درسنامه کامل هندسه دوازدهم فصل 1 ماتریس و کاربردها

به هر آرایش مستطیلی شکل از اعداد را یک ماتریس می گوییم.

\({\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}& \ldots &{{a_{1n}}}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\{{a_{m1}}}& \cdots &{{a_{mn}}}\end{array}} \right]_{m \times n}}\)

مرتبه ماتریس

به حاصل ضرب تعداد سطر ها در تعداد ستون ها مرتبه ماتریس می گوییم.

اگر تعداد سطر ها و ستون های ماتریس A برابر باشد، آنگاه به آن ماتریس، ماتریس مربعی می گوییم؛ ساده ترین ماتریس مربعی ماتریس \(1 \times 1\) می باشد.

ماتریس مربعی که درایه های غیر واقع بر قطر اصلی (واقع بر قطر فرعی) همگی صفر باشند.

ماتریس های زیر همگی قطری هستند:

\(\begin{array}{l}A = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&2\end{array}} \right]_{2 \times 2}}\\\\B = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}7&0&0\\0&5&0\\0&0&3\end{array}} \right]_{3 \times 3}}\\\\C = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}4\\0\\0\\0\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\\0\\0\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\\0\\0\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\\0\\9\end{array}}\end{array}} \right]_{4 \times 4}}\end{array}\)

ماتریس قطری که در آن درایه های واقع بر قطر اصلی همگی یکسان باشند.

ماتریس های زیر همگی اسکالر هستند:

\(\begin{array}{l}A = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&0\\0&2\end{array}} \right]_{2 \times 2}}\\\\B = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}7&0&0\\0&7&0\\0&0&7\end{array}} \right]_{3 \times 3}}\\\\C = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}4\\0\\0\\0\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}0\\4\\0\\0\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\\4\\0\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\\0\\4\end{array}}\end{array}} \right]_{4 \times 4}}\end{array}\)

ماتریس مربعی است که قطر اصلی آن همگی 1 و باقی درایه ها همگی صفر باشد، ماتریس همانی را با نماد \({I_n}\) نشان می دهیم.

ماتریس های زیر همانی هستند:

\(\begin{array}{l}A = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right]_{2 \times 2}}\\\\B = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}} \right]_{3 \times 3}}\\\\C = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\\0\\0\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\\0\\0\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\\1\\0\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\\0\\1\end{array}}\end{array}} \right]_{4 \times 4}}\end{array}\)

در جمع دو ماتریس تک تک درایه ها را با هم جمع می کنیم، یعنی درایه \({a_{11}}\)  ماتریس A را با درایه \({b_{11}}\)  ماتریس B جمع می کنیم و حاصل را در ماتریس جدید در درایه \({c_{11}}\) می نویسیم.

در تفریق دو ماتریس نیز مانند جمع دو ماتریس عمل می کنیم.

دو ماتریس \({A_{m \times p}}\)  و \({B_{p \times n}}\)  را در نظر می گیریم؛ حاصل ضرب \(A \times B\) زمانی قابل تعریف است که تعداد ستون های ماتریس اول با تعداد سطر های ماتریس دوم برابر باشد.

\({A_{m \times p}} \times {B_{p \times n}} = {C_{m \times n}}\)

برای ضرب دو ماتریس کافی است سطر های ماتریس اول در ستون های ماتریس دوم ضرب شود.

اگر ماتریس A به توان عددی رسیده باشد، ابتدا توان دو ماتریس A را به دست می آوریم و سپس شروع به حل می کنیم.

برای هر ماتریس مربعی یک عدد به نام دترمینان نسبت می دهیم (عدد حقیقی) و آن را با نماد \(\det \left( A \right)\)  یا \(\left| A \right|\)  نشان می دهیم.

الف) نحوه محاسبه دترمینان ماتریس های \(2 \times 2\):

\(\begin{array}{l}A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\c&d\end{array}} \right]\\\\\det \left( A \right) = ad - bc\end{array}\)

ب) نحوه محاسبه دترمینان ماتریس های \(3 \times 3\):

روش اول: ساروس

در این روش ما ابتدا دو ستون اول مارتیس مورد نظرمان را ادامه داده و سپس همانند محاسبه دترمینان ماتریس \(2 \times 2\) عمل می کنیم.

\(\begin{array}{l}A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k\end{array}} \right]\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}a\\d\\g\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}b\\e\\h\end{array}}\end{array}\\\\\left| A \right| = \left( {aek + bfg + cdh} \right) - \left( {bdk + afh + ceg} \right)\end{array}\)

روش دوم: بسط

در روش بسط ما یک سطر و یا ستون را انتخاب کرده و سپس کار خود را ادامه می دهیم.

بسط نسبت به سطر اول:

\(\begin{array}{l}A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k\end{array}} \right]\\\\\left| A \right| = a\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}e&f\\h&k\end{array}} \right] - b\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}d&f\\g&k\end{array}} \right] + c\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}d&e\\g&h\end{array}} \right]\\\\\left| A \right| = a\left( {ek - fh} \right) - b\left( {dk - fg} \right) + c\left( {dh - eg} \right)\end{array}\)

دترمینان هر ماتریس قطری برابر است با ضرب درایه های قطر اصلی و دترمینان ماتریس مربعی صفر، صفر است.

اگر \(\left| A \right| \ne 0\)  باشد، در این صورت ماتریس A وارون پذیر است و وارون آن را با نماد \({A^{ - 1}}\)  نشان می دهیم و برای ماتریس های \(2 \times 2\) به صورت زیر بدست می آید:

\(\begin{array}{l}A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\c&d\end{array}} \right]\\\\{A^{ - 1}} = \frac{1}{{\left| A \right|}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}d&{ - b}\\{ - c}&a\end{array}} \right]\end{array}\)

\(\begin{array}{l}ax + by = m\\\\cx + dy = n\end{array}\)

حال این معادله را تبدیل به معادله ماتریس می کنیم:

\(\begin{array}{l}AX = B\\A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\c&d\end{array}} \right]\\\\X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right]\\\\B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}m\\n\end{array}} \right]\end{array}\)

جواب معادله ماتریس به صورت زیر است:

\(X = {A^{ - 1}} \times B\)

بحث روی تعداد جواب های دستگاه:

\(\begin{array}{l}ax + by = m\\\\cx + dy = n\end{array}\)

حالت اول: دستگاه فقط یک جواب دارد:

\(\frac{a}{c} \ne \frac{b}{d}\)

حالت دوم: دستگاه بی شمار جواب دارد:

\(\frac{a}{c} = \frac{b}{d} = \frac{m}{n}\)

حالت سوم: دستگاه جواب ندارد:

\(\frac{a}{c} = \frac{b}{d} \ne \frac{m}{n}\)

ویژگی 1:

\(\left| {AB} \right| = \left| A \right|\left| B \right|\)

ویژگی 2:

\(\begin{array}{l}\left| {kA} \right| = {k^n} \times \left| A \right|\\\\k \in \mathbb{R}\end{array}\)

در اینجا n مرتبه ماتریس A است.

ویژگی 3:

\(\left| {{A^{ - 1}}} \right| = \frac{1}{{\left| A \right|}}\)

ویژگی 4:

\(\left| {{A^n}} \right| = {\left( {\left| A \right|} \right)^n}\)