درسنامه کامل ریاضی دهم فصل 3 توان های گویا و عبارت های جبری

فرض کنیم \(n \ge 2\) عددی طبیعی باشد.دراین صورت عدد حقیقی b را یک ریشه n ام عدد حقیقی a گوییم هرگاه \({b^n} = a\) باشد.

اگر n زوج باشد عدد حقیقی و مثبت a دارای دو ریشه n ام می باشد که قرینه یکدیگرند. در این حالت ریشه n ام مثبت را ریشه n ام اصلی می نامیم و با نماد \(\sqrt[n]{a}\) نشان می دهیم. اعداد منفی دارای ریشه n ام زوج نیستند ولی ریشه n ام فرد دارند.

مهمترین خواص رادیکال ها در زیر فهرست کرده ایم.

1) \(\sqrt[n]{{{a^n}}} = a\)

در 1 اگر n زوج باشد قدر مطلق a را می نویسیم.

2) \(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{{ab}},a,b \in \mathbb{N}\)

3) \(\frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}} = \sqrt[n]{{\frac{a}{b}}}\)

4) \({\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m} = \sqrt[n]{{{a^m}}} \to m,n \in \mathbb{N},a \ge 0\)

5) \(\sqrt[n]{{\sqrt[m]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a} \to m,n \in \mathbb{N},a \ge 0\)

6) \(a\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{{{a^n}b}}, - \sqrt[n]{{{a^n}b}}\)

7) \(\sqrt[{mn}]{{{a^m}}} = \sqrt[n]{a} \to a\rangle 0,m,n \in \mathbb{N}\)

فرض کنید \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}n \in \mathbb{N}\) باشد و \(a \in \mathbb{R}\) عددی دلخواه. عدد \({a^n}\) را بصورت:

\({a^n} = a \times a \times a \times ... \times a\)

تعریف می کنیم. برای اعداد صحیح منفی نیز این تعریف قابل تعمیم است. \({a^{ - n}}\) را بصورت زیر تعریف می کنیم:

\({a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\)

در نهایت \({a^0} = 1\) تعریف می شود و حال \({a^n}\) را برای تمام اعداد صحیح تعریف کرده ایم.

مهم ترین خواص توان عبارتند از:

\(\begin{array}{l}1){a^n} \times {a^m} = {a^{m + n}}\\2)\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}\\3){\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}}\end{array}\)

می توان در حالت کلی توان گویای یک عدد حقیقی را تعریف کرد.

فرض کنید a عددی حقیقی باشد. اگر \(m,n \in \mathbb{N}\) باشند تعریف می کنیم:

\({a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\)

یک تساوی که به ازای تمامی مقادیر متغیر موجود در آن تساوی درست باشد را یک اتحاد گوییم. به تساوی زیر دقت کنید.

\({\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + 2xy + {y^2}\)

در تساوی بالا به ازای تمامی مقادیر x ,y درست است و لذا به آن اتحاد گوییم . از کلاس نهم با برخی اتحادها آشنا شده اید. در اینجا آن اتحادها را بازنویسی می کنیم.

حال آماده هستیم تا چند اتحاد جدید معرفی کنیم. اولین اتحاد ، اتحاد مربع سه جمله ای است. یعنی هدف یافتن حاصل\({\left( {x + y} \right)^3}\) است. به کمک اتحادهای بالا عبارت فوق را تا سرحد امکان ساده می کنیم.

\(\begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^3} = {\left( {x + y} \right)^2} \times \left( {x + y} \right)\\ = \left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) \times \left( {x + y} \right)\\ = {x^3} + {x^2}y + 2{x^2}y + 2x{y^2} + {y^2}x + {y^3}\\ = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3}\end{array}\)

بنابراین نتیجه حاصل بصورت زیر بدست می آید:

\({\left( {x + y} \right)^3} = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3}\)

اگر در رابطه فوق \({\left( {x - y} \right)^3}\) رابطه زیر حاصل می شود:

\({\left( {x - y} \right)^3} = {x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3}\)

در نهایت اگر از xy در جملات دوم و سوم فاکتور بگیریم خواهیم داشت:

\(\begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = {\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right)\\{x^3} - {y^3} = {\left( {x - y} \right)^3} + 3xy\left( {x - y} \right)\end{array}\)

اتحاد مجموع و تفاضل مکعبات نیز به صورت زیر حاصل می شود:

\(\begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)\\{x^3} - {y^3} = \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)\\\end{array}\)

کاربرد تجزیه در یافتن ب م م و ک م م چندجمله ای ها

یک چندجمله ای مثل \(a + b\) را در نظر بگیرید. اگر این دو جمله ای را در اعداد صحیح یا هر چندجمله ای دیگری ضرب کنیم ، حاصل را مضربی از \(a + b\) گوییم. پس عبارات زیر همگی مضارب \(a + b\) هستند.

\(2\left( {a + b} \right),\left( {{a^2} - {b^2}} \right),\left( {{a^3} - {b^3}} \right),...\)

همچنین عبارت \(a + b\) مقسوم علیه مشترک هر سه عبارت فوق است. بطور کلی برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک و کوچکترین مضرب مشترک دو عبارت جبری ابتدا آنها راتجزیه کرده و سپس برای ب م م عوامل مشترک با کمترین توان در تجزیه را منظور می کنیم و برای ک م م هم عوامل مشترک را با بزرگترین توان در عوامل غیر مشترک ضرب می کنیم. به عنوان یک مثال ساده فرض کنید هدف یافتن ب م م و ک م م دو عبارت جبری \({a^2} - {b^2},{a^3} - {b^3}\) است. با تجزیه کردن آنها داریم:

\(\begin{array}{l}{a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\\{a^3} - {b^3} = \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\end{array}\)

پس با این حساب ب م م برابر \(a - b\) است و ک م م برابر \(\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\). یکی از فواید محاسبه ک م م در مخرج مشترک گرفتن برای جمع و تفریق عبارات گویاست.

منظور از یک عبارت گویا عبارتی است که صورت و مخرج آن چندجمله ای باشند. اگر \(q\left( x \right),p\left( x \right)\) دو چند جمله ای باشند عبارت \(\frac{{p\left( x \right)}}{{q\left( x \right)}}\) را یک عبارت گویا گوییم. شرط تعریف چنین عبارتی آن است که \(q\left( x \right) \ne 0\) باشد.

حذف رادیکال از عبارات جبری

در اتحاد \({a^3} - {b^3} = \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\) اگر قرار دهیم \(a = \sqrt[3]{x},b = 1\) آنگاه:

\({\left( {\sqrt[3]{x}} \right)^3} - 1 = \left( {x - 1} \right) = \left( {\sqrt[3]{x} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} - 1} \right)\)

همان طور که مشاهده می کنید با ضرب دو عبارت در هم حاصل یک عبارت فارغ از رادیکال است. این کار اغلب به گویا کردن معروف است و یک دلیل ساده این کار این است که کلا کار با چندجمله ایها و عملیات بر آنها بسیار ساده تر از کار با عبارات رادیکالی است. بویژه زمانی که عبارت رادیکالی در مخرج باشد ، از بین بردن رادیکال آن امری مستحب است. به عنوان مثال ساده مخرج عبارت \(\frac{1}{{\sqrt x - \sqrt y }}\) را گویا می کنیم.

\(\frac{1}{{\sqrt x - \sqrt y }} = \frac{1}{{\sqrt x - \sqrt y }} \times \frac{{\sqrt x + \sqrt y }}{{\sqrt x + \sqrt y }} = \frac{{\sqrt x + \sqrt y }}{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}} = \frac{{\sqrt x + \sqrt y }}{{x - y}}\)