آیا درسنامه هندسه یازدهم فصل 2 تبدیل های هندسی و کاربردها، مطابق با آخرین تغییرات کتب درسی است ؟

بله، درسنامه هندسه یازدهم فصل 2 مطابق با آخرین تغییرات کتب درسی 1402 - 1401 تدوین شده است.

آیا نکات درس به صورت کامل بیان شده اند ؟

بله، تمام نکات به صورت کاملا شیوا و با هدف یادگیری و تسلط به مبحث بیان شده اند.

درسنامه کامل هندسه یازدهم فصل 2 تبدیل های هندسی و کاربردها

تعداد بازدید : 7.04M

خلاصه نکات هندسه یازدهم فصل 2 تبدیل های هندسی و کاربردها - درسنامه شب امتحان هندسه یازدهم فصل 2 تبدیل های هندسی و کاربردها - جزوه شب امتحان هندسه یازدهم نوبت اول فصل 2 تبدیل های هندسی و کاربردها

تبدیل های هندسی

یکی از مفاهیم مهم در هندسه، تبدیل های هندسی است. وضعیت های مختلفی که هر شکل در اثر حرکت مجموعه نقاطش در صفحه پیدا می کند، در نتیجه یک تبدیل است.

تبدیل های مهم عبارت اند از: بازتاب، انتقال، دوران و تجانس

این تبدیل ها موقعیت یا اندازه شکل را تغییر می دهند.

تعریف تبدیل

تبدیل T در صفحه تابعی است که به هر نقطه A از صفحه دقیقا یک نقطه مانند \(A'\) از همان صفحه را نظیر کند.

\(\begin{array}{l}T:P \Rightarrow P\\\\T\left( A \right) = A'\end{array}\)

عبارت \(T\left( A \right) = A'\) یعنی \(A'\) تصویر نقطه A تحت تبدیل T است.

همچنین شکلی که از تبدیل شکل اولیه حاصل می شود را تصویر آن می نامند.

تبدیل طولپا (ایزومتری)

هر تبدیلی که طول پاره خط را حفظ می کند تبدیل طولپا یا ایزومتری نامیده می شود؛ به عبارت دیگر:

اگر \(A'\) تصویر A تحت تبدیل T باشد آنگاه \(T\left( A \right) = A'\)

اگر \(B'\) تصویر B تحت تبدیل T باشد آنگاه \(T\left( B \right) = B'\)

حال اگر T ایزومتری باشد آنگاه \(AB = A'B'\)

قضیه

هر تبدیل طولپا اندازه زاویه را حفظ می کند. (یعنی اندازه زاویه تصویر و خود زاویه مساوی است.)

اثبات

فرض کنیم T تبدیل طولپا باشد و زاویه \(A'\hat O'B'\) تصویر \(A\hat OB\) تحت این تبدیل باشد.

\(\begin{array}{l}T\left( A \right) = A'\\\\T\left( O \right) = O'\\\\T\left( B \right) = B'\\\\ \Rightarrow AO = A'O'\\\\BO = B'O'\\\\AB = A'B'\\\\ \Rightarrow A\mathop O\limits^\Delta B \cong A'\mathop {O'}\limits^\Delta B' \Rightarrow \hat O = \hat O'\end{array}\)

مثال

نقاط \(A\left( {3,3} \right)\) ، \(B\left( {1, - 1} \right)\) و \(C\left( { - 2,2} \right)\) راس های یک مثلث هستند.

الف مثلث و تصویرش را تحت تبدیل \(T\left( {x,y} \right) = \left( {x + 2, - y} \right)\) رسم کنید.

\(\begin{array}{l}T\left( A \right) = A'\\\\ \Rightarrow T\left( {3,3} \right) = \left( {3 + 2, - 3} \right) = \left( {5, - 3} \right)\\\\T\left( B \right) = B'\\\\ \Rightarrow T\left( {1, - 1} \right) = \left( {1 + 2,1} \right) = \left( {3,1} \right)\\\\T\left( C \right) = C'\\\\ \Rightarrow T\left( { - 2,2} \right) = \left( { - 2 + 2, - 2} \right) = \left( {0, - 2} \right)\end{array}\)

ب آیا این تبدیل طولپا است؟ چرا؟

\(\begin{array}{l}AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \\\\ \Rightarrow \sqrt {{{\left( {1 - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 3} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} \\\\ \Rightarrow \sqrt {4 + 16} = \sqrt {20} \\\\A'B' = \sqrt {{{\left( {{{x'}_B} - {{x'}_A}} \right)}^2} + {{\left( {{{y'}_B} - {{y'}_A}} \right)}^2}} \\\\ \Rightarrow \sqrt {{{\left( {3 - 5} \right)}^2} + {{\left( {1 - \left( { - 3} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2}} \\\\ \Rightarrow \sqrt {4 + 16} = \sqrt {20} \end{array}\)

از اثبات بالا نتیجه می گیریم که \(AB = A'B'\) به طور مشابه \(AC = A'C'\) و \(BC = B'C'\) یعنی تبدیل T طول پاره خط را حفظ می کند، لذا طولپا است

تبدیل یافته هر خط راست یک خط راست است. لذا برای پیدا کردن تبدیل یافته یک خط کافی است تبدیل یافته دو نقطه دلخواه از آن را پیدا کرده و تصویر خط را رسم کرد و حتی معادله تصویر را بدست آورد.

نقطه تبدیل ثابت

نقطه ای که تصویر آن بر خودش منطبق باشد، نقطه ثابت تبدیل می نامیم.

تصویر خط \(x + y = 2\) را تحت تبدیل \(T\left( {x,y} \right) = \left( {x + 1,y + 2} \right)\) رسم کنید و معادله تصویر را بدست آورید.

دو نقطه دلخواه از خط را بدست می آوریم.

\(\begin{array}{l}x + y = 2\\\\x = 0 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow A\left( {0,2} \right)\\\\y = 0 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow B\left( {2,0} \right)\\\\T\left( A \right) = A' \Rightarrow T\left( {0,2} \right)\\\\\left( {0 + 1,2 + 2} \right) = A'\left( {1,4} \right)\\\\T\left( B \right) = B' \Rightarrow T\left( {2,0} \right)\\\\\left( {2 + 1,0 + 2} \right) = B'\left( {3,2} \right)\end{array}\)

برای نوشتن معادله تصویر کافی است شیب آن را بدست آوریم:

\(\begin{array}{l}{m_{A'B'}} = \frac{{2 - 4}}{{3 - 1}} = \frac{{ - 2}}{2} = - 1\\\\y - {y_{A'}} = {m_{A'B'}}\left( {x - {x_{A'}}} \right)\\\\ \Rightarrow y - 4 = - 1\left( {x - 1} \right) \Rightarrow y = - x + 5\end{array}\)

تهیه کننده: امیرحسین مطلبی

مای درس ، برترین اپلیکیشن کمک درسی ایران

پوشش تمام محتواهای درسی پایه یازدهم

آزمون آنلاین تمامی دروس پایه یازدهم
گام به گام تمامی دروس پایه یازدهم
ویدئو های آموزشی تمامی دروس پایه یازدهم
گنجینه ای از جزوات و نمونه سوالات تمامی دروس پایه یازدهم
فلش کارت های آماده دروس پایه یازدهم
گنجینه ای جامع از انشاء های آماده پایه یازدهم
آموزش جامع آرایه های ادبی، دستور زبان، قواعد زبان انگلیسی و ... ویژه پایه یازدهم

کاملا رایگان

+500 هزار کاربر

همین حالا نصب کن

بازتاب

بازتاب نسبت به خط d تبدیلی است که در آن تصویر نقطه ای مانند A نقطه \(A'\) است به طوری که d عمود منصف پاره خط \(AA'\) خواهد بود.

D را محور تقارن بازتاب می گویند.

برای پیدا کردن بازتاب یک نقطه مانند A نسبت به خط d کافی است از نقطه A به خط داده شده عمود کنیم سپس از پای عمود به اندازه خودش امتداد دهیم تا \(A'\) بدست آید.

اگر نقطه ای روی محور تقارن بازتاب باشد، تصویر آن بر خودش منطبق می شود.

بازتاب نسبت به خط بی شمار نقطه ثابت تبدیل دارد، که همگی روی محور بازتاب قرار دارند.

تهیه کننده: امیرحسین مطلبی

جزوات جامع پایه یازدهم

جزوه جامع هندسه یازدهم فصل 1 دایره

جزوه جامع هندسه یازدهم فصل 2 تبدیل های هندسی و کاربردها

جزوه جامع هندسه یازدهم فصل 3 روابط طولی در مثلث

ویژگی های بازتاب

بازتاب شیب را لزوما حفظ نمی کند؛ مگر اینکه خط موازی محور بازتاب یا عمود بر محور بازتاب باشد.
بازتاب نسبت به خط ایزومتری (طولپا) است یعنی اندازه پاره خط ها را تغییر نمی دهد و شکل و تصویرش همنهشت اند.
بازتاب نسبت به خط، اندازه زاویه را تغییر نمی دهد، اما جهت زاویه و جهت شکل را تغییر می دهد.
بازتاب نسبت به خط دارای بیشمار نقطه ثابت تبدیل است که همگی روی محور بازتاب قرار دارند.
بازتاب، محیط و مساحت شکل را حفظ می کند.

قضیه

ثابت کنید بازتاب یک تبدیل طولپا است. (یعنی اندازه هر پاره خط و تصویرش در تبدیل بازتاب برابرند.)

اثبات

حالت های مختلف یک پاره خط نسبت به محور بازتاب را در نظر می گیریم.

الف)

فرض: \(AB\parallel d\)

حکم: \(AB = A'B'\)

در این حالت چون دو خط عمود بر یک خط باهم موازی هستند، لذا چهارضلعی \(ABB'A'\) مستطیل می باشد و از آنجا واضح است که:

\(AB = A'B'\)

ب)

AB و d متقاطع به صورت شکل بالا باشد:

\(\begin{array}{l}BH = B'H\\\\{H_1} = {H_2} = {90^0}\\\\AH = A'H\\\\ \Rightarrow A\mathop B\limits^\Delta H \cong A'\mathop {B'}\limits^\Delta H \Rightarrow AB = A'B'\end{array}\)

ج)

AB و d نه موازی باشد و نه متقاطع باشد:

AB را امتداد می دهیم تا خط d را در M قطع کند:

\(\begin{array}{l}MB = MB' \Rightarrow MB - MA\\\\ \Rightarrow MB' - MA' \Rightarrow AB = A'B'\end{array}\)

د)

AB و d متقاطع به صورت شکل بالا باشد:

\(\begin{array}{l}AM = A'M\\\\BM = B'M\\\\ \Rightarrow AM + BM = A'M + B'M\\\\ \Rightarrow AB = A'B'\end{array}\)

تهیه کننده: امیرحسین مطلبی

انتقال

یک بردار دارای ابتد، انتها، اندازه و راستا می باشد.

دو بردار مساوی

دو بردار که هم اندازه، هم راستا و هم جهت باشند دو بردار مساوی می باشند.

برای انتقال دادن یک شکل کافی است تصویر هر نقطه از شکل را به کمک بردار انتقال پیدا کنیم، مثلا نقطه A را به اندازه مختصات بردار انتقال جا به جا می کنیم، تصویر آن یعنی \(A'\) بدست می آسد.

در واقع اگر \(A'\) تصویر A به کمک بردار انتقال \(\mathop V\limits^ \to \) باشد، آنگاه \(\mathop {AA'}\limits^ \to = \mathop V\limits^ \to \)

تعریف انتقال

انتقال تحت بردار \(\mathop V\limits^ \to \) تبدیلی است که در آن اگر \(A'\) تصویر A بوسیله آن تبدیل باشد، آنگاه \(\mathop {AA'}\limits^ \to = \mathop V\limits^ \to \) همچنین (\(\mathop {AA'}\limits^ \to \parallel \mathop V\limits^ \to \) )

به عبارت دیگر پاره خطی که هر نقطه را به تصویرش در انتقال وصل می کند با بردار انتقال مساوی و موازی است.

مثلث ABC به مختصات رئوس \(A\left( { - 2,2} \right)\) ، \(B\left( { - 4, - 1} \right)\) و \(C\left( { - 1,0} \right)\) را به وسیله بردار انتقال \(\mathop V\limits^ \to \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\2\end{array}} \right]\) انتقال دهید و تصویر آن را در صفحه مختصات رسم کنید.

\(\mathop {AA'}\limits^ \to = \mathop {BB'}\limits^ \to = \mathop {CC'}\limits^ \to = \mathop V\limits^ \to \)

تهیه کننده: امیرحسین مطلبی