درسنامه کامل هندسه (1) فصل 1 ترسیم های هندسی و استدلال

 مجموعه همه نقاطی که از یک نقطه ثابت مانند O به فاصله معلومی مانند R هستند، نامیده می شود.O را مرکز و R را شعاع دایره می نامیم.

 فرض کنیم AوB دو نقطه ثابت به فاصله aاز یکدیگر باشند. برای یافتن نقطه ای که از A به فاصله d₁  و از B و شعاع d₂ رسم می کنیم. نقطه یا نقاط تلافی دو دایره جواب است .به شکل زیر توجه کنید:

در شکل دو نقطه و از دو نقطه ثابت M وN به یک فاصله هستند.

اگر دو دایره مماس شوند مسئله یک جواب دارد.

اگر دو دایره یکدیگر را قطع نکنند،مسئله جواب ندارد.

 فرض کنیم سه ضلع مثلثی A وBوC داده شده است. برای رسم مثلث،ابتدا یکی از سه ضلع داده شده مثلا بزرگترین ضلع را رسم میکنیم (BC=a)، سپس به مرکز B و شعاع c و به مرکز C وشعاع b دو دایره رسم می کنیم. در صورت تقاطع دو دایره، جای راس سوم مثلث یعنی نقطه A معلوم می شود.

الف) اگر دو دایره متقاطع باشند .مسئله دو جواب دارد. مثلث های ABC و A'BC که با یکدیگر به حالت (ض ض ض) هم نهشت اند.

ب) اگر دو دایره مماس باشند ،در این صورت مسئله جواب ندارد.

دو نیم خط با ابتدای مشترک تشکیل یک زاویه می دهند. پس یک زاویه کافیست با استفاده از خط کش دو نیم خط متقاطع رسم کنیم.

الف) اگر نقطه ای روی نیمساز یک زاویه باشد، از دو ضلع آن زاویه به یک فاصله است. یعنی در شکل زیر داریم:

BE=CE

ب)اگر نقطه ای به فاصله یکسان از دو ضلع یک زاویه باشد، آن نقطه روی نیمساز آن زاویه قرار دارد. یعنی در شکل زیر، با فرض AB=CE داریم:

\({\hat A_1} = {\hat A_2}\)

الف) دهانه پرگار را کمی باز کنید وبه مرکزA کمانی بزنید تا نیم خط AX وAY را در نقطه BوC قطع کند،داریم AB=BE

ب) به مرکز C و شعاع BC و بار دیگر به مرکز B و شعاع  BC دو کمان رسم می کنیم. نقطه تلاقی این دو کمان را E می نامیم. داریم CE=BE

پ) AE  نیمساز زاویه  XAY است. زیرا دو مثلث ABE  و ACE به حالت (ض ض ض) هم نهشت اند. پس A₁₌A₂

براي ورود به بحث هاي هندسي، لازم است برخي از مفاهيم اساسي و مورد نيـاز از قبيـل گـزاره، اسـتدلال ، تعريف ، قضيه و...... را معرفی نماییم در ضمن معرفي اين مفاهيم به ناچار برخي اصطلاحات مفاهيم  رياضي و هندسه را بكار ببريم گرچه ممكن است در ادامه تعريف ي دقيق براي آنها ارائه شود ولي در ابتدا آنها را پيش دانسته فرض مي كنيم
مفهوم گزاره: گزاره يك جمله خبري است كه دقيقا درست يا نادرست باشد، اگرچه درستي يا نادرستي آن بر ما معلوم نباشد

نقیض گزاره:اگر ضمن و حفظ موضوعيت ارتباط، يك گزاره چنان تغيير كنـد كـه ارزش آن تغييـر كنـد،گويند نقيض گزاره نوشته شده است  انقيض يك گـزاره ي درست ،گزاره اي نادرست و ننقيض يك گزاره ی نادرست گزاره نادرست  گزاره اي درست مي باشد  واقع ارزش نقيض يك گزاره دقيقاً مخالف آن گزاره است 

گزاره هاي مركب : گزاره مي تواند تنها يك خبر را اعلام كند كه به آن گزاره  ساده مي گويند. اگر گزاره اي بيش از يك خبر را اعلام كند و تركيب  از دو  یا چند گزار  ساده باشد، آن را گزاري مركب مي گويند. براى مثال گزاره  زير يك گزاره  مركب است

(عدد 5 اول است و عدد 7 مركب است ).
همانطور كه معلوم است اين گزاره از دو گزاره ي ساده تشكيل شده است كه با حرف رابط ( و ) به هم متصل شده اند.گزاره ي اول درست ولي گزاره ي دوم نادرست مي باشد. كل گزاره نيز نادرست محسوب مي شود .گزاره هاي ساده را مي توان به صورت هاي مختلفي تركيب كرد. رايج ترين آنها به شكل زير است .
الف : تركيب دو گزاره با حرف ربط ( و) كه تركيب عطفي ناميده مي شود

تركيب دو گزاره با حرف ربط ( يا) كه تركيب فصلي ناميده مي شود . 

ج: تركيب دو گزاره با حرف ربط ( اگر .... آنگاه ..... ) كه تركيب شرطي ناميده مي شود

گاهي اوقات يك جمله  خبرى مانند نمونه ها  زير شامل يك يا چند متغير است وبه ازاء قرار دادن مقادير مختلف به جا متغير آن تبديل به يك گزاره مي شود، جنين جملاتي را  زاره نما مي نامند. در واقع بدون قرار دادن مقدار بهجاى متغير نمى توان در مورد درستى يا نادرستى گـزاره نمـا قضاوت كـرد. مجموعه ى مقاديرى كه اگر اعضاي آن را به جا  متغير گزاره نما جايگزين كنيم  گزاره نما را به يك گـزاره درست تبديل كند را مجموعه جواب گزاره نما مي نامند.

مشابه نقيض  گزاره ، براى گزاره نما هم مي توان نقيض نوشت. 
 گزاره نما : a عددى فرد است.

نقيض گزاره نما : a عددى زوج است.

استدلال و انواع آن عمل ارائه ى دليل براي اثبات درستى يك گزاره به كمك دانسته ها  قبلى را استدلال مي نامند.به طور كلى دو نوع استدلال وجود دارد.

الف: استدلال استقراي : روش نتيجه گيرى كل  بر مبناي تعداد محدودي مشاهده را استدلال استقراي مي نامند. 
ب : استدلال استنتاجي : روش نتيجه گيرى  لى بر مبناي حقايق يذيرفته شده را استدلال استنتاجي مي نامند. 

استدلال پژمان : در تمام جهارضلعى هاي از قبيل مربع ، مستطيل ، لوزى ، متوازى الاضلاع با توجـه بـه اينكه زاويه ها  مجاور مكمل يكديكرند، مجموع زاويه ها  داخلي  180  درجه است، لذا مجموع زاويه ها داخلي هر چهارضلعى محدب  360 درجه است.

استدلال پيمان : با توجه به اينكه مجموع زاويه هاى داخلى هـر مثلث 180 درجـه  است. لذا با رسم يك قطر در هر چهارضلعى محدب مي توان أن را به دو مثلـث تبديل كرد. لذا مجموع زاويه هاى داخل  چهارضلعى محدب برابر مجموع زاويه ها  داخلي اين دو مثلث مي باشـد، 
در نتيجه برابر  360 درجه است. با توجه به تعريف ارائه شده براي انواع استدلال ، واضع است كه استدلال پرمان استقراي و استدلال پيمان استنتاجي است

مفهوم تعريف : تعريف هر چيز شامل مجموعه ى مشخصاتي است كه برا  شناخته شدن آن بيان مي شوند. 
مثلاً مي توان عمود منصف يك باره خط را به صورت زير تعريف كرد: 
عمود منصف يك پاره خط ، خطى است كه هم از وسط پاره خط می گذرد و هم بر آن پاره خط عمود است .

تعريف هر چيز بايد صفات و خصوصيات آن را به آن اندازه كه برا  شناخته شدنش لازم و كافي است شامل باشد نه بيشتر و نه كمتر به عبارت بهتر تعريف خوب و درست آن است كه از توضيح اضافي بي نياز باشد و حذف هيج جزی  از آن ممكن نباشد يس تعريف بايد جامع و مانع باشد. مثلا اگر در بيان تعريف عمود منصف باره خط يكى ازدوشرط كذشتن از وسط پاره خط يا عمود بودن را حذف كنيم، در اين صورت خط رسم شده نمى تواند عمود منصف باشد. 

در شكل هاي فوق در مورد الف با اينكه خط d بر ياره خط AB عمود است ولى چون از وسط پاره خط نمى گذرد، عمود منصف محسوب نمى شود، همجنين در مورد ب با اينكه خط d از وسط پاره خط AB مي گذرد ولى  ون بر آن عمود نيست، عمود منصف محسوب نمى شود، ذا بيان اين دو شرط برا ى تعريف عمود منصف ياره خط كفايت مي كند و حذف يك قسمت از دو قسمت آن در تعريف ايجاد مشكل م  كند، همچنين اضافه كردن مورد ديگرى به آن ضرورت  ندارد. براي مثال ضرورتى ندارد كه به تعريف عمود منصف اين عبارت اضافه شود كه و هر نقطه روى آن از دو سر پاره خط به يك فاصله است.

توجه داشته باشيد كه بيان درست تعريف هر مفهوم، منجر به شناخت درست أن مفهوم و يكسان سازى درك اين مفهوم مي شود. براى مثال براى دايره تعريف زير ارائه مي شود. داره : مجموعهى نقاط از صفحه كه از يك نقطه ى ثابت به يك فاصله باشند را دايره مي نامند. اين نقطه ى ثابت را مركز و فاصله ى ثابت را شعاع مي نامند. 

مفهوم اصل : هر واقعيت كه بديهي بوده ونيازمند استدلال نباشد را اصل مي نامند. 

البته اصول مربوط به نامساوى ها هم گاهي مورد استفاده قرار مي گيرند، كه در اينجا آنها را دانسته فرض می كنيم. 
مثال نقض : نتايج بدست آمده از استدلال استقرايي قطعي نيستند و گاهي قابل رد هستند. براى رد يك نتيجه كلى كه از استدلال استقرايي بدست مي آيد، ارائه ي يك مثال نقض كافي است. مثال نقض ، مثالى است كه نشان مي دهد يك نتيجه گيرى كلى نادرست است. 

 مفهوم قضيه هر گزاره ى درست و كلى كه به كمك استدلال استنتاجى بدست مي آيد را قضيه مي نامند. 

هر قضيه را مي توان به صورت يك گزاره ى مركب (كه به صورت تركيب شرطي بيان مي شود) نوشت. بنابراين داراي دو قسمت مي باشد:

فرض ( شرط) : آن قسمت ازگزاره است كه آن را مي پذيريم. 

حکم (جواب شرط) : آن قسمت از  گزاره است كه بايد درستى آن را نتيجه بگيريم. 
بنابراين هر قضيه داراي الگويي به صورت زير است

قضيه ها در رياضى و هندسه بايد اثبات شوند، به عبارت  ديگر برا  درستى أنها بايد استدلال كرد. هر حركت مرحله به مرحله و منطقى كه به كمك استدلال استنتاجي، منجر به رسيدن به حكم قضيه شود را اثبات قضيه گویند

بديهي است كه تشخيص فرض و حكم هر قضيه براى اثبات آن قضيه مهم است، اولين كام در اثبات هر قضيه تعيين فرض و حكم آن است. آخرين مرحله در اثبات هر قضيه رسيدن به حكم آن است. 

قضيه ي عكس: اكر جاى فرض و حكم يك قضيه را جابجا كنيم، يك گزاري شرطى جديد بدست مى آيد كه آن را عكس قضيه مي ناميم. عكس قضيه، ممكن است درست و ممكن است نادرست باشد. 
درصورتي كه عكس يك قضيه درست باشد، آن را قضيه عكس مي نامند. 

در مثال زير عكس قضيه درست نيست. 

قضيه ى دو شرطي : اكر عكس يك قضيه ي شرطى خود يك قضيه ي شرطى باشد. به كمك يكي از الگو ها  زير مي توان آن دو قضيه را تركيب كرد و به صورت يك قضيه بيان نمود. اين قضيه را قضيه ى دو شرط  مى نامند.

اگر p آنگاه q و برعكس 
p اگر و تنها اگرq

p شرط لازم و كافي است براى q
مثال  قضيه: اگر مثلثى قائم الزاويه باشد، انگاه مربع وتر با مجموع مربعات دو ضلع ديگر آن برابر است. قضيه ي عكس: اگر در مثلثى مربع يك ضلع با مجموع مربعات دو ضلع ديگر برابر باشد، آنگاه آن مثلث قائم الزاويه است. قضيه ى دوشرطي: ار مثلثى قائم الزاويه باشد، آنكاه مربع وتر با مجموع مربعات دو ضلع دير آن برابر استوبرعكس 
مثلث قائم الزاويه است اگر و تنها اگر مربع وتر با مجموع مربعات دو ضلع ديگر آن برابر باشد. قائم الزاويه بودن مثلث شرط لازم وكافي است براى اينكه مربع وتر با مجموع مربعات دو ضلع ديگر برابر باشد

عكس نقيض يك قضيه:

اگر فرض وحكم قضيه ا  را جابجا و نقيض كنيم، كزارى حاصل همواره درست خواهد بود. اين گزاره را قضيه ى عكس نقيض مي نامند.

برهان خلف ( اثبات غير مستقيم) گاهي اوقات براى اثبات يك قضيه نشان مي دهيم كه خلاف حكم آن درست نيست و سپس نتيجه  گيريم با اين شرايط خود حكم درست است. اين روش استدلال كه نوعى استدلال استنتاجي است را برهان خلف  اثبات غير مستقيم مي نامند. روند كار در اين روش بدين ترتيب است كه ابتدا خلاف حكم را تشكيل مي دهيم و آن را فرض خلف مي ناميم، سپس استدلال خود را با تكيه بر اين فرض ادامه مي دهيم. در نهايت به خلاف فرض يا يك قضيه ى اثبات شدهى قبلى يا خلاف يك اصل (حقيقت) مي رسيم. در آخر فرض خلف را باطل مي كنيم و خود حكم رامي پذيريم مثال ١: ثابت كنيد كه، از يك نقطه ى غير واقع بر يك خط راست نمى توان بيش از يك خط بر آن عمود کرد.

اثبات به روش برهان خلف : فرض مي كنيم كه اين حكم نادرست است موازي  نقطه ى دلخواه ماند A واقع بر خارج خط d مي توان دو عمود بر آن رسم كرد. 
در اين صورت يك مثلث تشكيل مي شود كه دو زاويه ى قائمه دارد. لذا مجموع زاويه ها  داخلي اين مثلث بيش از ٨٠  درجه خواهد شد و اين غير ممكن است. پس فرض خلف نمى تواند درست باشد و حكم درست است.

اگر ضمن و حفظ موضوعيت ارتباط، يك گزاره چنان تغيير كنـد كـه ارزش آنتغييـركنـد،گويند نقيض گزاره نوشته شده است  انقيض يك گـزاره ي درست ،گزاره اي نادرست و ننقيض يك گزاره ی نادرست گزاره نادرست  گزاره اي درست مي باشد  واقع ارزش نقيض يك گزاره دقيقاً مخالف آن گزاره است 

 گزاره مي تواند تنها يك خبر را اعلام كند كه به آن گزاره  ساده مي گويند. اگر گزاره اي بيش از يك خبر را اعلام كند و تركيب  از دو  یا چند گزار  ساده باشد، آن را گزاري مركب مي گويند. براى مثال گزاره  زير يك گزاره  مركب است

(عدد 5 اول است و عدد 7 مركب است ).
همانطور كه معلوم است اين گزاره از دو گزاره ي ساده تشكيل شده است كه با حرف رابط ( و ) به هم متصل شده اند.گزاره ي اول درست ولي گزاره ي دوم نادرست مي باشد. كل گزاره نيز نادرست محسوب مي شود .گزاره هاي ساده را مي توان به صورت هاي مختلفي تركيب كرد. رايج ترين آنها به شكل زير است .
الف : تركيب دو گزاره با حرف ربط ( و) كه تركيب عطفي ناميده مي شود

تركيب دو گزاره با حرف ربط ( يا) كه تركيب فصلي ناميده مي شود . 

ج: تركيب دو گزاره با حرف ربط ( اگر .... آنگاه ..... ) كه تركيب شرطي ناميده مي شود

گاهي اوقات يك جمله  خبرى مانند نمونه ها  زير شامل يك يا چند متغير است وبه ازاء قرار دادن مقادير مختلف به جا متغير آن تبديل به يك گزاره مي شود، جنين جملاتي را  زاره نما مي نامند. در واقع بدون قرار دادن مقدار بهجاى متغير نمى توان در مورد درستى يا نادرستى گـزاره نمـا قضاوت كـرد. مجموعه ى مقاديرى كه اگر اعضاي آن را به جا  متغير گزاره نما جايگزين كنيم  گزاره نما را به يك گـزاره درست تبديل كند را مجموعه جواب گزاره نما مي نامند.

مشابه نقيض  گزاره ، براى گزاره نما هم مي توان نقيض نوشت. 
 گزاره نما : a عددى فرد است.

نقيض گزاره نما : a عددى زوج است.

استدلال و انواع آن عمل ارائه ى دليل براي اثبات درستى يك گزاره به كمك دانسته ها  قبلى را استدلال مي نامند.به طور كلى دو نوع استدلال وجود دارد.

الف) استدلال استقراي : روش نتيجه گيرى كل  بر مبناي تعداد محدودي مشاهده را استدلال استقراي مي نامند. 
ب ) استدلال استنتاجي : روش نتيجه گيرى  لى بر مبناي حقايق يذيرفته شده را استدلال استنتاجي مي نامند. 

استدلال پژمان : در تمام جهارضلعى هاي از قبيل مربع ، مستطيل ، لوزى ، متوازى الاضلاع با توجـه بـه اينكه زاويه ها  مجاور مكمل يكديكرند، مجموع زاويه ها  داخلي  180  درجه است، لذا مجموع زاويه ها داخلي هر چهارضلعى محدب  360 درجه است.

استدلال پيمان : با توجه به اينكه مجموع زاويه هاى داخلى هـر مثلث 180 درجـه  است. لذا با رسم يك قطر در هر چهارضلعى محدب مي توان أن را به دو مثلـث تبديل كرد. لذا مجموع زاويه هاى داخل  چهارضلعى محدب برابر مجموع زاويه ها  داخلي اين دو مثلث مي باشـد، 
در نتيجه برابر  360 درجه است. با توجه به تعريف ارائه شده براي انواع استدلال ، واضع است كه استدلال پرمان استقراي و استدلال پيمان استنتاجي است

تعريف هر چيز شامل مجموعه ى مشخصاتي است كه برا  شناخته شدن آن بيان ميشوند. 
مثلاً مي توان عمود منصف يك باره خط را به صورت زير تعريف كرد: 
عمود منصف يك پاره خط ، خطى است كه هم از وسط پاره خط می گذرد و هم بر آن پاره خط عمود است .

تعريف هر چيز بايد صفات و خصوصيات آن را به آن اندازه كه برا  شناخته شدنش لازم و كافي است شامل باشد نه بيشتر و نه كمتر به عبارت بهتر تعريف خوب و درست آن است كه از توضيح اضافي بي نياز باشد و حذف هيج جزی  از آن ممكن نباشد يس تعريف بايد جامع و مانع باشد. مثلا اگر در بيان تعريف عمود منصف باره خط يكى ازدوشرط كذشتن از وسط پاره خط يا عمود بودن را حذف كنيم، در اين صورت خط رسم شده نمى تواند عمود منصف باشد. 

در شكل هاي فوق در مورد الف با اينكه خط d بر ياره خط AB عمود است ولى چون از وسط پاره خط نمى گذرد، عمود منصف محسوب نمى شود، همجنين در مورد ب با اينكه خط d از وسط پاره خط AB مي گذرد ولى  ون بر آن عمود نيست، عمود منصف محسوب نمى شود، ذا بيان اين دو شرط برا ى تعريف عمود منصف ياره خط كفايت مي كند و حذف يك قسمت از دو قسمت آن در تعريف ايجاد مشكل م  كند، همچنين اضافه كردن مورد ديگرى به آن ضرورت  ندارد. براي مثال ضرورتى ندارد كه به تعريف عمود منصف اين عبارت اضافه شود كه و هر نقطه روى آن از دو سر پاره خط به يك فاصله است.

توجه داشته باشيد كه بيان درست تعريف هر مفهوم، منجر به شناخت درست أن مفهوم و يكسان سازى درك اين مفهوم مي شود. براى مثال براى دايره تعريف زير ارائه مي شود. داره : مجموعهى نقاط از صفحه كه از يك نقطه ى ثابت به يك فاصله باشند را دايره مي نامند. اين نقطه ى ثابت را مركز و فاصله ى ثابت را شعاع مي نامند. 

هر واقعيت كه بديهي بوده ونيازمند استدلال نباشد را اصل مي نامند. 

البته اصول مربوط به نامساوى ها هم گاهي مورد استفاده قرار مي گيرند، كه در اينجا آنها را دانسته فرض می كنيم. 

نتايج بدست آمده از استدلال استقرايي قطعي نيستند و گاهي قابل ردهستند. براى رد يك نتيجه كلى كه از استدلال استقرايي بدست مي آيد، ارائه ي يك مثال نقض كافي است. مثال نقض ، مثالى است كه نشان مي دهد يك نتيجه گيرى كلى نادرست است. 

 مفهوم قضيه هر گزاره ى درست و كلى كه به كمك استدلال استنتاجى بدست مي آيد را قضيه مي نامند. 

هر قضيه را مي توان به صورت يك گزاره ى مركب (كه به صورت تركيب شرطي بيان ميشود) نوشت. بنابراين داراي دو قسمت مي باشد:

فرض ( شرط) : آن قسمت ازگزاره است كه آن را مي پذيريم. 

حکم (جواب شرط) : آن قسمت از  گزاره است كه بايد درستى آن را نتيجه بگيريم. بنابراين هر قضيه داراي الگويي به صورت زير است

قضيه ها در رياضى و هندسه بايد اثبات شوند، به عبارت  ديگر برا  درستى أنها بايداستدلال كرد. هر حركت مرحله به مرحله و منطقى كه به كمك استدلال استنتاجي، منجر به رسيدن به حكم قضيه شود را اثبات قضيه گویند

بديهي است كه تشخيص فرض و حكم هر قضيه براى اثبات آن قضيه مهم است، اولين گام در اثبات هر قضيه تعيين فرض و حكم آن است. آخرين مرحله در اثبات هر قضيه رسيدن به حكم آن است. 

اگر جاى فرض و حكم يك قضيه را جابجا كنيم، يك گزاري شرطى جديد بدست مى آيد كه آن را عكس قضيه مي ناميم. عكس قضيه، ممكن است درست و ممكن است نادرستباشد. 
درصورتي كه عكس يك قضيه درست باشد، آن را قضيه عكس مي نامند. 

در مثال زير عكس قضيه درست نيست. 

قضيه ى دو شرطي : اكر عكس يك قضيه ي شرطى خود يك قضيه ي شرطى باشد. به كمك يكي از الگو ها  زير مي توان آن دو قضيه را تركيب كرد و به صورت يك قضيه بيان نمود. اين قضيه را قضيه ى دو شرط  مى نامند.

اگر p آنگاه q و برعكس 
p اگر و تنها اگرq

p شرط لازم و كافي است براى q
مثال  قضيه: اگر مثلثى قائم الزاويه باشد، انگاه مربع وتر با مجموع مربعات دو ضلع ديگر آن برابر است. قضيه ي عكس: اگر در مثلثى مربع يك ضلع با مجموع مربعات دو ضلع ديگر برابر باشد، آنگاه آن مثلث قائم الزاويه است. قضيه ى دوشرطي: ار مثلثى قائم الزاويه باشد، آنكاه مربع وتر با مجموع مربعات دو ضلع دير آن برابر استوبرعكس 
مثلث قائم الزاويه است اگر و تنها اگر مربع وتر با مجموع مربعات دو ضلع ديگر آن برابر باشد. قائم الزاويه بودن مثلث شرط لازم وكافي است براى اينكه مربع وتر با مجموع مربعات دو ضلع ديگر برابر باشد

عكس نقيض يك قضيه:

اگر فرض وحكم قضيه ا  را جابجا و نقيض كنيم، كزارى حاصل همواره درست خواهد بود. اين گزاره را قضيه ى عكس نقيض مي نامند.

برهان خلف ( اثبات غير مستقيم) گاهي اوقات براى اثبات يك قضيه نشان مي دهيم كه خلاف حكم آن درست نيست و سپس نتيجه  گيريم با اين شرايط خود حكم درست است. اين روش استدلال كه نوعى استدلال استنتاجي است را برهان خلف  اثبات غير مستقيم مي نامند. روند كار در اين روش بدين ترتيب است كه ابتدا خلاف حكم را تشكيل مي دهيم و آن را فرض خلف مي ناميم، سپس استدلال خود را با تكيه بر اين فرض ادامه مي دهيم. در نهايت به خلاف فرض يا يك قضيه ى اثبات شدهى قبلى يا خلاف يك اصل (حقيقت) مي رسيم. در آخر فرض خلف را باطل مي كنيم و خود حكم رامي پذيريم مثال ١: ثابت كنيد كه، از يك نقطه ى غير واقع بر يك خط راست نمى توان بيش از يك خط بر آن عمود کرد.

اثبات به روش برهان خلف : فرض مي كنيم كه اين حكم نادرست است موازي  نقطه ى دلخواه ماند A واقع بر خارج خط d مي توان دو عمود بر آن رسم كرد. 
در اين صورت يك مثلث تشكيل مي شود كه دو زاويه ى قائمه دارد. لذا مجموع زاويه ها  داخلي اين مثلث بيش از ٨٠  درجه خواهد شد و اين غير ممكن است. پس فرض خلف نمى تواند درست باشد و حكم درست است.

در اين نوشتار ، جهت درك بهتر و كاملتر مفاهيم اساسي هندسه ي دبيرستاني، برخي مفاهيم اوليـه را معرفـي مي كنيم . گرچه در ابتدا برخي مفاهيم را بـه صـورت غيررسـمي معرفـي كـ رده ايـم و از ناحيـه ي برخـي از صاحب نظران ممكن اين نحو هي بيان پذيرفتني نباشد ولي به جهت ضرورت آشنايي او ليه و تقريب مفهـوم بـه ذهن، بدين شكل اقدام گرديد. لذا در ابتدا بدين نحوه مفاهيم را بيشتر اشاره و تعريف نمي كنيم .

نقطه : 

 اثر قلم روي كاغذ را نقطه مي ناميم. هر نقطه با يك حرف بزرگ الفباي لاتين نام گذاري مي كنند .

خط :

مجموعه ي نقاط به هم پيوسته را خط مي نامند. خط مي تواند مستقيم ( خط راست)، شكسته يا خميده (منحني) باشد و از هر طرف نامحدود است

هر خط با يك حرف كوچك الفباي لاتين نامگذاري مي كنند. در اين جزوه هر جا صحبت از خط شود، منظور همان خط راست است .اگر روي خط نقطه ي در نظر گرفته شود، نيم خط به دست مي آيد. مانند نيم خط Mx در شكل زير 
 

اگر روي خط دو نقطه در نظر بگيريم در اين صورت آن قسمت از خط كه به آن دو نقطه محدود باشد را پاره خط مي نامند. مانند پاره خط AB در شكل زير

 هرپاره خط را با واحد هاي معمول اندازه ي گيري طول مانند، ميلي متر ،  سانتي متر ، متر اندازه گيري مي كنند  طول پاره خط AB را فاصله ي دو نقطه يA و B مي نامند اگر طول پاره خط AB برابر عدد غير منفي a : در اين صورت مي نويسند. باشد 

m(AB)=a

 :صفحه 

 مجموعه ى نقاط بهم ييوسته را صفحه مي نامند. در واقع هـر صفحه كاملا صـاف بـوده و داراي خميدگي و  فرورفتگی ، شكستكى و  يا تيزى نمى باشد. هر صفحه از هر طرف با يك حرف بزرگ نامحدود است و معمولا آن 

:الفبای لاتین نامگذاری میکنند مانند شکل زیر

فضا : در هندسه مسطحه خط يك مفهوم يك بعدى است ، اشكالي مانند مربع ، دايره ، مثلث و .. نيز وجـود دارند كه فقط دو بعد دارند، زماني ب اجسام  ا به عبارتي ديكـر اشكال سـه بعـدى  ـون مكعـبها، استوانهـاء مخروطها، كره ها و.. سروكار داشته باشيم ، مفهوم فضا مطرح مي شود ، فضا مفرهوم  است كه داراي سه بعد مي باشد. موضوع هندسة فضايي، مطالعه اشكال هندسى سه بعدى است. محيطى كه در آن زنـدكى مى كنيم، مدلى از فضاى سه بعدى يا به عبارت كوتاه تر فضا است.فضا ماند نقطه و خط و صفحه يك اصطلاح

تعريف نشده است. در واقع فضاي سه بعدى مجموعه ای  از بینهايت نقطه است كه خـط وصفحه زير مجموعه ای  از نقاط آن به حساب مي آيند

دایره : مجموعهى نقاطي از صفحه كه از يك نقطه  ثابت به يك فاصله باشند را داره مى نامند اين نقطهى ثابت را مركز و فاصلهى ثابت را شعاع مي نامند. در شكل مقابل نقطه    شعاع دايره است، در اين صورت  OP ، مركز و  اندازه ى پاره خط o 

m(OP)+r

زاويه يا گوشه يكي از مفاهيم هندسه است و به ناحيه اي از صفحه گفته ميشود كه بين دو نيم خط كه سر مشترك دارند محصور شده است. به سر مشترك اين دو نيم خط رأس زاويه و به هر يك از اين نيم خط ، ضلع زاويه ميگويند . 

 زاويه را به صورت هاي مختلف نامگذاري مي كنند . رايج ترين روشهاي نامگذاري زاويه به صـورت زيـر مـي باشند

با استفاده ي از علائم رياضي مي نويسند :

\(\angle (xoy)\) یا  \(x\hat oy\)

واحد اندازه گيري زاويه : براي اندازهي گيري زاويه از واحد هاي مختلفي استفادهي مي شود. يكي از اينواحدها، درجه است . يك درجه زاويه اي است كه اندازهي آن برابر دوران كامل است .
اگر نقطه يA دوران داده نشود، زاويه صفر مي باشد. اگر نقطه يA را به اندازهي يك دور كامل دوران دهيمبه محل اوليه ي خود بر مي گردد. يك دوران كامل زاويه اي برابر 360 درجه تشكيل مي دهد

انواع زاويه در هندسه : بر حسب اندازه ، زاويه ها را به انواع مختلفي نامبرده مي شوند .زاويه ي حاده (تند) زاويه اي است كه انـدازه ي آن كمتـر از 90درجه باشد

زاويهي قائمه ( راست :) زاويه اي است كه اندازه ي آن 90 درجه باشد .
 
 
 
زاويهي منفرجه :)باز( زاويه اي است كه اندازهي آن بين 90 و 180 درجه باشد

زاويهي نيم صفحه : زاويه اي است كه اندازه ن آي 180 درجه باشد . به عبـارت ديگـر اضـلاع زاويـه ي نـيم صفحه در امتداد همديگر مي باشند .
 

اصل زاويه ي نيم صفحه : هر طرف يك خط راست يك زاويه ي نيم صفحه است و اگر يك طرف خطي 
يك زاويهي نيم صفحه باشد، آن خط يك خط راست است .

نيمساز زاويه : نيمساز زاويه نيم خطي است كه از رأس زاويه بگذرد و آن را بـه دو زاويـه بـا انـدازه هـاي 
مساوي تقسيم مي كند .

 زاويه هاي مجاور 

دو زاويه را مجاور گويند، هرگاه رأس هاي آنها روي هم منطبق بوده و يك ضلع مشترك داشته باشند. مانند دو زاويه αو β در شكل مقابل 
 

زاويه هاي متمم و مكمل 
دو زاويه را متمم گويند، هرگاه مجموع اندازههاي آنها 90 درجه باشد .
دو زاويه را مكمل گويند، هرگاه مجموع اندازههاي آنها 180 درجه باشد .
زاويه هاي مجانب
اگر دو زاویه ي مجاور ، مكمل همديگر باشند، آنها را مجانب گويندمانند دو زاويه α و β در شكل مقابل

 زاويه هاي متقابل به رأس
دو زاويه مقابل حاصل از دو خط متقاطع را دو زاويه ي متقابل هاي مانند زاويه. نامند به رأس مي β و α : در شكل زير

 نتيجه :دو زاويه ي متقابل به رأس در يك رأس مشترك بوده و اضلاع آنها درامتداد همديگر می باشند

قضيه :  هر دو زاويه متقابل به رأس مساويند
 حكم  :\(\hat a = \hat B\)
اثبات : با توجه به شكل فوق داريم
 

 \(\left. \begin{array}{l}\hat a + \hat B = 180\\\hat B + \hat \theta = 180\end{array} \right\}\hat a + \hat \theta = \hat B + \hat \theta = \hat a = \hat B\)

 دو خط عمود برهم 

  دو خط را متعامد يا عمود بر هم مي نامند هرگاه زاويه ی  بين آنها درجه ،90 درجه باشند

فاصلهي بين دو نقطه 
  فاصله ي بين دو نقطه ي متمايز ، برابر با طول پاره خطي تعريف مي شود كه آن دونقطه را به هم وصل می کند 
اگر دو نقطه بر هم منطبق باشند، فاصله ي بین آنها برابر صفر تعريف مي شود 

فاصلهي نقطه تا خط 
فاصله ي نقطه ي خارج يك خط تا همان خط، برابر اندازه ي  پاره خطي تعريف ميكنند كه از نقطه ي مورد نظر بر  و بين آن نقطه و پاي عمود محصور باشدخط عمود شودو بين آن نقطه و پاي عمود محصور باشد  پاره خطي تعريف ميكنند كه از نقطهي مورد نظر بر خط عمود شود
تذكر : فاصلهي نقطهي روي خط تا همان خط برابر صفر است. 
اصل 5: از هر نقطهي روي خط ( يا بيرون آن ) فقط يك خط عمود برآن مي توان رسم كرد .

دو خط مواز ي 

 دو خط را موازي گويند ، هرگاه هيچ نقطهي مشترك نداشته باشند

قضيه : هر دو خط كه با خط سومي موازي باشند، خود با هم موازين
 فرض : x || y و y|| z 

 حكم : x || z 

نباشد لذا همدیگرو در نقطه ی قطع میکند zموازیx اثبات : به روش برهان خلف گیریم که خط   

در این صورت از نقطه ی m دو خط موزای y رسم شده است و این خلاف اصل توازی اقلیدس می باشد پس x||z

قضيه : در هر صفحه دو خط عمود بر يك خط موازي يكديگرند .
 فرض : a ⊥ d و b ⊥d 
 حكم : a || b 
اثبات : (به روش برهان خلف)، فرض كنيم كه b || a نباشد، پسb و aهمديگر را در نقطهاي مانند S قطع ميكنند و لذا از يك نقطه دو خط بر dعمود شده است و اين خلاف اصل تعامد اقليدس است. پس b || a 

قضيه : اگر خطي يكي از دو خط موازي را قطع كند، ديگري را نيز قطع مي كند
حكم : خط d خطb را قطع مي كند.
اثبات : اگر خط d خطb را قطع نكند. پس با آن موازي است (به روش برهان خلف و ) لذا از نقطه يA دوخطموازيb رسم شده است و اين ممكن نيست .

قضيه : ثابت كنيد كه، اگر خطي بر يكي از دو خط موازي عمود باشد ، بر ديگري نيز عمود است . 
 فرض : a || b و c ⊥ a

حكم : c ⊥ b
اثبات: كه گيريم b || a و a ⊥ c است ولي c برb عمود نباشد.(به روش برهان خلف) پس از نقطهي B خط ديگري 
مانند d چنان رسم ميكنيم كه بر c عمود باشد طبق قضيهي قبل d نيز موازي a است ، يعني از نقطهي B دو خط موازي aرسم شده است و اين ممكن نيست و لذا b ⊥ c 

فاصلهي دو خط موازي
فاصلهي بين دو خط موازي اندازه ي پاره خطي است كه از هر نقطهي واقع بريكي بر ديگري عمود شود.در شكل مقابل اگر2d || 1dپس AHفاصلهي بين اين دو خط است .

عمود منصف يك پاره خط
هر خط كه هم از نقطهي وسط يك پاره خط بگذرد و هم عمود بر آن باشد را عمود منصف آن پاره خط مي نامند .

مثلث

هرگاه سه نقطه ي غير واقع در يك خط راست را دو به دو با سه پاره خـط بـه هـم وصل كنيم، مثلث بوجود مي آيد . هر يك از اين سه نقطه را رأس و هر يك از اين پاره خط ها را ضلع مثلث مي گويند. مثلث زا اساسي ترين اشكال در هندسـه مـي باشد . يك مثلث داراي سه ر أس است كه سه ضلع اين رئوس را به هم وصل مي كند. لذ ا هر مثلث داراي سه رأس ، سه زاويه و سه ضلع است . اضلاع و زاويه هاي هر مثلث را اجزاي اصلي مثلث مي نامند .

اجزاي فرعي مثلث
براي هر ضلع مثلث مي توان يك عمود منصف و براي هر زاويه ي مثلث مي توان يكنيمـساز رسـم كـرد،همچنين مي توان از هر رأس مثلث بر ضلع مقابل يا امتداد آن يك عمود رسم كرد . اين پـاره خـط عمـود را ارتفاع مي نامند.اگر وسط ضلع مثلثي را به رأس مقابل آن وصل كنيم، پاره خط بدست آمده را ميانه مي نامند .عمود منصف هاي اضلاع مثلث ، ميانه هاي وارد بر هر ضلع ، نيمساز هر زاويه و ارتفاع هاي مثلث را اجـزاي فرعي مثلث مي نامند

در شكل ( 1) خط a عمود  نصف ضلع BC ، در شكل (2) AM ميانهي وارد بر ضـلع BC ، در شـكل (3) ارتفاع وار د بر ضلع BC ، در شكل ( 4)AB ارتفاع وارد بر BC ، در شكل (5) AH ارتفـاع وارد بـر امتـداد ضلع BC و در شكل (6) AD نيمساز زاويه يA محسوب مي شوند . در هر مثلث ضلعي كه ارتفاع بر آن ياامتداد آن عمود شده باشد را قاعده ي مثلث مي نامند . مثلاَ در شـكل هـاي 4 5 و 6 و ضـلع BC قاعـده ي مثلث مي باشند. در شكل 4 مي توانيم ضلع BC را ارتفاع و ضلع AB را قاعده فرض كنيم .توجه داشته باشيد كه يك ضلع مثلث مي تواند بر ضلع ديگر عمود باشد ( مانند شكل ) 4 و لذا ارتفاع محسوب مي شود. همچنين مانند شكل 5 ممكن است ارتفاع مثلث بر امتداد يك ضلع مثلث عمود باشد. بعد ها خواهيم ديد كه ممكن است عمود منصف يك ضلع، نيمساز زاويه ي مقابل به آن ضلع ، ميانه ي و ارتفاع وارد بـر آن ضلع مثلث بر هم منطق شوند .در مثلث ABC شكل زير، عمود منصف ضلع BC ، ميانهي وارد بر ضلع BC ، ارتفاع نظير رأسA و همچنين نيمساز زاويه يA رسم شده اند 

انواع مثلث
مثلث ها را با توجه به اندازهي اضلاع يا زاويه هاي آن به چند نوع تقسيم بندي مي كنند. مهمترين انواع اين مثلث ها عبارتند از :
1 : مثلث متساوي الساقين : مثلثي كه دو ضلع مســــاوي داشته باشد. دو ضلع مساوي را ساق و ضلع سوم را قاعده مي نامند رأس مقابل به قاعده را رأس مثلث مي نامند.

2 : مثلث متساوي الاضلاع : مثلثي كه سه ضلع آن برابرند.

3 : مثلث مختلف الاضلاع : مثلثي است كه اضلاع آن هم اندازه نباشند .
4 : مثلث قائم الزاويه : مثلثي كه يك زاويه قائمه داشته باشد .

 ضلع مقابل به زاويه قائمه را وتر مي نامند .
نتيجه : هر مثلث متساويالاضلاع، متساوي الساقين است .

هم نهشتي دو مثلث
دو مثلث را هم نهشت گويند ، هرگاه بدون تغيير آنها بر يكديگر قابل انطباق باشند. اگر با انتقال يك مثلثABC يا با چرخاندن آن بتوان آن را بر مثلث DEF منطبق كرد، مي گويند اين دو مثلث هم نهشت هستند و مي نويسند(DEF) ≅ ∆(ABC) ∆


توجه داشته باشيد كه بنابر بر اصل معروف به اصل تغيير ناپذيري هر شكل هندسي ضمن جا به جا شدن تغييرنمي کند

نتيجه : اگر دو مثلث همنهشت باشند، آنگاه 
الف) تمام اضلاع و زاويههاي متناظر آنها مساويند.

ب) مساحت و محيط هر دو نيز مساوي است .
 حالت هاي همنهشتي دو مثلث 
اساسي ترين راه براي تعيين همنهشتي دو مثلث ، انطباق آنها است. اگر چه اين روش بسيار ابتدايي و ساده مي نمايد، اما يك راه حل عملي و مفيد نيست و استفاده از حالت هاي همنهشتي دو مثلث ساده تر است. لذا مي توان اصول زير براي تعيين همنهشتي مثلث ها را بيان كرد .
اصل )1 هر گاه دو ضلع و زاويه ي بين آنها از يك مثلث با دو ضلع و زاويهي بين آنها از مثلث ديگري مساوي باشند،آن دو مثلث همنهشت هستند. (اصل ض ز ض ).
اصل )2 هر گاه دو زاويه و ضلع بين آنها از يك مثلث با دو زاويه و ضلع بين آنها از مثلث ديگري مساوي باشند،آن دو مثلث همنهشت هستند. (اصل ز زض ).
اصل )3 هر گاه سه ضلع از مثلثي با سه ضلع از مثلث ديگري مساوي باشند،آن دو مثلث همنهشت هستند. (اصل ض ض ض ).
تمرين 6: در دو دايرهي هم مركز شكل مقابلCD = AB . ثابت كنيد كه COD = ∠AOB ∠.

ويژگي هاي عمود منصف يك پاره خط
.ويژگي هاي عمود منصف يك پاره خط را در قالب قضيه هاي زير بيان مي كنيم 
:قضيه : هر نقطه که روی عمود منصف یک پاره خط قرار دارد از دو سر ان پاره خط به یک فاصله است 

اثبات :

\(\left. \begin{array}{l}mH = mH\\\hat x = \hat y = 90\\AH = BH\end{array} \right\}AmH \cong BmH \to mA = mB\)

قضیه : اگر نقطه ی از دو سر یک پاره خط به یک فاصله باشد ان نقطه  روی عمود منصف پاره خط قرار دارد 

اثبات : از نقطه ی m خطی چنان رسم می کنیم که از نقطه ی وسط پاره خط AB بگذرد پس :

\(\left. \begin{array}{l}mH = mH\\mA = mB\\AH = BH\end{array} \right\}A\hat mH \cong B\hat mH \to \hat x = \hat y\)

از طرفی اصل زاویه ی نیم صفحه واضح است که \(\hat x = \hat y = 180\) پس \(\hat x = \hat y = 90 \to d \bot AB\)

خطهاي مورب 
هرگاه دو خط را خط سومي قطع كند، اين خط را مورب (قاطع) گويند .
همچنين :
1 : هر دو زاويه كه در يك طرف خط مورب واقع باشند را متقابل گويند. مانند زاويه هاي (z و x ) يا زاويه هاي ( y و t ) 
2 : هر دو زاويه كه در دو طرف خط مورب واقع باشند را متبادل گويند. مانند زاويه هاي ( t و x ) يا زاويه هاي (z و t )
3 : هر زاويه كه بين دو خط قطع شده قرار گرفته باشد داخلي و در غير اين صورت خارجي گويند. براي مثال 
زاويه ي x خارجي و زاويه هاي t وz و y داخلي مي باشند .
3 قضيه : (قضيه ي خطوط موازي ):اگر دو خط موازي را خطه سومي قطع كند، زاويه اي متبادل داخلي مساوي به دست مي آيد
 فرض : a || b

حكم :∠ α = ∠β

قضيه : اگر دو خط را خط سومي قطع كند و دو زاويه ي متبادل داخلي متساوي باشند، آن دو خط موازي يكديگرند .
 فرض : x =∠α>

حكم : a || b 

اثبات (به روش برهان خلف) : گيريم كه b || a نباشد. پس از نقطهي B خط c را موازي a رسم ميكنيم و لذا ميتوان نوشت: β = ∠x ∠از طرفي طبق فرض داشتيم α = ∠x ∠لذا β = ∠α∠اين وقتي ممكن است كه خط c بايد روي b واقع باشد. پس  a || b

نتيجه : اگر خط موربي دو خط موازي را قطع كند، در اين صورت 
 1: .تمام زاويه هاي حاده با يكديگر مساويند
 2: .تمام زاويه هاي منفرجه با يكديگر مساويند
 3: .يك زاويه ي منفرجه و  يك زاويه حاده مكمل يكديگرند

قضیه :.مجموع زاويه هاي داخلي هر مثلث درجه است180

 حكم :  \(\hat x + \hat y + \hat z = 180\)
 
 
:اثبات از رأس A خطي موازي ضلع BCرسم مي كنيم :آنگاه داريم .
و d || BC→ ∠x = ∠α  مورب AB
و d || BC→ ∠z = ∠β مورب AC

 
از طرفي بنا بر اصل زاويه نيم صفحه مي توان نوشت: 

\(\hat x + \hat y + \hat B = 180 \to \hat x + \hat y + \hat z = 180\)
نتيجه :.دو زاويه در هر مثلث قائم الزاويه ي حاده ، متمم يكديگرند
\(\hat x + \hat y = 90\)

قضيه : هرگاه وتر و يك زاويه ي حاده از يك مثلث قائم الزاويه با وتر و يك زاويه ي حاده از مثلث قائم الزاويه ي ديگري مساوي باشند،آن دو مثلث همنهشت هستند

\(\begin{array}{l}AC = DF,\hat A = \hat D\\A\hat BC = D\hat EF\end{array}\)

اثبات : طبق قضیه ی قبل چون مجموع زوایای داخلی مثلث 180 درجه است  پس داریم :

\(\hat c = \hat f\)

\(\left. \begin{array}{l}\hat C = \hat f\\AC = Df\\\hat A = \hat D\end{array} \right\} \to A\hat BC = D\hat Ef\)

زاويه ی خارجی مثلث 
زاويه خارجي زاويه اي است كه بين يك ضلع و امتداد ضلع ديگری مثلث باشد مانند زاويه. α در شكل مقابل

 .بديهي است كه هر زاويه ي خارجي و زاويه داخلي مجاور  آن، مكمل يكديگرندي
 

∠z + ∠α = 180

قضيه .: در هر مثلث هر زاويه ي خارجي با مجموع دو زاويه داخلي غيرمجاورآن برابر است

 ∠ α = ∠x + ∠y                                                                                   : حكم

اثبات : با توجه به شكل فوق داريم
 \(\left. \begin{array}{l}\hat z = \hat a = 180\\\hat x + \hat y + \hat z = 180\end{array} \right\}\hat z + \hat a = \hat x + \hat y + \hat z \to \hat a = \hat x + \hat y\)
قضيه: هاي روبرو به اضلاع الساقين، زاويه در هر مثلث متساوي مساوي با يكديگر مساويند
 : فرض AB = AC
 : حكم∠ B = ∠C
 
اثبات :  از رأس مثلث (رأس A) خطي چنان رسم مي كنيم كه نيمساز زاويه ي متناظر آن (زاويه A ) باشد و قاعده مثلث  (ضلع BC )را در نقطه D کند : در اين صورت داریم

\(\left. \begin{array}{l}AB = AC\\\hat a = \hat B\\AD = AD\end{array} \right\}ABD \cong ACD = \hat B = \hat C\)

قضیه ی :. هر مثلث كه دو زاويه ي مساوي داشته باشد، متساوي الساقين است
 فرض :∠ B = C ∠
 : حكم AB = AC 
اثبات: از رأس A خطي چنان رسم مي كنيم كه نيمساز زاويه A باشد و ضلع  BC  را در نقطه Dقطع كند چون مجموع زاويه هاي داخلي هر مثلث .180 است پس . y = ∠x ∠: حال میتوان نوشت

\(\left. \begin{array}{l}\hat x = \hat y\\\hat a = \hat B\\AD = AD\end{array} \right\} \to ABD \cong ACD \to AB = AC\)          ( ز ض ز)

:قضيه: .در هر مثلث متساوي الساقين اجزاي فرعي نظير رأس مثلث برهم،منطبقند 
: اثبات :در مثلث متساوي الساقين ABC در شكل مقابل نيمساز زاويه رأس آن(يعني رأس A)را رسم مي کنیم حال ثابت مي كنيم كه اين نيمساز ، ميانه و ارتفاع وارد بر ضلع BC باشند، كه نتيجه مي شود،.عمود منصف نظير آن نيز هست
 
 
 \(\left. \begin{array}{l}\hat x = \hat y\\AB = AC\\AM = AM\end{array} \right\} \to ABD \cong ACD \to \hat a = \hat \beta \)
 و چون دو زاويه β و α : مكمل يكديگرند، پس 

\(\hat a = \hat \beta = 90 \to AM \bot BC\)
پس AM ارتفاع وارد بر ضلع BC .است
از طرفي چون دو مثلث ABM و ACM همنهشت مي باشند، لذا MC = BM يعني. AM ميانه وارد بر ضلع BC .است و چون AM هم ميانه و هم ارتفاع وارد بر ضلع BC . لذا عمود منصف نظير آن نيز هست.

:نتيجه :چون هر متساوي الاضلاع ، متساوي الساقين نيز مي باشد لذا در مثلث متساوي الاضلاع ، ميانه.،.نيمساز ، ارتفاع و عمود منصف هر رأس بر هم منطبق هستند

قضیه ی فیثاغورس 

در هر مثلث قائم الزاويه مربع وتر با مجموع مربعهاي دو ضلع ديگر آن برابراست

حکم : \({a^2} + {b^2} = {c^2}\)

اثبات  : ابتدا مربعي به ضلع b + aرسم مي كنيم سپس در اين مربع چهار مثلث قائم،الزاويه با اضلاع b و a تشكيل می دهيم 
 
 :بنا به حالت (زض ض) ين چهار مثلث با همديگر و با مثلث اصلي همنهشت هستندا براي مثال

\(\left. \begin{array}{l}BC = AD\\\hat C = \hat D = 90\\AC = DE\end{array} \right\} \to ABC = ADE\)
و لذا تمام مثلث ها داراي وتر هاي مساوي هستند از طرفي .

\(\left. \begin{array}{l}s + t = 90\\r = t\end{array} \right\}s + r = x = 90\)

يعني چهارضلعي حاصل از چهار وتر (چهارضلعي CDFH ) داراي  چهارضلع مساوي داردو يك زاويه قائمه است و لذا مربع است
 :اكنون طبق اصل مجموع مساحت ها مي توان نوشت
 مساحت 4 مثلث همنهشت + مساحت مربع كوچك= مربع بزرگ

\({(a + b)^2} = {c^2} + 4(\frac{1}{2}ab) \to {a^2} + 2ab + {b^2} = {c^2} + 2ab \to {a^2} + {b^2} = {c^2}\)

توجه : در اين اثبات تعريف مربع را دانسته فرض كرديم .
قضيه (عكس قضيهي فيثاغورس) :
اگر در مثلثي مربع بزرگترين ضلع با مجموع مربعهاي دو ضلع ديگر برابر باشد آن مثلث قائمالزاويه و زاويه يروبرو به ضلع بزرگتر قائمه است .
 

 فرض : \({a^2} + {b^2} = {c^2}\)
اثبات : مثلثي قائم الزاويه به نام DEF طوري رسم مي كنيم كه اضلاع زاويه ي قائمهي آنbو aباشند.آنگاه داريم 

\({a^2} + {b^2} = {x^2}\)

و با مقايسه با فرض قضيه ميتوان نوشت :

\({x^2} = {c^2} \to x = c\)
لذا مثلثهاي ABC و DEF بنا به حالت ( ض ض ض) همنهشت هستند و چون زاويه ي D قائمه است پس زاويه ي متناظر آن يعني زاويه يC نيز قائمه است .
قضيه: هرگاه وتر و يك ضلع از يك مثلث قا ئمالزاويه با وتر و 
يك ضلع از مثلث قائمالزاويهي ديگري برابر باشند آن دو مثلث 
همنهشت هستند .
 فرض : AB = DE و AC = DF
 حكم : ABC) ≅∆(DEF))∆

 اثبات :چون هر دو مثلث قائم الزاويه هستند پس رابطه فيثاغورس را براي هر مثلثي می توان به صورت زيرنوشت 

\(\left. \begin{array}{l}ABC:{x^2} + {b^2} = {c^2}\\DEF:{y^2} + {b^2} = {c^2}\end{array} \right\} \to {x^2} = {y^2} \to x = y\)
 .و لذا دو مثلث به حالت (ض ض ض ) همنهشت هستند

:قضيه :.هرگاه نقطه اي از دو ضلع زاويه ای به يك فاصله باشد آن نقطه روي نيمساز زاويه قرار دارد
  : فرض MH = MK 
 :حکم ∠ α = β ∠

:اثبات دو مثلث OMH و OMK قائم الزاويه هستند . پس : 
\(\left. \begin{array}{l}MH = MK\\OM = OM\end{array} \right\} \to OHM = OMK \to \hat a = \hat \beta \)
 چندضلعي منتظم
 .هر چند ضلعي را منتظم گويند، هرگاه تمام اضلاع آن برابر و تمام زاويه هاي آن نيز برابر باشند
مثلاً مثلث متساوي الاضلاع كه سه ضلعي منتظم و  مربع كه چهارضلعي منتظم است
:نتيجه اندازه هر زاويه داخلي ي nضلعي منتظم برابر \(\frac{{(n - 2) \times 180}}{n}\) درجه است ( چرا ؟)