینیمم

‏\(\left| a \right| + c = - 1\)  مقدار ماگزیمم

\(f(x) = asinbx + c\)

با توجه به دو تساوی فوق می توان نتیجه گرفت که \(2c = - 8\) پس ۴- = c لذا :

‏\(\left| a \right| - 4 = - 1 \to \left| a \right| = 3 \to a = \pm 3\)

\(T = \frac{{2\pi }}{{\left| b \right|}} = 4\pi \to \left| b \right| = \frac{1}{2} \to b = \pm \frac{1}{2}\) دوره ی تناوب

پس می توان گفت که این تابع به یکی از شکل های زیر است.

\(f(x) = - 3sin\frac{1}{2}x - 4\) یا\(f(x) = 3sin\frac{1}{2}x - 4\)

 این تابع یک تابع کسینوسی است و معادله ی آن به صورت \(y = a\cos bx\) خواهد بود.

از طرفی با توجه شکل معلوم است که دوره ی تناوب تابع برابر \(T = \pi \) است. از

\(\frac{{2\pi }}{{\left| b \right|}} = \pi \to \left| b \right| = 2 \to b = \pm 2\)

برای تعیین مقدار a کافی است مختصات یک نقطه از نمودار تابع را در معادله ی فوق جایگزین کنیم در این جا می توان نقطه ی (,-12۰) را در نظر گرفت

\(y = a\cos bx - 12 = a\cos bx(0) \to - 12 = a \times 1 \to a = - 12\)

در نهایت معادله ی تابع را بدین شکل خواهیم داشت.

\(y = - 12\cos 2x\)