درسنامه کامل ریاضی دهم فصل 1 مجموعه، الگو و دنباله

ابتدایی ترین مجموعه مورد استفاده بشر همان طور که می دانید مجموعه اعداد طبیعی بوده است. مجموعه اعداد طبیعی بصورت زیر است:

\(\mathbb{N} = \{ 1,2,3,...\} \)

لازم است خاصیتی جالب را در مورد مجموعه \(\mathbb{N}\) معرفی کنیم. چنانچه دو عدد دلخواه از اعداد طبیعی را باهم جمع کنیم حاصل باز هم عدد طبیعی است بعنوان مثال :

\(1 + 3 = 4 \in \mathbb{N}\)

در حالت کلی اگر a، b دو عدد طبیعی باشند واضح است که \(a + b\) نیز عددی طبیعی است. این خاصیت را اصطلاحا بسته بودن \(\mathbb{N}\) نسبت به عمل + می نامیم.

خاصیت بسته بودن برای اعداد طبیعی در اعمال ضرب، تقسیم و توان نیز صادق است ولی در عمل تفریق صادق نیست.

حال با توجه به مثال بالا می توان متوجه ضعف مجموعه اعداد طبیعی شد. \(\mathbb{N}\) نسبت به تفریق بسته نیست. این بزرگترین ضعف \(\mathbb{N}\) است. زمانی که بشر برای معاملات خود متوجه شد که مقروض بودن را نمی توان با اعداد طبیعی نمایش داد خلاء اعداد صحیح را حس کرد و مجبور شد اعداد صحیح را بکار بگیرد.

مجموعه اعداد صحیح را که با نماد \(\mathbb{Z}\) نشان می دهیم عبارت است از :

\(\mathbb{Z} = \{ ..., - 2, - 1,0,1,2,...\} \)

اینکه اعداد صحیح را با حرف ​\(\mathbb{Z}\)​ نمایش می دهند به خاطر کلمه Zahlen می باشد که لغتی آلمانی است. اعداد صحیح نیز به نوبه ی خود دارای ضعف بسته نبودن نسبت به عمل تقسیم بود به عنوان مثال دقت کنید که :

\(\frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0/5 \notin \mathbb{Z}\)

برای برطرف کردن این ضعف \(\mathbb{Z}\) مجموعه ای مورد نیاز بود که شامل تمام کسرهای ممکن که می توان به کمک اعداد صحیح ساخت باشد. این مجموعه را اعداد گویا می نامیم و بصورت زیر تعریف می کنیم:

مجموعه اعداد گویا را که با نماد \(\mathbb{Q}\) نشان می دهیم (\(\mathbb{Q}\) حرف اول کلمه Quotient به معنای خارج قست) بصورت زیر تعریف می کنیم:

\(\mathbb{Q} = \left\{ {\frac{a}{b}|a,b \in \mathbb{Z},b \ne 0} \right\}\)

مجموعه اعداد گویا کوچکترین مجموعه ای است که نسبت به هر چهار عمل اصلی بسته است، با این حال همین مجموعه هم بی نقص نیست.

می دانیم که قطر مربعی به ضلع یک عددی غیر گویا یا اصم است. این عدد عددی نیست جز \(\sqrt 2 \).

می توان ثابت کرد که \(\sqrt 2 \) را نمی توان بصورت یک کسر نوشت به عبارت بهتر به ازای هر دو عدد صحیح دلخواه a و b همواره داریم: \(a,b \ne \sqrt 2 \)

مجموعه اعداد گنگ را با نماد \(\mathbb{Q}'\) نشان می دهیم. یکی دیگر از اعداد گنگی، که قدمت زیادی دارد عدد  است. نسبت محیط دایره به قطر آن عدد \(\pi \) است. (داستان پیدایش عدد پی با مسأله تربیع دایره در ارتباط تنگاتنگ است.)

تاکنون با مجموعه های \(\mathbb{Q}',\mathbb{Q},\mathbb{Z},\mathbb{N}\) آشنا شده اید. رابطه بین سه مجموعه اول به صورت زیر است:

\(\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}\)

در این رابطه مجموعه \(\mathbb{Q}'\) چه جایگاهی دارد؟ حال می توان مجموعه اعداد حقیقی را هم تعریف کرد.

مجموعه اعداد حقیقی را که با نماد \(\mathbb{R}\) نشان می دهیم برابر است با :

\(\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q}'\)

(علامت \( \cup \) به معنای اجتماع است.)

رابطه ی بین مجموعه اعداد

متناظر به هر عدد حقیقی نقطه ای روی محور اعداد حقیقی وجود دارد. در اشکال زیر موقعیت برخی از اعداد روی محور نشان داده شده است.

نمایش اعداد گویا و گنگ روی محور اعداد

اگر به شکل با دقت نگاه کنید متوجه خواهید شد که این شکل راه حل بسیار زیبایی را به شما معرفی کرده است و ارزش آن بیش از یک شکل ساده است. سرانجام آخرین مجموعه از اعداد را که بزرگتر از \(\mathbb{N}\) و کوچکتر از \(\mathbb{Z}\) است را معرفی می کنیم. مجموعه اعداد حسابی که با نماد W نشان می دهیم عبارتست از:

\(W = \{ 0,2,3,...\} \) 

برای ورود به مطلب و آشنایی با بازه ها دو نامعادله زیر را در نظر بگیرید:

1)

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} - 1 \le \frac{{2x + 1}}{3}\langle 3\)

2)

\(3x + 1\langle 7\)

با حل این دو نامعادله مجموعه جواب معادله شماره ١ عبارتست از \(\{ x \in \mathbb{R}| - 2 \le x\langle 4\} \) و مجموعه جواب معادله شماره ٢ عبارت است از \(\{ x \in \mathbb{R}|x\langle 2\} \).

آیا می توان مجموعه جواب را با نمادی ساده تر از مجموعه های فوق نوشت؟ جواب مثبت است. بازه ها جواب گوی ما برای این ساده نویسی هستند. مجموعه جواب نامعادله ١ بازه ی \([ - 2,4)\) است و مجموعه جواب نامعادله شماره ٢ بازه ی بی کران \(\left( { - \infty ,2} \right)\) است. حال به سراغ تعریف بازه ها می رویم.

یک بازه، زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی است که بصورت های زیر تعریف می شود:

بازه ی باز:

\(\left( {a,b} \right) = \{ x \in \mathbb{R}|a\langle x\langle b\} \)

بازه ی نیم باز:

\(\left[ {a,b} \right) = \{ x \in \mathbb{R}|a \le x\langle b\} \)

بازه ی بسته:

\(\left[ {a,b} \right] = \{ x \in \mathbb{R}|a \le x \le b\} \)

بازه ی باز بی کران:

\(\left( {a, + \infty } \right) = \{ x \in \mathbb{R}|a\rangle x\} \)

بازه ی نیم باز بی کران:

\(\left[ {a, + \infty } \right) = \{ x \in \mathbb{R}|a\rangle x\} \)

بازه ی باز بی کران:

\(\left( { - \infty ,a} \right) = \{ x \in \mathbb{R}|a\langle x\} \)

بازه ی نیم باز بی کران:

\(\left( { - \infty ,a} \right] = \{ x \in \mathbb{R}|a\langle x\} \)

اغلب بجای اصطلاح نیم باز از اصطلاح نیم بسته هم استفاده می شود. نماد ∞ که بی نهایت خوانده می شود (مثبت بی نهایت یا منفی بی نهایت) یک عدد حقیقی نیست فقط نمادی است برای اینکه نشان دهیم بازه بی کران است. یعنی هر عددی خواه بسیار بزرگ یا خواه بسیار کوچک در این بازه ها می تواند وجود داشته باشد.

در اشکال زیر چند بازه را بعنوان مثال روی محور اعداد حقیقی نمایش داده ایم.

در این بخش می خواهیم در مورد تعداد اعضای یک مجموعه صحبت کنیم.

مجموعه ای چون A را یک مجموعه متناهی (باپایان) گوییم هرگاه تعداد اعضای آن را بتوان با یک عدد حسابی نمایش داد. اگر تعداد اعضای یک مجموعه را با نماد \(\left| A \right|\) |نمایش دهیم متناهی بودن یک مجموعه چون A به معنای آن است که به ازای یک عدد حسابی مثل k داریم \(\left| A \right| = k\)، در غیر اینصورت مجموعه را نامتناهی (بی پایان) گوییم.

اگر مجموعه ای چون A دارای زیرمجموعه ای چون B باشد (\(B \subseteq A\)) به طوری که B نامتناهی باشد آنگاه بناچار خود A نیز نامتناهی است. در نتیجه چون اعداد گویای واقع در بازه ی (\(0,1\)) نامتناهی هستند پس \(\mathbb{Q}\) هم نامتناهی است و به همین ترتیب \(\mathbb{R}\) نیز نامتناهی است زیرا، (\(\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}\)).

مجموعه مرجع

در هر مبحث مجموعه ای که همه مجموعه های مورد بحث زیر مجموعه آن باشند را مجموعه مرجع یا مجموعه جهانی می نامند و با حرف U نشان می دهند. در این حالت اگر \(A \subseteq U\) مجموعه ای دلخواه باشد، \(U - A\) را با نماد \(A'\) نشان می دهیم و آن را متمم A می نامیم. به عبارت بهتر \(A'\) شامل اعضایی از U  است که در A نیستند.

در شکل زیر رابطه بین مجموعه های \(A,A',U\) دیده می شود.

بطور معمول در هر بحثی مجموعه مرجع را معرفی می کنند. چنانچه در بحثی مجموعه مرجع را معرفی نکردیم شما می توانید بزرگترین مجموعه موجود را به عنوان مجموعه مرجع در نظر بگیرید. وقتی صحبت از اعداد باشد بزرگترین مجموعه ممکن همان \(\mathbb{R}\) است.

تعداد اعضای اجتماع دو مجموعه

فرض کنید تعداد اعضای مجموعه های A ,B معلوم باشد. می خواهیم تعداد اعضای مجموعه \(A \cup B\) را بر حسب \(n(A)\) و \(n\left( B \right)\) بیابیم. (تعداد اعضای یک مجموعه را هم با نماد \(\left| A \right|\) و هم با نماد \(n(A)\)نشان می دهند) ممکن است تصور کنید که جواب واضح است و برابر است با عدد \(n\left( A \right) + n\left( B \right)\) اما این نادرست است، چرا که اگر \(U = \mathbb{N},A = \{ 1,2,3\} ,B = \{ 2,3,4\} \) آنگاه:

\(4 = n\left( {A \cup B} \right) \ne n\left( A \right) + n\left( B \right) = 3 + 3 = 6\)

دلیل آن ها ساده است. هنگامی که می نویسیم \(n\left( A \right) + n\left( B \right)\) در واقع اعضای مشترک دوبار شمارش شده اند. یعنی \(n\left( {A \cap B} \right)\) یکبار در هنگام شمارش اعضای A و یک بار در شمارش اعضای B حساب شده است. لذا برای یافتن تعداد درست باید یکبار \(n(A \cap B)\) را از \(n\left( A \right) + n\left( B \right)\) کم کنیم. پس جواب درست بصورت زیر است:

\(n\left( {A \cup B} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) - n\left( {A \cap B} \right)\)

به شکل زیر دقت کنید. می توان درستی رابطه فوق را از روی نمودار ون زیر تحقیق کرد.

دنیای اطراف ما سرشار از الگوهای مختلفی است. به عنوان نمونه، پیدایش شبانه روز و تغییر فصول مختلف سال جلوه ای از الگوی حاکم بر طبیعت است. از سوی دیگر نظم و قانونمندی های موجود در یک الگو به خودی خود برای ما جذاب است. چه بسا ممکن است طرح های روی یک گل آفتابگردان، شکل های هندسی روی یک سطح کاشی کاری شده و یا مارپیچ های روی میوه آناناس توجه شما را به خود جلب کرده باشند. به طور کلی می توان گفت الگو یک ساختار منظم از اشکال، تصاویر، صداها، نمادها، وقایع و یا اعداد می باشد که ممکن است تکرار شونده یا رشد کننده و یا ترکیبی از این دو باشد. ریاضیات به عنوان ملکه علوم، یکی از رسالت های مهم خود را مدل سازی کردن پدیده های طبیعی و پی بردن به الگوهای نهفته در آنها می داند. اهمیت این موضوع به قدری است که برخی از ریاضیدانان معتقدند که ریاضی عبارتست از علم مطالعه الگوها. در این بخش برخی الگوهای هندسی و نیز الگوهای عددی متناظر با آنها مورد بررسی قرار می گیرند.

به شکل زیر دقت کنید در هر مورد ارتباطی بین a و b و c وجود دارد:

همانطور که در شکل بالا دیده شد اختلاف هر جمله از جمله قبلی مقدار ثابتی است. این نوع الگو ها را الگوی خطی می نامیم چرا که به شکل معادله درجه اول \({t_n} = an + b\)  در اینجا \({t_n}\) جمله nام الگو است.

نمودار یک الگوی خطی

همانطور که در شکل بالا مشاهده می کنید اعضای دنباله ی \(2,4,6,...\)  در واقع عرض نقاط \(A,B,C,...\)  روی خط \(y = 2x\)  هستند. به همین علت هم به این الگوها خطی گویند. اگر خوب به معادله آن که بر حسب متغبر n نوشته شده است دقت کنید بلافاصله به یاد معادله خط ار کلاس نهم خواهید افتاد یعنی عبارت \(y = ax + b\)  اما همه ی الگوها لزوما خطی نیستند.

به هر تعداد از اعداد که آنها را پشت سر هم نوشته باشیم یک دنباله گوییم. هر عدد که در دنباله قرار دارد را یک عضو دنباله گوییم و جمله n ام یا جمله عمومی دنباله را با نماد \({a_n}\)  نمایش می دهیم. نماد رایج برای نوشتن جمله عمومی یک دنباله نماد \(\{ \} \) است. مثلا می نویسیم \({a_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{5n}}\)  یا معادلا عبارت \(\{ \frac{{{n^2} + 1}}{{5n}}\} \) .

دنباله ای که در آن هر جمله (به جز جمله اول) با اضافه شدن عددی ثابت به جمله قبل از خودش به دست می آید، یک دنباله حسابی نامیده می شود و به آن عدد ثابت، قدر نسبت دنباله می گویند. فرض کنید جمله اول دنباله a و قدر نسبت عدد d باشد در این صورت جملات ابتدایی دنباله بصورت زیر است:

\(a,a + d,a + 2d,a + 3d,...,a + \left( {n - 1} \right)d\)

به این ترتیب جمله عمومی دنباله حسابی بصورت زیر حاصل می شود:

\({a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right)d\)

دنباله هندسی، دنباله ای است که در آن هر جمله (به جز جمله اول) از ضرب جمله قبل از خودش در عددی ثابت به دست می آید. این عدد ثابت را قدرنسبت دنباله می نامیم. جمله اول دنباله هندسی \(a \ne 0\) است. قدر نسبت را با q نشان می دهیم. در حالت های خاص اگر  \(q = 0\) یا \(q = 1\)  باشد، دنباله های خاصی پدید می آیند.

اگر \(q = 0\) باشد دنباله به صورت  \(a,0,0,0,...\) و اگر \(q = 1\)  دنباله ثابت \(a,a,a,...\) حاصل می شوند.

برای یافتن جمله عمومی یک دنباله هندسی فرض می کنیم جمله اول آن a و قدرنسبت q باشد در این صورت ترتیب جملات بصورت زیر است:

\(a,aq,a{q^2},...,a{q^{n - 1}}\)

بنابراین جمله n ام یا جمله عمومی دنباله هندسی بصورت زیر حاصل می شود:

\({a_n} = {a_1}{q^{n - 1}}\)

در یک دنباله هندسی که جمله اول آن مثبت است چنانچه \(q\rangle 1\)  باشد دنباله افزایشی است و اگر \(0\langle q\langle 1\)  باشد دنباله کاهشی است. اگر \(q = - 1\)  باشد دنباله متناوب است و اگر \(q\langle 0\)  باشد، دنباله نوسانی است.