درسنامه کامل هندسه دوازدهم فصل 3 بردارها

منظور از فضای \({R^3}\) ، مجموعه تمام سه تایی های مرتبی مانند \(\left( {x,y,z} \right)\)  است که در آنها x، y و z اعداد حقیقی باشند، به عبارت دیگر:

\({R^3} = \left\{ {\left( {x,y,z} \right)|x,y,z \in \mathbb{R}} \right\}\)

دستگاه قائم مختصات یا محور های مختصات دکارتی در فضا را به صورت \(O\left( {x,y,z} \right)\)  نشان می دهند.

به طور کلی مختصات هر نقطه مانند P را در فضای \({R^3}\)  به صورت \(P\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\)  مشخص می کنند که در آن \({x_0}\) طول نقطه P، \({y_0}\) عرض نقطه P و \({z_0}\) ارتفاع نقطه P نامیده می شود.

اگر \(P\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\)  و \(Q\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)\)  دو نقطه در فضا باشند، طول پاره خط PQ را با علامت \(\left| {PQ} \right|\)  نشان داده و از رابطه زیر بدست می آوریم:

\(\left| {PQ} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_0} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_0} - {y_1}} \right)}^2} + {{\left( {{z_0} - {z_1}} \right)}^2}} \)

فاصله نقطه \(P\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\)  از مبدا مختصات \(O\left( {0,0,0} \right)\)  یعنی طول پاره خط \(\left| {OP} \right|\)  از رابطه زیر به دست می آید:

\(\left| {OP} \right| = \sqrt {x_0^2 + y_0^2 + z_0^2} \)

اگر \(A\left( {{x_A},{y_A},{z_A}} \right)\)  و \(B\left( {{x_B},{y_B},{z_B}} \right)\)  دو نقطه دلخواه در فضای \({R^3}\)  باشند، مختصات نقطه M وسط پاره خط AB از رابطه های زیر بدست می آید.

\(\begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\\\{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\\\{z_M} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array}\)

در متوازی الاضلاع ABCD رابطه های زیر بین مختصات چهار راس آن برقرار است:

\(\begin{array}{l}{x_A} + {x_C} = {x_B} + {x_D}\\\\{y_A} + {y_C} = {y_B} + {y_D}\\\\{z_A} + {z_C} = {z_B} + {z_D}\end{array}\)

در مثلث \(\mathop {ABC}\limits^\Delta \)  نقطه برخورد سه میانه مثلث را مرکز ثقل مثلث نامیده و با G نامگذاری می کنیم، مختصات نقطه G از رابطه های زیر به دست می آید.

\(\begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array}\)

هر پاره خط جهت دار را یک بردار هندسی می نامند. برداری که نقطه ابتدای آن A و نقطه انتهای آن B باشد را به صورت \(\mathop {AB}\limits^ \to \)  نشان می دهند.

هر بردار دارای سه مشخصه است:

1. راستا
2. جهت
3. ندازه

مولفه های یک بردار

فرض کنید \(A\left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\)  نقطه ای دلخواه در فضای \({R^3}\)  باشد. پاره خط جهت دار با نقطه ی شروع مبدا \(O\left( {0,0,0} \right)\)  و نقطه پایان \(A\left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\)  را یک بردار در فضای \({R^3}\)  می گوییم.

\(\mathop {OA}\limits^ \to = \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\)

1) مختصات برداری که ابتدای آن نقطه \(A\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)\)  و مختصات انتهای \(B\left( {{x_2},{y_2},{z_2}} \right)\)  باشد عبارت است از:

\(\mathop {AB}\limits^ \to = \left( {{x_2} - {x_1},{y_2} - {y_1},{z_2} - {z_1}} \right)\)

2) برداری که ابتدا و انتهای آن یک نقطه باشد، بردار صفر نامیده می شود و آن را به صورت \(\mathop O\limits^ \to = \left( {0,0,0} \right)\)  نشان می دهند.

3) تساوی دو بردار

دو بردار \(\mathop a\limits^ \to \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\)  و \(\mathop b\limits^ \to \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\)  مساوی هستند، اگر و تنها اگر مولفه های آنها نظیر به نظیر برابر باشند.

\(\begin{array}{l}\mathop a\limits^ \to = \mathop b\limits^ \to \Leftrightarrow \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right) = \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\\\\{a_1} = {b_1}\\\\{a_2} = {b_2}\\\\{a_3} = {b_3}\end{array}\)

4) اندازه (طول) یک بردار

طول یا اندازه بردار \(\mathop a\limits^ \to \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\)  را با علامت \(\left| a \right|\) نشان داده و از فرمول زیر محاسبه می کنیم:

\(|\mathop a\limits^ \to | = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \)

5) زاویه بین دو بردار غیر صفر \(\mathop a\limits^ \to \) و \(\mathop b\limits^ \to \) را زاویه ای مانند \(\theta \) در نظر می گیریم که:

\(0 \le \theta \le \pi \)

6) ضرب عدد در بردار

اگر m یک عدد حقیقی و \(\mathop a\limits^ \to \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\)  یک بردار باشد، حاصل ضرب m در بردار a به صورت زیر تعریف می کنیم:

\(m\mathop a\limits^ \to \left( {m{a_1},m{a_2},m{a_3}} \right)\)

7) قرینه بردار

اگر \(\mathop a\limits^ \to \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\)  یک بردار باشد قرینه \(\mathop a\limits^ \to \) را با علامت \( - \mathop a\limits^ \to \)  نشان داده و به صورت زیر تعریف می کنیم:

\( - \mathop a\limits^ \to \left( { - {a_1}, - {a_2}, - {a_3}} \right)\)

8) جمع بردار ها

اگر \(\mathop a\limits^ \to \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\)  و \(\mathop b\limits^ \to \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\)  دو بردار باشند، مجموع آنها را با علامت \(\mathop a\limits^ \to + \mathop b\limits^ \to \)  نشان داده و به صورت زیر تعریف می کنیم:

\(\begin{array}{l}\mathop a\limits^ \to + \mathop b\limits^ \to = \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right) + \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\\\\ \Rightarrow \left( {{a_1} + {b_1},{a_2} + {b_2},{a_3} + {b_3}} \right)\end{array}\)

به همین ترتیب داریم:

\(\begin{array}{l}\mathop a\limits^ \to - \mathop b\limits^ \to = \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right) - \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\\\\ \Rightarrow \left( {{a_1} - {b_1},{a_2} - {b_2},{a_3} - {b_3}} \right)\end{array}\)

دو بردار \(\mathop a\limits^ \to \) و \(\mathop b\limits^ \to \) را هم راستا می گویند هر گاه یکی مضربی از دیگری باشد، به عبارت دیگر:

\(\mathop b\limits^ \to = r\mathop a\limits^ \to \)

اگر \(\mathop a\limits^ \to \)، \(\mathop b\limits^ \to \) و \(\mathop c\limits^ \to \) سه بردار دلخواه و \(\mathop O\limits^ \to = \left( {0,0,0} \right)\)  بردار صفر و نیز r و S دو عدد حقیقی باشند؛ آنگاه:

1) خاصیت جا به جایی جمع

\(\mathop a\limits^ \to + \mathop b\limits^ \to = \mathop b\limits^ \to + \mathop a\limits^ \to \)

2) خاصیت شرکت پذیری جمع

\(\mathop a\limits^ \to + (\mathop b\limits^ \to + \mathop c\limits^ \to ) = (\mathop b\limits^ \to + \mathop a\limits^ \to ) + \mathop c\limits^ \to \)

3) عضو قرینه

\(\mathop a\limits^ \to + (\mathop { - a}\limits^ \to ) = ( - \mathop a\limits^ \to ) + \mathop a\limits^ \to = \mathop O\limits^ \to \)

4) عضو خنثی

\(\mathop a\limits^ \to + \mathop O\limits^ \to = \mathop O\limits^ \to + \mathop a\limits^ \to = \mathop a\limits^ \to \)

5) \(r(\mathop a\limits^ \to + \mathop b\limits^ \to ) = r\mathop a\limits^ \to + \mathop {rb}\limits^ \to \)

6) \((r + S)\mathop a\limits^ \to = r\mathop a\limits^ \to + S\mathop a\limits^ \to \)

7) \((rS)\mathop a\limits^ \to = \mathop r\limits^ \to (S\mathop a\limits^ \to )\)

8) \(|\mathop b\limits^ \to | = |r| \times |\mathop a\limits^ \to |\; \Rightarrow \;\mathop b\limits^ \to = r\mathop a\limits^ \to \)

هر بردار که طول و اندازه آن یک واحد باشد، بردار یکه نامیده می شود. بردار یکه در جهت محور طول ها را با \(\mathop i\limits^ \to = \left( {1,0,0} \right)\)  و بردار یکه در جهت عرض ها را با \(\mathop j\limits^ \to = \left( {0,1,0} \right)\)  و بردار یکه در جهت محور ارتفاع ها را با \(\mathop k\limits^ \to = \left( {0,0,1} \right)\)  نشان می دهیم؛ هر بردار مانند \(\mathop a\limits^ \to \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\)  را می توان بر حسب بردار های یکه \(\mathop i\limits^ \to \)، \(\mathop j\limits^ \to \) و \(\mathop k\limits^ \to \) نوشت:

\(\begin{array}{l}\mathop a\limits^ \to \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\\\\\left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right) = \left( {{a_1},0,0} \right) + \left( {0,{a_2},0} \right) + \left( {0,0,{a_3}} \right)\\\\ \Rightarrow {a_1}\left( {1,0,0} \right) + {a_2}\left( {0,1,0} \right) + {a_3}\left( {0,0,1} \right)\\\\ \Rightarrow {a_1}\mathop i\limits^ \to + {a_2}\mathop j\limits^ \to + {a_3}\mathop k\limits^ \to \\\\ \Rightarrow a = \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right) = {a_1}\mathop i\limits^ \to + {a_2}\mathop j\limits^ \to + {a_3}\mathop k\limits^ \to \end{array}\)

1) اگر \(\mathop a\limits^ \to \) و \(\mathop b\limits^ \to \) دو بردار غیر صفر و زاویه بین آنها \(\left( {0 \le \theta \le 1} \right)\;\;\theta \)  باشد، در این صورت ضرب داخلی \(\mathop a\limits^ \to \) در \(\mathop b\limits^ \to \) با علامت \(\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to \)  نشان داده و به صورت زیر تعریف می کنیم:

\(\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to = \left| a \right|\left| b \right|\cos \theta \)

2) اگر \(\mathop a\limits^ \to \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\)  و \(\mathop b\limits^ \to \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\)  دو بردار در فضای \({R^3}\)  باشند، در این صورت ضرب داخلی \(\mathop a\limits^ \to \) در \(\mathop b\limits^ \to \) را با علامت \(\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to \)  نشان داده و به صورت زیر تعریف می کنیم:

\(\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}\)

1) چون حاصل ضرب داخلی دو بردار یک عدد حقیقی است به آن ضرب اسکالر یا ضرب عددی نیز می گویند.

2) اگر یکی از دو بردار a یا b یا هر دو برابر بردار صفر باشند، حاصل ضرب داخلی آنها صفر می باشد.

\(\mathop a\limits^ \to = \mathop 0\limits^ \to \; \vee \;\mathop b\limits^ \to = \mathop 0\limits^ \to \; \Rightarrow \;\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to = 0\)

عکس رابطه درست نیست.

3) ضرب داخلی دو بردار خاصیت جا به جایی دارد.

\(\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to = \mathop b\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to \)

4) برای هر دو بردار a و b و هر عدد حقیقی m داریم:

\(m\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to = \mathop a\limits^ \to \times m\mathop b\limits^ \to = m(\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to )\)

5) حاصل ضرب داخلی هر بردار در خودش برابر است با مجذور اندازه آن بردار:

\(\mathop a\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to = \left| a \right|\left| a \right|\cos 0 = {\left| a \right|^2}\)

6) اگر دو بردار بر هم عمود باشند، حاصل ضرب داخلی آنها صفر است و بر عکس:

\(\mathop a\limits^ \to \bot \mathop b\limits^ \to \Leftrightarrow \mathop b\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to = 0\)

7) ضرب داخلی بر روی جمع بردار ها، خاصیت توزیع پذیری (پخش) دارد.

\(\begin{array}{l}\mathop a\limits^ \to \times (\mathop b\limits^ \to + \mathop c\limits^ \to ) = \mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to + \mathop a\limits^ \to \times \mathop c\limits^ \to \\\\\mathop {(a}\limits^ \to + \mathop b\limits^ \to ) \times \mathop c\limits^ \to = \mathop a\limits^ \to \times \mathop c\limits^ \to + \mathop b\limits^ \to \times \mathop c\limits^ \to \end{array}\)

دو بردار غیر صفر \(\mathop a\limits^ \to \) و \(\mathop b\limits^ \to \) را که زاویه بین آنها \(\theta \) است در نظر می گیریم. تصویر قائم بردار \(\mathop a\limits^ \to \) روی بردار \(\mathop b\limits^ \to \) را با بردار \(\;\mathop {a'}\limits^ \to \;\)  نشان داده و از فرمول زیر محاسبه می کنیم:

\(\;\mathop {a'}\limits^ \to \; = \frac{{\;\mathop a\limits^ \to \; \times \;\mathop b\limits^ \to \;}}{{|b{|^2}}}\; \times \mathop b\limits^ \to \;\)

فرض کنیم \(\mathop a\limits^ \to \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\)  و \(\mathop b\limits^ \to \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\)  دو بردار باشند، ضرب خارجی \(\mathop a\limits^ \to \) در \(\mathop b\limits^ \to \) را با علامت \(\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to \)  نشان داده و به صورت زیر تعریف می کنیم:

\(\begin{array}{l}\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}i&j&k\\{{a_1}}&{{a_2}}&{{a_3}}\\{{b_1}}&{{b_2}}&{{b_3}}\end{array}} \right|\\\\\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_2}}&{{a_3}}\\{{b_2}}&{{b_3}}\end{array}} \right|\mathop i\limits^ \to - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{a_3}}\\{{b_1}}&{{b_3}}\end{array}} \right|\mathop j\limits^ \to + \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{a_2}}\\{{b_1}}&{{b_2}}\end{array}} \right|\mathop k\limits^ \to \\\\\left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}, - {a_1}{b_3} + {a_3}{b_1},{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\end{array}\)

از نظر هندسی

ضرب خارجی دو بردار بر هر دو بردار \(\mathop a\limits^ \to \) و \(\mathop b\limits^ \to \) و صفحه تشکیل دهنده از دو بردار \(\mathop a\limits^ \to \) و \(\mathop b\limits^ \to \)، عمود است.

\(\begin{array}{l}\mathop i\limits^ \to \times \mathop j\limits^ \to = \mathop k\limits^ \to \;\;\;\;,\;\;\;\;\mathop j\limits^ \to \times \mathop i\limits^ \to = - \mathop k\limits^ \to \\\\\mathop j\limits^ \to \times \mathop k\limits^ \to = \mathop i\limits^ \to \;\;\;\;,\;\;\;\;\mathop k\limits^ \to \times \mathop j\limits^ \to = - \mathop i\limits^ \to \\\\\mathop k\limits^ \to \times \mathop i\limits^ \to = \mathop j\limits^ \to \;\;\;\;,\;\;\;\;\mathop i\limits^ \to \times \mathop k\limits^ \to = - \mathop j\limits^ \to \end{array}\)

1) ضرب خارجی دو بردار خاصیت جا به جایی ندارد ولی:

\(\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to = - \mathop b\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to \)

2) ضرب خارجی هر بردار در خودش برابر بردار صفر است.

\(\mathop a\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to = \mathop 0\limits^ \to \)

اثبات:

\(\begin{array}{l}\mathop a\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to = - \mathop a\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to \Rightarrow \mathop a\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to + \mathop a\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to = 0\\\\ \Rightarrow 2(\mathop a\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to ) = 0 \Rightarrow \mathop a\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to = \mathop 0\limits^ \to \\\\\mathop i\limits^ \to \times \mathop i\limits^ \to = \mathop j\limits^ \to \times \mathop j\limits^ \to = \mathop k\limits^ \to \times \mathop k\limits^ \to = \mathop 0\limits^ \to \end{array}\)

3) ضرب خارجی هر بردار در بردار صفر، برابر بردار صفر است.

\(\mathop a\limits^ \to \times \mathop 0\limits^ \to = \mathop 0\limits^ \to \)

4) برای هر دو بردار \(\mathop b\limits^ \to \;,\;\mathop a\limits^ \to \)  و هر عدد حقیقی m داریم:

\(m\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to = \mathop a\limits^ \to \times m\mathop b\limits^ \to = m(\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to )\)

5) ضرب داخلی بردار ها نسبت به جمع بردار ها، خاصیت توزیع پذیری دارد:

\(\begin{array}{l}\mathop a\limits^ \to \times (\mathop b\limits^ \to + \mathop c\limits^ \to ) = \mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to + \mathop a\limits^ \to \times \mathop c\limits^ \to \\\\(\mathop a\limits^ \to + \mathop b\limits^ \to ) \times \mathop c\limits^ \to = \mathop a\limits^ \to \times \mathop c\limits^ \to + \mathop b\limits^ \to \times \mathop c\limits^ \to \end{array}\)

6) ضرب خارجی بردار ها خاصیت شرکت پذیری ندارد:

\(\mathop a\limits^ \to \times (\mathop b\limits^ \to \times \mathop c\limits^ \to ) \ne (\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to ) \times \mathop c\limits^ \to \)

7) فرض کنیم \(\mathop b\limits^ \to \;,\;\mathop a\limits^ \to \)  دو بردار دلخواه باشند، در این صورت:

\(\begin{array}{l}\mathop a\limits^ \to \times (\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to ) = 0\\\\\mathop b\limits^ \to \times (\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to ) = 0\end{array}\)

اثبات:

فرض کنیم \(\mathop a\limits^ \to \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\)  و \(\mathop b\limits^ \to \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\)  در نتیجه:

\(\begin{array}{l}\mathop a\limits^ \to \times (\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to ) = 0\\\\\mathop a\limits^ \to \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\\\\\mathop b\limits^ \to \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\\\\{a_1}\left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}} \right) + {a_2}\left( {{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3}} \right) + {a_3}\left( {{a_1}{b_1} - {a_2}{b_1}} \right) = 0\end{array}\)

8) برای هر دو بردار غیر صفر a و b که زاویه بین آنها \(\theta \) باشد، داریم:

\(|\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to | = |\mathop a\limits^ \to | \times |\mathop b\limits^ \to |\sin \theta \)

9) برای هر دو بردار غیر صفر \(\mathop b\limits^ \to \;,\;\mathop a\limits^ \to \) ، بردار \(\mathop a\limits^ \to \) با \(\mathop b\limits^ \to \) موازی است، اگر و فقط اگر:

\(|\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to | = 0\;\; \vee \;\;\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to = \mathop 0\limits^ \to \)

اثبات:

\(\begin{array}{l}\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to = \mathop 0\limits^ \to \Leftrightarrow |\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to | = 0\\\\|\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to | = 0 \Leftrightarrow \left| a \right|\left| b \right|\sin \theta = 0\\\\\left| a \right|\left| b \right|\sin \theta = 0 \Leftrightarrow \sin \theta = 0 \Leftrightarrow \theta = 0\\\\\theta = 0 \Leftrightarrow a\parallel b\end{array}\)

مساحت متوازی الاضلاع ساخته شده روی دو بردار

اگر \(\mathop b\limits^ \to \;,\;\mathop a\limits^ \to \)  دو بردار غیر صفر باشند، که زاویه بین آنها \(\theta \) باشد، مساحت متوازی الاضلاعی که توسط دو بردار ساخته می شود و \(\mathop b\limits^ \to \;,\;\mathop a\limits^ \to \)  دو ضلع مجاور آن هستند برابر است با اندازه حاصل ضرب خارجی دو بردار \(\mathop b\limits^ \to \;,\;\mathop a\limits^ \to \) :

\(S = |\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to |\)

مساحت مثلثی که به وسیله دو بردار \(\mathop b\limits^ \to \;,\;\mathop a\limits^ \to \)  ساخته می شود برابر است با:

\(S = \frac{1}{2}|\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to |\)

اگر \(\mathop c\limits^ \to \;,\;\mathop b\limits^ \to \;,\;\mathop a\limits^ \to \)  سه بردار باشند که در یک صفحه نباشند، حجم متوازی السطوحی که روی این سه بردار ساخته می شود، به طوری که سه بردار یال های مجاور آن باشند از رابطه زیر محاسبه می شود:

\(V = |\mathop a\limits^ \to .(\mathop b\limits^ \to \times \mathop c\limits^ \to )| = |\mathop b\limits^ \to .(\mathop c\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to )| = |\mathop c\limits^ \to .(\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to )|\)

سه بردار \(\mathop c\limits^ \to \;,\;\mathop b\limits^ \to \;,\;\mathop a\limits^ \to \)  را هم صفحه گویند هرگاه:

\(\mathop a\limits^ \to \times (\mathop b\limits^ \to \times \mathop c\limits^ \to ) = 0\)