درسنامه کامل هندسه یازدهم فصل 3 روابط طولی در مثلث

در هر مثلث قائم الزاویه، هر ضلع قائم واسطه هندسی وتر و تصویر آن ضلع بر وتر است:

1) \(A{B^2} = BC \times BH\)

2) \(A{C^2} = BC \times CH\)

ارتفاع های وارد بر وتر واسطه هندسی قطعه های ایجاد شده، روی وتر است:

3) \(A{H^2} = BH \times CH\)

رابطه فیثاغورس:

4) \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)

حاصل ضرب اضلاع قائمه برابر است با حاصل ضرب وتر و ارتفاع وارد بر وتر:

5) \(AB \times AC = BC \times AH\)

در مثلث دلخواه ABC داریم:

\(\frac{a}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} A}} = \frac{b}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} B}} = \frac{c}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} C}} = 2R\)

اثبات:

حالت اول: \(A < {90^0}\)

قطر BD را رسم می کنیم و D را به A وصل می کنیم. دو زاویه D و C محاطی و رو به رو به کمان AB هستند، لذا با هم  برابر هستند:

\(\hat D = \hat C = \frac{{AB}}{2}\)

\(\begin{array}{l}\mathop {BAD}\limits^\Delta = {90^0}\\\\{\mathop{\rm Sin}\nolimits} D = \frac{c}{{BD}} \Rightarrow {\mathop{\rm Sin}\nolimits} C = \frac{c}{{BD}}\\\\ \Rightarrow \frac{c}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} C}} = BD = 2R\\\\\frac{b}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} B}} = 2R\;,\;\frac{a}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} A}} = 2R\\\\ \Rightarrow \frac{a}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} A}} = \frac{b}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} B}} = \frac{c}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} C}} = 2R\end{array}\)

حالت دوم: \(A > {90^0}\)

نقطه دلخواه \(A'\) روی کمان BC را به B و C وصل می کنیم.

A و \(A'\) مکمل یکدیگرند یعنی \(\hat A + \hat A' = {180^0}\)  زیرا \(ABA'C\)  چهار ضلعی محاطی است پس قضایای اثبات شده زاویه های مقابل مکمل اند.

\(\begin{array}{l}\hat A + \hat A' = {180^0} \Rightarrow A > {90^0} \Rightarrow A' < {90^0}\\\\\frac{a}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} A'}} = 2R\\\\ \Rightarrow {\mathop{\rm Sin}\nolimits} A = {\mathop{\rm Sin}\nolimits} \left( {180 - A'} \right) = {\mathop{\rm Sin}\nolimits} A'\\\\ \Rightarrow \frac{a}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} A}} = 2R\;,\;\frac{b}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} B}} = 2R\;,\;\frac{c}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} C}} = 2R\end{array}\)

از قبل می دانیم در مثلث قائم الزاویه با داشتن دو ضلع قائمه از رابطه فیثاغورس می توان ضلع سوم را بدست آورد.

رابطه فیثاغورس: \({a^2} = {b^2} + {c^2}\)

در هر مثلث، مربع اندازه هر ضلع برابر است با مجموع مربع های اندازه های دو ضلع دیگر منهای دو برابر حاصل ضرب آنها در کسینوس زاویه بین آنها.

\(\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A\\\\{b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac{\mathop{\rm Cos}\nolimits} B\\\\{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab{\mathop{\rm Cos}\nolimits} C\end{array}\)

اثبات

رابطه اول را ثابت می کنیم دو رابطه دیگر به طور مشابه اثبات می شوند.

حالت اول در مثلث ABC زاویه \(\hat A < {90^0}\)

\(\begin{array}{l}\mathop {ABH}\limits^\Delta :{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A = \frac{{AH}}{c} \Rightarrow AH = c \times {\mathop{\rm Cos}\nolimits} A\\\\CH = b - AH \Rightarrow CH = b - c{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A\\\\{\mathop{\rm Sin}\nolimits} A = \frac{{BH}}{c} \Rightarrow BH = c \times {\mathop{\rm Sin}\nolimits} A\\\\{a^2} = B{H^2} + C{H^2}\\\\ \Rightarrow {a^2} = {\left( {c \times {\mathop{\rm Sin}\nolimits} A} \right)^2} + {\left( {b - c{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A} \right)^2}\\\\{a^2} = {c^2}{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} ^2}A + {b^2} - 2bc{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A + {c^2}{{\mathop{\rm Cos}\nolimits} ^2}A\\\\{a^2} = {c^2}\left( {{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} }^2}A + {{{\mathop{\rm Cos}\nolimits} }^2}A} \right) + {b^2} - 2bc{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A\\\\{a^2} = {c^2} + {b^2} - 2bc{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A\end{array}\)

حالت دوم در مثلث ABC زاویه \(A > {90^0}\)  باشد.

\(\begin{array}{l}{A_1} = 180 - A\\\\ \Rightarrow {\mathop{\rm Sin}\nolimits} {A_1} = {\mathop{\rm Sin}\nolimits} \left( {180 - A} \right) = {\mathop{\rm Sin}\nolimits} A\\\\ \Rightarrow {\mathop{\rm Cos}\nolimits} {A_1} = {\mathop{\rm Cos}\nolimits} \left( {180 - A} \right) = - {\mathop{\rm Cos}\nolimits} A\\\\{\mathop{\rm Cos}\nolimits} {A_1} = \frac{{AH}}{C} \Rightarrow AH = c \times {\mathop{\rm Cos}\nolimits} {A_1}\\\\ \Rightarrow AH = - c \times {\mathop{\rm Cos}\nolimits} A\\\\ \Rightarrow CH = b - c{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A\\\\ \Rightarrow BH = c \times {\mathop{\rm Sin}\nolimits} A\\\\B{C^2} = B{H^2} + C{H^2}\\\\{a^2} = {\left( {C{\mathop{\rm Sin}\nolimits} A} \right)^2} + {\left( {b - c{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A} \right)^2}\\\\{a^2} = {c^2}{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} ^2}A + {b^2} - 2bc{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A + {c^2}{{\mathop{\rm Cos}\nolimits} ^2}A\\\\{a^2} = {c^2}\left( {{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} }^2}A + {{{\mathop{\rm Cos}\nolimits} }^2}A} \right) + {b^2} - 2bc{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A\\\\ \Rightarrow {a^2} = {c^2} + {b^2} - 2bc{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A\end{array}\)

در مثلث ABC میانه AM را رسم کرده ایم، ثابت کنید:

\({b^2} + {c^2} = 2A{M^2} + \frac{{{a^2}}}{2}\)

با استفاده از قضیه کسینوس ها در دو مثلث \(\mathop {ABM}\limits^\Delta \)  و \(\mathop {ACM}\limits^\Delta \)  داریم:

\(\begin{array}{l}\mathop {ABM}\limits^\Delta :A{B^2} = A{M^2} + B{M^2} - 2AM.BM{\mathop{\rm Cos}\nolimits} \alpha \\\\ \Rightarrow {c^2} = A{M^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} - 2AM.\left( {\frac{a}{2}} \right){\mathop{\rm Cos}\nolimits} \alpha \\\\\mathop {ACM}\limits^\Delta :A{C^2} = A{M^2} + C{M^2} - 2AM.CM - {\mathop{\rm Cos}\nolimits} \alpha \\\\ \Rightarrow {b^2} = A{M^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} + 2AM.\left( {\frac{a}{2}} \right){\mathop{\rm Cos}\nolimits} \alpha \\\\{c^2} + {b^2} = 2A{M^2} + \frac{{{a^2}}}{2}\end{array}\)

در هر مثلث نیم ساز زاویه داخلی، ضلع رو به رو به آن زاویه را به نسبت اندازه های دو ضلع دیگر مثلث تقسیم می کند.

فرض: \({\hat A_1} = {\hat A_2}\)

حکم: \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\)

اثبات

از نقطه C خطی موازی با نیم ساز AD رسم می کنیم تا امتداد AB را در E قطع کند.

\(\begin{array}{l}AD\parallel EC \Rightarrow {{\hat A}_2} = {{\hat C}_1}\\\\AD\parallel EC \Rightarrow {{\hat A}_1} = \hat E\\\\ \Rightarrow {{\hat A}_1} = {{\hat A}_2} \Rightarrow {{\hat C}_1} = \hat E\\\\ \Rightarrow A\mathop E\limits^\Delta C \Rightarrow AE = AC\\\\\mathop {BEC}\limits^\Delta :AD\parallel EC \Rightarrow \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AE}}\\\\ \Rightarrow AE = AC \Rightarrow \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\end{array}\)

در هر مثلث، مربع اندازه هر نیم ساز داخلی برابر است با حاصل ضرب اندازه دو ضلع زاویه، منهای حاصل ضرب اندازه ی دو قطعه ای که نیم ساز روی ضلع مقابل ایجاد می کند.

حکم: \(A{D^2} = AB \times AC - BD \times DC\)

اثبات

ابتدا دایره محیطی مثلث ABC را رسم می کنیم و نیم ساز AD را امتداد می دهیم تا دایره محیطی را در نقطه E قطع کند.

\(\begin{array}{l}AD \Rightarrow {{\hat A}_1} = {{\hat A}_2}\\\\\hat B = \hat E = \frac{{AC}}{2}\\\\\mathop {ABD}\limits^\Delta \sim \mathop {AEC}\limits^\Delta \Rightarrow \frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{BD}}\\\\ \Rightarrow \frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AB}} \Rightarrow AB \times AC = AD \times AE\\\\ \Rightarrow AE = AD + DE\\\\ \Rightarrow AB \times AC = AD\left( {AD + DE} \right)\\\\ \Rightarrow AB \times AC = A{D^2}AD \times AE\\\\ \Rightarrow AD \times AE = BD \times DC\\\\ \Rightarrow AB \times AC = A{D^2}BD \times DC\\\\ \Rightarrow A{D^2} = AB \times AC - BD \times DC\end{array}\)

مساحت مثلث ABC با طول اضلاع a، b و c از رابطه زیر حاصل می شود:

\(S = \sqrt {P\left( {P - a} \right)\left( {P - b} \right)\left( {P - c} \right)} \)

P نصف محیط است یعنی:

\(P = \frac{{a + b + c}}{2}\)

قضیه

مساحت هر مثلث برابر است با نصف حاصل ضرب اندازه دو ضلع در سینوس زاویه بین آنها.

حکم: \({S_{A\mathop B\limits^\Delta C}} = \frac{1}{2}AB \times BC \times {\mathop{\rm Sin}\nolimits} B\)

اثبات

\(\begin{array}{l}{\mathop{\rm Sin}\nolimits} B = \frac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow AH = AB \times {\mathop{\rm Sin}\nolimits} \hat B\\\\{S_{A\mathop B\limits^\Delta C}} = \frac{1}{2}AH \times BC\\\\ \Rightarrow {S_{A\mathop B\limits^\Delta C}} = \frac{1}{2}AB \times BC \times {\mathop{\rm Sin}\nolimits} B\end{array}\)