درسنامه کامل ریاضی دهم فصل 5 تابع

یک تابع بین دو مجموعه A و B رابطه ای است که به هر عضو از A دقیقا یک عضو از B نسبت داده شود.

تاکنون متوجه شده اید یک نمودار پیکانی ون زمانی معرف تابع است که از هر عضو مجموعه اول یک و تنها یک پیکان به مجموعه دوم خارج شده باشد. در مورد روابطی که بصورت زوج مرتب بیان می شوند نیز متوجه شده اید که شرط تابع بودن، نبودن دو زوج مرتب متفاوت با مولفه های اول یکسان است. همچنین متوجه شده اید که روابطی که بصورت زوج های مرتب بیان می شوند و مولفه های آن اعداد حقیقی اند دارای نموداری در دستگاه مختصات هستند. حال پرسش اینجاست که اگر تنها یک نمودار به ما داده باشند چگونه از روی نمودار تشخیص دهیم که آن نمودار معرف تابع است یا خیر؟

یک نمودار در دستگاه مختصات معرف تابع است هرگاه هر خطی که به موازات محور عرض ها رسم شود نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند.

دامنه و برد یک تابع را در مثال های بالا دیده و بکاربرده ایم ، بدون اینکه متوجه شده باشید. در واقع مولفه های اول زوج های مرتب در هر تابع را دامنه تابع و مولفه های دوم زوج های مرتب را برد تابع می نامند. دامنه ی تابعی چون f را با \({D_f}\) و برد آن را با \({R_f}\) نشان می دهیم. در اینجا برای سادگی قراردادی را معرفی می کنیم. اگر f تابعی از مجموعه A به مجموعه B باشد و عضو \(a \in A\) به عضو \(b \in B\) نسبت داده شده باشد یعنی \(a \to b\) اغلب این عبارت را با نماد \({f_{\left( a \right)}} = b\) خلاصه نویسی می کنیم. گاهی اوقات هم گوییم تصویر a تحت f برابر b است. مثلا در تابع :

\(f = \left\{ {\left( {2, - 1} \right),\left( {\sqrt 2 ,1 - \sqrt 2 } \right),\left( {\pi ,\frac{1}{\pi }} \right),\left( {\frac{1}{3},\frac{2}{5}} \right)} \right\}\)

می نویسیم:

\({f_{\left( 2 \right)}} = - 1,{f_{\left( {\sqrt 2 } \right)}} = 1 - \sqrt 2 ,{f_{\left( \pi \right)}} = \frac{1}{\pi },{f_{\left( {\frac{1}{3}} \right)}} = \frac{2}{5}\)

واضح است که در اینجا :

\(\begin{array}{l}{D_f} = \left\{ {2,\sqrt 2 ,\pi ,\frac{1}{3}} \right\}\\{R_f} = \left\{ { - 1,1 - \sqrt 2 ,\frac{1}{\pi },\frac{2}{5}} \right\}\end{array}\)

در شکل زیر شناسنامه ی یک تابع را نوشته ایم.

وقتی مینویسیم \(f:A \to B\) منظور از A دامنه تابع است. اما B لزوما برد f نیست و همان طور که از شکل مشخص است همواره \({R_f} \subseteq B\) است. به \(y = {f_{\left( x \right)}}\) ضابطه یا قانون تابع گویند. مجموعه B را اغلب هم دامنه تابع f می نامیم.

تابع ثابت تابعی است که تمام اعضای دامنه را به یک و فقط یک عضو از برد نظیر کند. تابع ذکر شده در زیر تابع ثابت است.

\(f = \left\{ {\left( {a,a} \right),\left( {b,a} \right),\left( {c,a} \right),\left( {d,a} \right)} \right\}\)

نمودار چنین توابعی وقتی دامنه بصورت بازه باشد خطی موازی محور طول هاست و اگر دامنه زیرمجموعه ای از اعداد صحیح باشد بصورت نقاطی در دستگاه مختصات است که همگی روی خطی موازی محور طول ها قرار دارند.

تابع \(i:A \to A\) را تابع همانی گوییم هرگاه برای هر \(x \in A\) داشته باشیم: \({i_{\left( x \right)}} = x\) به عبارت بهتر هر عضو از دامنه به خودش نظیر می شود. در حالتی که دامنه \(\mathbb{R}\) باشد ، تابع همانی همان خط \(y = x\)، نیم ساز ناحیه اول و سوم است.

فرض کنید مربعی به ضلع x دارید. مساحت این مربع بر حسب ضلع آن برابر است با: \({S_{\left( x \right)}} = {x^2}\) همچنین مساحت دایره ای به شعاع r برابر است با \({S_{\left( r \right)}} = \pi {r^2}\) حجم مکعبی به ضلع x برابر است با \({V_{\left( x \right)}} = {x^3}\) و حجم کره ای به شعاع r برابر \({V_{\left( r \right)}}\frac{4}{3}\pi {r^3}\) اینها همه نمونه هایی از توابع چندجمله ای هستند. در حالت کلی توابعی که ضابطه ی جبری آن ها یک چندجمله ای از یک متغیر باشد را تابع چندجمله ای گوییم. شکل کلی یک تابع چندجمله ای بصورت زیر است:

\({p_{\left( x \right)}} = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_1}x + {a_0}\)

آشناترین توابع چندجمله ای تابع دوجمله ای درجه اول \({f_{\left( x \right)}} = ax + b\) یا همان تابع خطی است و تابع سه جمله ای درجه دوم \({f_{\left( x \right)}} = a{x^2} + bx + c\) است که همان سهمی است. از این توابع در ضابطه های توابع چندضابطه ای زیاد استفاده می کنیم. برای نمونه در تابع سه ضابطه ای زیر هر ضابطه به تنهایی یک تابع چندجمله ای است.

در حالت کلی در معرفی یک تابع باید دامنه آن مشخص شده باشد.درغیراین صورت بزرگترین مجموعه ممکن را به عنوان دامنه تابع اختیار می کنیم.توابع چندجمله ای چنانچه دامنه مشخصی نداشته باشند دامنه آن ها را برابر \(\mathbb{R}\) در نظر می گیریم.

در فصل قبل با قدرمطلق و خواص آن آشنا شدید. در حالت کلی تابع قدرمطلق بصورت زیر تعریف می شود:

یادآوری می کنیم که:

نمودار تابع \({f_{\left( x \right)}} = \left| x \right|\) یکی از مهمترین نمودارهاست و بصورت زیر است:

معرفی دو تابع رادیکالی مهم

اولین تابع رادیکالی که می خواهیم بررسی کنیم تابع:

با ضابطه ی \({f_{\left( x \right)}} = \sqrt x \) است. این تابع داری دامنه ای بصورت \({D_f} = \left[ {0, + \infty } \right)\) است و برد آن نیز \({R_f} = \left[ {0, + \infty } \right)\) است. نمودار این تابع را در شکل زیر می بینید.

تابع رادیکالی دیگری که قصد معرفی آن را داریم تابع ریشه سوم است:

ضابطه ی این تابع \({f_{\left( x \right)}} = \sqrt[3]{x}\) است. نمودار آن را در زیر می بینید:

در این قسمت می خواهیم به کمک انتقال نمودارهای جدیدی را به کمک نمودارهای قبلی رسم کنیم. به دقت به شکل های زیر نگاه کنید.

همان طور که دیده می شود با تبدیل شدن \(x \to x - 5\) نمودار \(y = {x^2}\) به اندازه ۵ واحد در جهت مثبت روی محور طول ها جابجا شده است و با تبدیل \(x \to x + 4\) نمودار \(y = {x^2}\) به اندازه چهار واحد در جهت منفی روی محور طول ها جابجا شده است.

همچنین با تبدیل \({f_{\left( x \right)}} \to {f_{\left( x \right)}} + 3\) نمودار \(y = {x^2}\) به اندازه ٣ واحد در جهت مثبت محور عرض ها به بالا حرکت کرده و با تبدیل \({f_{\left( x \right)}} \to {f_{\left( x \right)}} - 4\) به اندازه ی ۴ واحد روی محور عرض ها به پایین حرکت کرده است.

در حالت کلی همین روابط درست است. نمودار \(y = {f_{\left( {x - a} \right)}},a\rangle 0\) نسبت به \(y = {f_{\left( x \right)}}\) به اندازه a واحد در جهت مثبت محور طول ها حرکت کرده است و \({f_{\left( {x + a} \right)}}\) همان تغییر منتها در جهت منفی. به همین ترتیب \({f_{\left( x \right)}} \pm a,a\rangle 0\) هم تغییرات روی محور عرض هاست.

بررسی تابع بودن یک رابطه ی جبری

در این قسمت این موضوع مهم را بررسی می کنیم که یک ضابطه ی جبری به تنهایی چه زمانی معرف تابع است. به عنوان یک مثال ساده فرض کنید هدف بررسی عبارت \(\left| y \right| = x\) است. آیا این ضابطه می تواند معرف یک تابع باشد. یعنی به ازای هر مقدار x دقیقا یک مقدار y بدست می آید؟ با قرار دادن \(x = 1\) نتیجه می شود \(\left| y \right| = 1\) و لذا \(y = \pm 1\) و این یعنی هم \(1 \to 1\) و هم \(1 \to - 1\) و این یعنی این رابطه نمی تواند یک تابع باشد.